Faktorisierung in Schief-Polynomringen

In der Arbeit werden zunächst die wesentlichsten Fakten über Schiefpolynome wiederholt, der Fokus liegt dabei auf Shift- und q-Shift-Operatoren in Charakteristik Null. Alle für die Arithmetik mit diesen Objekten notwendigen Konzepte und Algorithmen finden sich im ersten Kapitel. Einige der zur Bestimmung von Lösungen notwendigen Daten können aus dem Newtonpolygon, einer den Operatoren zugeordneten geometrischen Figur, abgelesen werden. Die Herleitung dieser Zusammenhänge ist das Thema des zweiten Kapitels der Arbeit, wobei dies insbesondere im q-Shift-Fall in dieser Form neu ist. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Bestimmung polynomieller und rationaler Lösungen dieser Operatoren, dabei folgt es im Wesentlichen der Darstellung von Mark van Hoeij. Der für die Faktorisierung von (q-)Shift Operatoren interessanteste Fall sind die sogenannten (q-)hypergeometrischen Lösungen, die direkt zu Rechtsfaktoren erster Ordnung korrespondieren. Im vierten Kapitel wird der van Hoeij-Algorithmus vom Shift- auf den q-Shift-Fall übertragen. Außerdem wird eine deutliche Verbesserung des q-Petkovsek-Algorithmus mit Hilfe der Daten des Newtonpolygons hergeleitet. Das fünfte Kapitel widmet sich der Berechnung allgemeiner Faktoren, wozu zunächst der adjungierte Operator eingeführt wird, der die Berechnung von Linksfaktoren erlaubt. Dann wird ein Algorithmus zur Berechnung von Rechtsfaktoren beliebiger Ordnung dargestellt. Für die praktische Benutzung ist dies allerdings für höhere Ordnungen unpraktikabel. Bei fast allen vorgestellten Algorithmen tritt das Lösen linearer Gleichungssysteme über rationalen Funktionenkörpern als Zwischenschritt auf. Dies ist in den meisten Computeralgebrasystemen nicht befriedigend gelöst. Aus diesem Grund wird im letzten Kapitel ein auf Evaluation und Interpolation basierender Algorithmus zur Lösung dieses Problems vorgestellt, der in allen getesteten Systemen den Standard-Algorithmen deutlich überlegen ist. Alle Algorithmen der Arbeit sind in einem MuPAD-Package implementiert, das der Arbeit beiliegt und eine komfortable Handhabung der auftretenden Objekte erlaubt. Mit diesem Paket können in MuPAD nun viele Probleme gelöst werden, für die es vorher keine Funktionen gab.

Lagrangian approximations and weak solutions of the Navier-Stokes equations

The motion of a viscous incompressible fluid flow in bounded domains with a smooth boundary can be described by the nonlinear Navier-Stokes equations. This description corresponds to the so-called Eulerian approach. We develop a new approximation method for the Navier-Stokes equations in both the stationary and the non-stationary case by a suitable coupling of the Eulerian and the Lagrangian representation of the flow, where the latter is defined by the trajectories of the particles of the fluid. The method leads to a sequence of uniquely determined approximate solutions with a high degree of regularity containing a convergent subsequence with limit function v such that v is a weak solution of the Navier-Stokes equations.

Redox reactions of group 5 elements, including element 105, in aqueous solutions

Standard redox potentials E^0(M^z+x/M^z+) in acidic solutions for group 5 elements including element 105 (Ha) and the actinide, Pa, have been estimated on the basis of the ionization potentials calculated via the multiconfiguration Dirac-Fock method. Stability of the pentavalent state was shown to increase along the group from V to Ha, while that of the tetra- and trivalent states decreases in this direction. Our estimates have shown no extra stability of the trivalent state of hahnium. Element 105 should form mixed-valence complexes by analogy with Nb due to the similar values of their potentials E^0(M^3+/M^2+). The stability of the maximumoxidation state of the elements decreases in the direction 103 > 104 > 105.

