Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen

Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren. Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer sogenannten Tatesequenz konstruieren kann. Unter den Voraussetzungen 1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe, 2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen 2a) $\chi$ ist abelsch, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren; wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist. Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85]) beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus, der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht. Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern. Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit. Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.

Lokalisation und Funktion von Mitgliedern der Familie der short-chain Dehydrogenasen/Reduktasen in Dictyostelium discoideum

Dictyostelium discoideum wird als Modellorganismus für diverse Krankheitsbilder benutzt. Darunter zählen lysosomale, neurodegenerative Störungen sowie Stoffwechselerkrankungen. Werden diese Amöben mit einer Fettsäure gefüttert, so wird die Biogenese von lipid droplets (LDs) initiiert. Diese dynamischen Organellen dienen der Neutrallipidspeicherung. Das Proteom der LDs konnte für D. discoideum entschlüsselt werden. Unter den rund 70 Proteinen, befinden sich ca. 15, die eine Funktion im Lipidstoffwechsel haben. Darunter befinden sich auch Mitglieder der Enzymklasse der short-shain Dehydrogenasen/Reduktasen. Diese zeigen, wie viele andere LD-Proteine auch, eine duale Lokalisation im Endoplasmatischen Retikulum (ER) und auf LDs. In dieser Arbeit konnten die Sequenzen, die den Wechsel von einer doppelte Phospholipidschicht (ER) auf eine einfache Membran (LDs) möglich machen, entschlüsselt werden. Im Fall der Proteine SdrB/C/D/E/F handelt es sich dabei um ein membranständiges N-terminales Peptid gefolgt von einer Membrandomäne. Helix-brechende Aminosäuren wie Prolin und Glycin in diesen Domänen erzeugen einen Knick, sodass sowohl die C- als auch N-Termini fusioniert an ein Reporterprotein cytoplasmatisch lokalisieren können. Direkt nach der Membrandomäne befindet sich ein kurzer Abschnitt mit basischen, positiv geladenen Aminosäuren, die mit der negativ geladenen Oberfläche der LDs interagieren. Die Membrandomäne allein ist zwar für eine ER-Lokalisation ausreichend, eine LD-Verteilung kann jedoch nur in Kombination mit dem basischen Abschnitt erfolgen. Des Weiteren konnte die Lokalisation von SdrG aufgeklärt werden. Dieses Protein lokalisiert sowohl im ER, als auch auf LDs und den Peroxisomen. Die knockouts einzelner Sdr-Gene zeigten keinen Phänotyp. Auch der Doppel-knockout von SdrB und SdrC blieb Phänotyp-frei. Aus diesem Grund wurden die tandemartig im Genom vorliegenden Gene SdrD-F in einem Triple-knockout untersucht, ebenso wie ein Penta-knockout der Gene SdrB-F. Weiterhin konnten keine Auswirkungen auf die Phagocytose bzw. auf die Verwertung von Fettsäuren und die Mitoserate festgestellt werden. Ebenfalls verläuft der Aufbau und die Degradation von lipid droplets wildtypisch. Mittels Gaschromatographie gekoppelter Massenspektrometrie konnte jedoch ein geringer Unterschied in der Fettsäurekomposition der LDs festgestellt werden. Sobald diese fünf Proteine nicht mehr vorhanden sind, werden 5% weniger 18:1 Δ11 Fettsäuren gebildet und es verbleiben mehr 16:0 Fettsäuren in den LDs. Eine Übernahme der Funktion als Δ9 Desaturase, nach dem Abschnüren der LDs vom Endoplasmatischen Retikulum ist wahrscheinlich.