A generalization of Student’s t-distribution from the viewpoint of special functions

Student’s t-distribution has found various applications in mathematical statistics. One of the main properties of the t-distribution is to converge to the normal distribution as the number of samples tends to infinity. In this paper, by using a Cauchy integral we introduce a generalization of the t-distribution function with four free parameters and show that it converges to the normal distribution again. We provide a comprehensive treatment of mathematical properties of this new distribution. Moreover, since the Fisher F-distribution has a close relationship with the t-distribution, we also introduce a generalization of the F-distribution and prove that it converges to the chi-square distribution as the number of samples tends to infinity. Finally some particular sub-cases of these distributions are considered.

Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Landschaftsperspektiven der Nutzer

Die vorliegende Arbeit macht Vorschläge zur Einbindung der Öffentlichkeit in Planungsbestrebungen vor Ort, wobei vor allem Methoden empirischer Sozialforschung und deren Anwendbarkeit in landschaftsplanerischen Vorhaben näher betrachtet werden. Hiermit finden insbesondere Wertezuweisungen durch die Bürger stärkere Berücksichtigung. Es wird angenommen, dass, um eine zukunftsweisende Landschaftsplanung zu etablieren, Planer und Fachleute lernen müssen, wie die lokale Bevölkerung ihre Umwelt wahrnimmt und empfindet und welche Ideen sie für die zukünftige Entwicklung der Landschaft haben. Als empirische Grundlage werden Fallstudien aus Bad Soden am Taunus, Hamburg-Wilhelmsburg und Kassel-Rothenditmold präsentiert und verglichen. Rothenditmold und Wilhelmsburg zeichnen sich durch hohe Einwohneranteile mit Migrationshintergrund aus, weisen relativ hohe Arbeitslosenquoten auf und sind als soziale Brennpunkte bekannt – zumindest für Außenstehende. Beide Stadtteile versuchen ihr Image aufzuwerten. In Wilhelmsburg wird dieses Vorhaben in die großräumigen Veränderungen eingebunden, die von verschiedenen Hamburger Großprojekten ausstrahlen. In Rothenditmold ist vor allem Eigeninitiative durch den Stadtteil selbst gefragt. In Bad Soden gibt es ebenfalls viele Menschen mit ausländischen Wurzeln. Sie gehören allerdings mehrheitlich der gesellschaftlichen Mittel- und Oberschicht an. Bad Soden verfügt über ein insgesamt positives Image, das aller kulturellen Veränderungen zum Trotz beibehalten werden soll. Entsprechende Initiativen gehen hier ebenfalls von der Gemeinde selbst aus. An allen Standorten hat es drastische Landschaftsveränderungen und speziell deren Erscheinung gegeben. Bad Soden und Wilhelmsburg haben dabei Teile ihres vormals ländlichen Charakters zu bewahren, während in Rothenditmold vor allem Zeugnisse aus der Zeit der Industrialisierung erhalten sind und den Ort prägen. Die Landschaften haben jeweils ihre einzigartigen Erscheinungen. Zumindest Teile der Landschaften ermöglichen eine Identifikation, sind attraktiv und liefern gute Erholungsmöglichkeiten. Um diese Qualitäten zu bewahren, müssen sie entsprechend gepflegt und weiter entwickelt werden. Dazu sind die Interessen und Wünsche der Bewohner zu ermitteln und in Planungen einzuarbeiten. Die Arbeit strebt einen Beitrag zur Lebensraumentwicklung für und mit Menschen an, die mittels ausgewählter Methoden der empirischen Sozialforschung eingebunden werden. Dabei wird gezeigt, dass die vorgestellten und erprobten Methoden sinnvoll in Projekte der Landschaftsplanung eingebunden werden können. Mit ihnen können ergänzende Erkenntnisse zum jeweiligen Landschaftsraum gewonnen werden, da sie helfen, die kollektive Wahrnehmung der Landschaft durch die Bevölkerung zu erfassen, um sie anschließend in Planungsentwürfe einbinden zu können. Mit der Untersuchung wird in den drei vorgestellten Fallstudien exemplarisch erfasst, welche Elemente der Landschaft für die Bewohner von besonderer Bedeutung sind. Darüber hinaus lernen Planer, welche Methoden zur Ermittlung emotionaler Landschaftswerte verfügbar sind und auf welcher Ebene der Landschaftsplanung sowie bei welchen Zielgruppen sie eingesetzt werden können. Durch die Verknüpfung landschaftsplanerischer Erfassungsmethoden mit Methoden der empirischen Sozialwissenschaft (Fragebogen, Interviews, „Spaziergangsinterviews“, gemeinsame Erarbeitung von Projekten bis zur Umsetzung) sowie der Möglichkeit zur Rückkoppelung landschaftsplaneri-scher Entwürfe mit der Bevölkerung wird eine Optimierung dieser Entwürfe sowohl im Sinne der Planer als auch im Sinne der Bürger erreicht. Zusätzlich wird die Wahrnehmung teilnehmender Bevölkerung für ihre Umwelt geschärft, da sie aufgefordert wird, sich mit ihrer Lebensumgebung bewusst auseinander zu setzen. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind Beitrag und Beleg zu der Annahme, dass ergänzende Methoden in der Landschaftsplanung zur stärkeren Interessenberücksichtigung der von Planung betroffenen Menschen benötigt werden. Zudem zeigen die Studien auf, wie man dem planungsethischen Anspruch, die Öffentlichkeit einzubeziehen, näher kommt. Resultat sind eine bessere Bewertung und Akzeptanz der Planungen und das nicht nur aus landschaftsplanerisch-fachlicher Sicht. Landschaftsplaner sollten ein Interesse daran haben, dass ihre Entwürfe ernst genommen und akzeptiert werden. Das schaffen sie, wenn sie der Bevölkerung nicht etwas aufplanen, sondern ihnen entsprechende Einflussmöglichkeiten bieten und Landschaft mit ihnen gemeinsam entwickeln.

