Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Biological Photonic Crystals: Diatoms

The aim of this work was to produce a variety of fluorescent diatom cell wall material as a basis for spectroscopic investigations of the influence of the photonic structure on the emission of an incorporated laser dye. This goal was achieved by the method of in vivo-fluorochromation, in which the fluorescence dyes are incorporated by the diatom cells during cell wall formation. Several fluorescent dyes (mostly rhodamines) known as strong laser dyes, were tested for a possible application within this method. The results of this work show that half of the tested rhodamines can be applied for an in vivo-fluorochromation of diatom cells. For a successful incorporation into the diatom cell wall, a relatively low toxicity to diatom cells is necessary. Replacement of the carbon acid function at the carboxyphenyl ring of the rhodamine by a methyl or ethylester function showed to convert a rhodamine of relatively low toxicity to a rhodamine leading to severe lethal effects within the cells. In contrast to their carbon acid forms, which posses a net neutral charge of the molecule, rhodamine esters exhibit a net positive charge. The enhanced toxicological effects seem to be due to an increased accumulation of positive charged rhodamines within the mitochondria, an increased hydrophobicity due to the attachment of an alkyl substituent, an increased retention time of the dyes within the mitochondria and a therefore stronger negative effect on the mitochondrial membrane bound energy processes of the diatom cell. Therefore rhodamines with a positive net charge deriving from a methyl or ethylester function at the carboxy phenyl ring instead of a carbon acid substituent showed not to be suitable for long-term investigations/ biomineralization studies of diatoms. Investigations performed on diatom species of different orders showed that rhodamine 19, rhodamine B, and rhodamine 101 can presumably be successfully applied for in vivo-fluorochromation to all diatom species. The results obtained here can help to find further laser dyes for an in vivo-fluorochromation of diatom cells and therefore for the production of fluorescent nanostructural elements for a detailed optical investigation of the diatom cell wall. First optical measurements performed on in vivo-fluorochromated cell walls did not give any hints concerning the photonic structure of the diatom cell. Cell wall parts with different nanostructural elements were investigated and by comparison of the obtained fluorescence emission spectra, no special features that might derive from photonic structural effects could be observed. Results concerning the concentration dependent shifts within the emission spectra, as well as the decrease of fluorescence intensity of the stained cell wall structures with increasing dye concentration, depict that several effects occurring by interaction of the molecules within the cell wall can have an impact on the technical application of fluorescent cell walls. It can be assumed that the investigation of the photonic crystal behaviour and the possibility to achieve laser action within the diatom cell wall can be hampered by molecular interactions. The results give hints to prevent such obstacles. Comparison of the recent findings and state of the art of in vivo-fluorochromation of diatom cell wall material, make clear that the here presented results are of importance and can offer a considerable contribution to the development and establishment of new biosilification markers, for diatoms as well as for other biosilifying organisms.