Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Angepasste Kommunikationssysteme für den effizienten Einsatz in dezentralen elektrischen Versorgungsstrukturen

Angepasste Kommunikationssysteme für den effizienten Einsatz in dezentralen elektrischen Versorgungsstrukturen - In öffentlichen Elektrizitätsnetzen wird der Informationsaustausch seit längerem durch historisch gewachsene und angepasste Systeme erfolgreich bewerkstelligt. Basierend auf einem weiten Erfahrungsspektrum und einer gut ausgebauten Kommunikationsinfrastruktur stellt die informationstechnische Anbindung eines Teilnehmers im öffentlichen Versorgungsnetz primär kein Hemmnis dar. Anders gestaltet sich dagegen die Situation in dezentralen Versorgungsstrukturen. Da die Elektrifizierung von dezentralen Versorgungsgebieten, mittels der Vernetzung vieler verteilter Erzeugungsanlagen und des Aufbaus von nicht an das öffentliche Elektrizitätsnetz angeschlossenen Verteilnetzen (Minigrids), erst in den letzten Jahren an Popularität gewonnen hat, sind nur wenige Projekte bis dato abgeschlossen. Für die informationstechnische Anbindung von Teilnehmern in diesen Strukturen bedeutet dies, dass nur in einem sehr begrenzten Umfang auf Erfahrungswerte bei der Systemauswahl zurückgegriffen werden kann. Im Rahmen der Dissertation ist deshalb ein Entscheidungsfindungsprozess (Leitfaden für die Systemauswahl) entwickelt worden, der neben einem direkten Vergleich von Kommunikationssystemen basierend auf abgeleiteten Bewertungskriterien und Typen, der Reduktion des Vergleichs auf zwei Systemwerte (relativer Erwartungsnutzenzuwachs und Gesamtkostenzuwachs), die Wahl eines geeigneten Kommunikationssystems für die Applikation in dezentralen elektrischen Versorgungsstrukturen ermöglicht. In Anlehnung an die klassische Entscheidungstheorie werden mit der Berechnung eines Erwartungsnutzens je Kommunikationssystems, aus der Gesamtsumme der Einzelprodukte der Nutzwerte und der Gewichtungsfaktor je System, sowohl die technischen Parameter und applikationsspezifischen Aspekte, als auch die subjektiven Bewertungen zu einem Wert vereint. Mit der Ermittlung der jährlich erforderlichen Gesamtaufwendungen für ein Kommunikationssystem bzw. für die anvisierten Kommunikationsaufgaben, in Abhängigkeit der Applikation wird neben dem ermittelten Erwartungsnutzen des Systems, ein weiterer Entscheidungsparameter für die Systemauswahl bereitgestellt. Die anschließende Wahl geeigneter Bezugsgrößen erlaubt die Entscheidungsfindung bzgl. der zur Auswahl stehenden Systeme auf einen Vergleich mit einem Bezugssystem zurückzuführen. Hierbei sind nicht die absoluten Differenzen des Erwartungsnutzen bzw. des jährlichen Gesamtaufwandes von Interesse, sondern vielmehr wie sich das entsprechende System gegenüber dem Normal (Bezugssystem) darstellt. Das heißt, der relative Zuwachs des Erwartungsnutzen bzw. der Gesamtkosten eines jeden Systems ist die entscheidende Kenngröße für die Systemauswahl. Mit dem Eintrag der berechneten relativen Erwartungsnutzen- und Gesamtkostenzuwächse in eine neu entwickelte 4-Quadranten-Matrix kann unter Berücksichtigung der Lage der korrespondierenden Wertepaare eine einfache (grafische) Entscheidung bzgl. der Wahl des für die Applikation optimalsten Kommunikationssystems erfolgen. Eine exemplarisch durchgeführte Systemauswahl, basierend auf den Analyseergebnissen von Kommunikationssystemen für den Einsatz in dezentralen elektrischen Versorgungsstrukturen, veranschaulicht und verifiziert die Handhabung des entwickelten Konzeptes. Die abschließende Realisierung, Modifikation und Test des zuvor ausgewählten Distribution Line Carrier Systems unterstreicht des Weiteren die Effizienz des entwickelten Entscheidungsfindungsprozesses. Dem Entscheidungsträger für die Systemauswahl wird insgesamt ein Werkzeug zur Verfügung gestellt, das eine einfache und praktikable Entscheidungsfindung erlaubt. Mit dem entwickelten Konzept ist erstmals eine ganzheitliche Betrachtung unter Berücksichtigung sowohl der technischen und applikationsspezifischen, als auch der ökonomischen Aspekte und Randbedingungen möglich, wobei das Entscheidungsfindungskonzept nicht nur auf die Systemfindung für dezentrale elektrische Energieversorgungsstrukturen begrenzt ist, sondern auch bei entsprechender Modifikation der Anforderungen, Systemkenngrößen etc. auf andere Applikationsanwendungen übertragen werden.