Bieberbach's Conjecture, the de Branges and Weinstein Functions and the Askey-Gasper Inequality

The Bieberbach conjecture about the coefficients of univalent functions of the unit disk was formulated by Ludwig Bieberbach in 1916 [Bieberbach1916]. The conjecture states that the coefficients of univalent functions are majorized by those of the Koebe function which maps the unit disk onto a radially slit plane. The Bieberbach conjecture was quite a difficult problem, and it was surprisingly proved by Louis de Branges in 1984 [deBranges1985] when some experts were rather trying to disprove it. It turned out that an inequality of Askey and Gasper [AskeyGasper1976] about certain hypergeometric functions played a crucial role in de Branges' proof. In this article I describe the historical development of the conjecture and the main ideas that led to the proof. The proof of Lenard Weinstein (1991) [Weinstein1991] follows, and it is shown how the two proofs are interrelated. Both proofs depend on polynomial systems that are directly related with the Koebe function. At this point algorithms of computer algebra come into the play, and computer demonstrations are given that show how important parts of the proofs can be automated.

Entwicklung eines Verfahrens zum Schneiden und Schälen von Obst mit Hochdruckwasserstrahlen

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt und untersucht, mit welchem Früchte annähernd verlustfrei und unter sehr hygienischen Bedingungen geschnitten werden können. Die Produkte – hier gezeigt am Beispiel von Äpfeln und Melonen – werden mit einem Hochdruckwasserstrahl geschnitten, der durch ein bildverarbeitendes System entsprechend der Anatomie der Frucht geführt werden kann. Die Vorteile dieses Verfahrens sind die individuelle Schnittführung, die Materialverluste minimiert und die Tatsache, dass die Frucht ohne wesentlichen Eingriff von Personal bearbeitet wird. Die Literaturauswertung ergab, dass diese Technologie bislang noch nicht bearbeitet wurde. Der Einsatz des Hochdruckwasserstrahlschneidens im Bereich der Agrartechnik beschränkte sich auf das Schneiden von Zuckerrüben Brüser [2008], Ligocki [2005] bzw. Kartoffeln Becker u. Gray [1992], das Zerteilen von Fleisch Bansal u. Walker [1999] und Fisch Lobash u. a. [1990] sowie die Nutzung von Wasserstrahlen im Zusammenhang mit der Injektion von Flüssigdünger in Ackerböden Niemoeller u. a. [2011]. Ziel dieser Arbeit war es daher, die Einsatzmöglichkeiten des Wasserstrahlschneidens zu erfassen und zu bewerten. Dazu wurden in einer Vielzahl von Einzelversuchen die Zusammenhänge zwischen den Prozessparametern wie Wasserdruck, Düsendurchmesser, Vorschubgeschwindigkeit und Düsenabstand auf das Schnittergebnis, also die Rauheit der entstehenden Schnittfläche untersucht. Ein Vergleich mit konventionellen Schneidemethoden erfolgte hinsichtlich der Schnittergebnisse und der Auswirkungen des Wasserstrahlschneidens auf nachfolgende Verfahrensschritte, wie dem Trocknen.