Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results

In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.

A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography

Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert. Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen deutlich die Notwendigkeit, den Einfluss von Topographie sowie die Behandlung von Nass/Trockenübergängen im Verfahren zu berücksichtigen. In der vorliegenden Dissertation wird ein, in Gebieten mit hinreichender Wasserhöhe, hochgenaues Finite-Volumen-Verfahren zur numerischen Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung aus gegebenen Anfangs- und Randbedingungen auf einem unstrukturierten Gitter vorgestellt, welches in der Lage ist, den Einfluss topographischer Quellterme auf die Strömung zu berücksichtigen, sowie in sogenannten \glqq lake at rest\grqq-stationären Zuständen diesen Einfluss mit den numerischen Flüssen exakt auszubalancieren. Basis des Verfahrens ist ein Finite-Volumen-Ansatz erster Ordnung, welcher durch eine WENO Rekonstruktion unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und eine sogenannte Space Time Expansion erweitert wird mit dem Ziel, ein Verfahren beliebig hoher Ordnung zu erhalten. Die im Verfahren auftretenden Riemannprobleme werden mit dem Riemannlöser von Chinnayya, LeRoux und Seguin von 1999 gelöst, welcher die Einflüsse der Topographie auf den Strömungsverlauf mit berücksichtigt. Es wird in der Arbeit bewiesen, dass die Koeffizienten der durch das WENO-Verfahren berechneten Rekonstruktionspolynome die räumlichen Ableitungen der zu rekonstruierenden Funktion mit einem zur Verfahrensordnung passenden Genauigkeitsgrad approximieren. Ebenso wird bewiesen, dass die Koeffizienten des aus der Space Time Expansion resultierenden Polynoms die räumlichen und zeitlichen Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems approximieren. Darüber hinaus wird die wohlbalanciertheit des Verfahrens für beliebig hohe numerische Ordnung bewiesen. Für die Behandlung von Nass/Trockenübergangen wird eine Methode zur Ordnungsreduktion abhängig von Wasserhöhe und Zellgröße vorgeschlagen. Dies ist notwendig, um in der Rechnung negative Werte für die Wasserhöhe, welche als Folge von Oszillationen des Raum-Zeit-Polynoms auftreten können, zu vermeiden. Numerische Ergebnisse die die theoretische Verfahrensordnung bestätigen werden ebenso präsentiert wie Beispiele, welche die hervorragenden Eigenschaften des Gesamtverfahrens in der Berechnung herausfordernder Probleme demonstrieren.

Veränderungen des Raum-Zeit-Verhaltens im Zuge von Lebensumbrüchen und ihre Anforderungen an die Stadt- und Verkehrsplanung am Beispiel des Eintritts in den Ruhestand

Veränderungen des Raum-Zeit-Verhaltens im Zuge von Lebensumbrüchen und ihre Anforderungen an die Stadt- und Verkehrsplanung am Beispiel des Eintritts in den Ruhestand. In der vorliegenden Dissertation wurde untersucht, ob und in welchem Maße sich das Raum-Zeit-Verhalten im Alltag mit dem Eintritt in den Ruhestand verändert. Bei der Untersuchung handelt es sich um eine mehrjährige Panel-Studie, die in den Regionen Hamburg und Kassel durchgeführt wurde. Mit insgesamt 50 Studienteilnehmern wurden vor und nach ihrem Ausscheiden aus dem Erwerbsleben umfassende Interviews geführt. Hierbei kam die an der Oxford University entwickelte „HATS“-Methode („Household Activity Travel Simulator“) zum Einsatz, die einen tiefen Einblick in die Alltagsstrukturen und das aus ihnen resultierende raum-zeitliche Verhalten ermöglicht. Ein Untersuchungsschwerpunkt lag auf der Verkehrsmittelwahl. Auf Grundlage der Untersuchungsergebnisse wurden Handlungsempfehlungen für die Stadt- und Verkehrsplanung abgeleitet. Es zeigte sich, dass die Studienteilnehmer mit ihrem Eintritt in den Ruhestand grundsätzlich deutlich später im Tagesverlauf als Verkehrsteilnehmer in Erscheinung treten. Darüber hinaus zeichnete sich ein Bedeutungszuwachs des Stadtquartiers bzw. der nahräumlichen Mobilität ab; der Fuß- und Fahrradverkehr gewinnt für die Alltagsmobilität an Bedeutung. Versorgungs- und Dienstleistungsangebote im eigenen Wohnquartier – und somit nutzungsgemischte Stadtquartiere – erweisen sich demnach insbesondere für die Gruppe der Ruheständler als besonders relevant. Trotz der steigenden Bedeutung des Fuß-und Fahrradverkehrs zeigt die Studie, dass dem Pkw in der Alltagsmobilität eine (nach wie vor) dominante Rolle zukommt – eine Entwicklung, die sich aufgrund des Kohorteneffekts eher noch verstärken wird. Im Rahmen der Diskussion geeigneter Handlungsansätze für die Stadt- und Verkehrsplanung zur Stärkung des Umweltverbundes werden – neben Interventionen zur Attraktivitätsminderung des Pkw – insbesondere verschiedene Maßnahmen zu Angebotsverbesserungen im ÖPNV behandelt. Dabei wird u. a. auch die Verhaltensrelevanz von Kostenwahrnehmungen betrachtet. Zusätzlich wird deutlich, dass bei der Etablierung verkehrsplanerischer Maßnahmen auch die zu-nehmende Bedeutung von Wegen, die in Begleitung anderer Haushaltsmitglieder zurückgelegt werden (Stichwort: Haushaltsmobilität), berücksichtigt werden muss. Der Eintritt in den Ruhestand erweist sich grundsätzlich als eine Umbruchsituation im Lebensverlauf, die ein Aufbrechen von (Verkehrs-)Gewohnheiten im Alltag begünstigt und die Betroffenen besonders empfänglich für Informationen zu verschiedenen Verkehrsangeboten bzw. Verhaltens-alternativen werden lässt. Hinsichtlich möglicher Handlungsansätze wird in dieser Studie u. a. thematisiert, wie im Rahmen einer zielgruppenspezifischen Kommunikation im ÖPNV dieses Zeit-fenster genutzt werden kann, um Menschen an der Schwelle zum Eintritt in den Ruhestand als regelmäßige Nutzer von Bus und Bahn (neu) zu gewinnen bzw. zu halten.