The electronic structure of anionic halide complexes of element 105 in aqueous solutions and their extraction by aliphatic amines

To study the complex formation of group 5 elements (Nb, Ta, Ha, and pseudoanalog Pa) in aqueous HCI solutions of medium and high concentrations the electronic structures of anionic complexes of these elements [MCl_6]^-, [MOCl_4]^-, [M(OH)-2 Cl_4]^-, and [MOCl_5]^2- have been calculated using the relativistic Dirac-Slater Discrete-Variational Method. The charge density distribution analysis has shown that tantalum occupies a specific position in the group and has the highest tendency to form the pure halide complex, [TaCl_6-. This fact along with a high covalency of this complex explains its good extractability into aliphatic amines. Niobium has equal trends to form pure halide [NbCl_6]^- and oxyhalide [NbOCl_5]^2- species at medium and high acid concentrations. Protactinium has a slight preference for the [PaOCl_5]^2- form or for the pure halide complexes with coordination number higher than 6 under these conditions. Element 105 at high HCl concentrations will have a preference to form oxyhalide anionic complex [HaOCl_5]^2- rather than [HaCl_6]^-. For the same sort of anionic oxychloride complexes an estimate has been done of their partition between the organic and aqueous phases in the extraction by aliphatic amines, which shows the following succession of the partition coefficients: P_Nb < P_Ha < P_Pa.

Approximate solutions and error estimates for a Stokes boundary value problem

The aim of this paper is the numerical treatment of a boundary value problem for the system of Stokes' equations. For this we extend the method of approximate approximations to boundary value problems. This method was introduced by V. Maz'ya in 1991 and has been used until now for the approximation of smooth functions defined on the whole space and for the approximation of volume potentials. In the present paper we develop an approximation procedure for the solution of the interior Dirichlet problem for the system of Stokes' equations in two dimensions. The procedure is based on potential theoretical considerations in connection with a boundary integral equations method and consists of three approximation steps as follows. In a first step the unknown source density in the potential representation of the solution is replaced by approximate approximations. In a second step the decay behavior of the generating functions is used to gain a suitable approximation for the potential kernel, and in a third step Nyström's method leads to a linear algebraic system for the approximate source density. For every step a convergence analysis is established and corresponding error estimates are given.

Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen

Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können. ________________________________________________________________________________________________________________

On Solutions of Holonomic Divided-Difference Equations on Non-Uniform Lattices

The main aim of this paper is the development of suitable bases (replacing the power basis x^n (n\in\IN_\le 0) which enable the direct series representation of orthogonal polynomial systems on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable). We present two bases of this type, the first of which allows to write solutions of arbitrary divided-difference equations in terms of series representations extending results given in [16] for the q-case. Furthermore it enables the representation of the Stieltjes function which can be used to prove the equivalence between the Pearson equation for a given linear functional and the Riccati equation for the formal Stieltjes function. If the Askey-Wilson polynomials are written in terms of this basis, however, the coefficients turn out to be not q-hypergeometric. Therefore, we present a second basis, which shares several relevant properties with the first one. This basis enables to generate the defining representation of the Askey-Wilson polynomials directly from their divided-difference equation. For this purpose the divided-difference equation must be rewritten in terms of suitable divided-difference operators developed in [5], see also [6].

Controlling the transport of an ion: classical and quantum mechanical solutions

The accurate transport of an ion over macroscopic distances represents a challenging control problem due to the different length and time scales that enter and the experimental limitations on the controls that need to be accounted for. Here, we investigate the performance of different control techniques for ion transport in state-of-the-art segmented miniaturized ion traps. We employ numerical optimization of classical trajectories and quantum wavepacket propagation as well as analytical solutions derived from invariant based inverse engineering and geometric optimal control. The applicability of each of the control methods depends on the length and time scales of the transport. Our comprehensive set of tools allows us make a number of observations. We find that accurate shuttling can be performed with operation times below the trap oscillation period. The maximum speed is limited by the maximum acceleration that can be exerted on the ion. When using controls obtained from classical dynamics for wavepacket propagation, wavepacket squeezing is the only quantum effect that comes into play for a large range of trapping parameters. We show that this can be corrected by a compensating force derived from invariant based inverse engineering, without a significant increase in the operation time.