Cleanliness versus cow comfort – an insolvable problem?

Cubicle should provide good resting comfort as well as clean udders. Dairy cows in cubicle houses often face a restrictive environment with regard to resting behaviour, whereas cleanliness may still be impaired. This study aimed to determine reliable behavioural measures regarding resting comfort applicable in on-farm welfare assessments. Furthermore, relationships between cubicle design, cow sizes, management factors and udder cleanliness (namely teats and teat tips) were investigated. Altogether 15 resting measures were examined in terms of feasibility, inter-observer reliability (IOR) and consistency of results per farm over time. They were recorded during three farm visits on farms in Germany and Austria with cubicle, deep litter and tie stall systems. Seven measures occurred to infrequently to allow reliable recording within a limited observation time. IOR was generally acceptable to excellent except for 'collisions during lying down', which only showed good IOR after improvement of the definition. Only three measures were acceptably repeatable over time: 'duration of lying down', 'percentage of collisions during lying down' and 'percentage of cows lying partly or completely outside lying area'. These measures were evaluated as suitable animal based welfare measures regarding resting behaviour in the framework of an on-farm welfare assessment protocol. The second part of the thesis comprises a cross-sectional study on resting comfort and cow cleanliness including 23 Holstein Friesian dairy herds with very low within-farm variation in cubicle measures. Height at withers, shoulder width and diagonal body length were measured in 79-100 % of the cows (herd size 30 to115 cows). Based on the 25 % largest animals, compliance with recommendations for cubicle measures was calculated. Cleanliness of different body parts, the udder, teats and teat tips was assessed for each cow in the herd prior to morning milking. No significant correlation was found between udder soiling and teat or teat tip soiling on herd level. The final model of a stepwise regression regarding the percentage of dirty teats per farm explained 58.5 % the variance and contained four factors. Teat dipping after milking which might be associated with an overall clean and accurate management style, deep bedded cubicles, increasing cubicle maintenance times and decreasing compliance concerning total cubicle length predicted lower teat soiling. The final model concerning teat tip soiling explained 46.0 % of the variance and contained three factors. Increasing litter height in the rear part of the cubicle and increased alley soiling which is difficult to explain, predicted for less soiled teat tips, whereas increasing compliance concerning resting length was associated with higher percentages of dirty teat tips. The dependent variable ‘duration of lying down’ was analysed using again stepwise regression. The final model explained 54.8 % of the total variance. Lying down duration was significantly shorter in deep bedded cubicles. Further explanatory though not significant factors in the model were neck-rail height, deep bedding or comfort mattresses versus concrete floor or rubber mats and clearance height of side partitions. In the attempt to create a more comprehensive lying down measure, another analysis was carried out with percentage of ‘impaired lying down’ (i.e. events exceeding 6.3 seconds, with collisions or being interrupted) as dependent variable. The explanatory value of this final model was 41.3 %. An increase in partition length, in compliance concerning cubicle width and the presence of straw within bedding predicted a lower proportion of impaired lying down. The effect of partition length is difficult to interpret, but partition length and height were positively correlated on the study farms, possibly leading to a bigger zone of clear space for pelvis freedom. No associations could be found between impaired lying down and teat or teat tip soiling. Altogether, in agreement with earlier studies it was found that cubicle dimensions in practice are often inadequate with regard to the body dimensions of the cows, leading to high proportions of impaired lying down behaviour, whereas teat cleanliness is still unsatisfactory. Connections between cleanliness and cow comfort are far from simplistic. Especially the relationship between cubicle characteristics and lying down behaviour apparently is very complex, so that it is difficult to identify single influential factors that are valid for all farm situations. However, based on the results of the present study the use of deep bedded cubicles can be recommended as well as improved management with special regard to cubicle and litter maintenance in order to achieve both better resting comfort and teat cleanliness.