Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Antike und moderne Strategien der Texterschließung

Lateinische Schriftsteller im Original zu lesen, fällt vielen Schülerinnen und Schülern in der Lektürephase des Lateinunterrichts schwer. In der vorliegenden Dissertation wird untersucht, inwiefern gezielter Einsatz von Lernstrategien das Textverständnis verbessern kann. Strategisches Arbeiten mit Texten kann bereits zu einem sehr frühen Zeitpunkt in schriftbasierten Kulturen nachgewiesen werden. In dieser Arbeit werden Quellentexte aus der griechisch-römischen Antike und dem Mittelalter hinsichtlich texterschließender Strategien untersucht, systematisiert, kommentiert und im modernen Lateinunterricht eingesetzt. Dabei arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstgesteuert und forschend-entdeckend mit Reproduktionen antiker Papyri und Pergamente. Im Laufe des Unterrichtsprojektes, das ich CLAVIS, lat. für „Schlüssel“, nenne, lernen die Schüler im Zusammenhang mit Fachinhalten des Lateinunterrichts sechs antike Strategien der Texterschließung kennen. Diese Strategien werden heute noch genauso verwendet wie vor 2000 Jahren. Unter Berücksichtigung der Erkenntnisse der modernen Lernstrategieforschung wurden die Strategien ausgewählt, die als besonders effektive Maßnahmen zur Förderung von Textverständnis beurteilt werden, nämlich CONIUGATIO: Vorwissen aktivieren, LEGERE: mehrfaches und möglichst lautes Lesen, ACCIPERE: Hilfen annehmen, VERTERE: Übersetzen mit System, INTERROGARE: Fragen zulassen, SUMMA: Zusammenfassung erstellen. Ziel von CLAVIS ist es, Schülern ein Werkzeug zur systematischen Texterschließung an die Hand zu geben, das leicht zu merken ist und flexibel auf Texte jeder Art und jeder Sprache angewendet werden kann. Um die Effektivität des Unterrichtsprojektes CLAVIS zu überprüfen, wurde mit zwei parallel geführten 10. Klassen am Johann-Schöner-Gymnasium in Karlstadt im Schuljahr 2009/10 eine Vortest-Nachtest-Studie durchgeführt. Eine der Klassen wurde als Experimentalgruppe mit Intervention in Form von CLAVIS unterrichtet, die andere Klasse, die die Kontrollgruppe bildete, erhielt kein strategisches Training. Ein Fragebogen lieferte Informationen zur Vorgehensweise der Schüler bei der Textbearbeitung in Vortest und Nachtest (jeweils eine Übersetzung eines lateinischen Textes in identischem Schwierigkeitsgrad). Die Auswertung der Daten zeigte deutlich, dass Textverständnis und Übersetzungsfähigkeit sich bei denjenigen Schülern verbesserten, die die CLAVIS-Strategien im Nachtest angewendet hatten. Im Zusammenhang mit der Neugestaltung der Lehrpläne auf dem Hintergrund der Kompetenzorientierung ergeben sich für das Fach Latein neue Chancen, nicht nur inhaltlich wertvolle Zeugnisse der Antike zur allgemeinen, zweckfreien Persönlichkeitsbildung von Schülerinnen und Schülern einzusetzen, sondern gezielt Strategien zu vermitteln, die im Hinblick auf die in einer Informationsgesellschaft unverzichtbare Sprach- und Textkompetenz einen konkreten Nutzen haben.