Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula

In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.

Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results

In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.

First-principles electronic theory of non-collinear magnetic order in transition-metal nanowires

The structural, electronic and magnetic properties of one-dimensional 3d transition-metal (TM) monoatomic chains having linear, zigzag and ladder geometries are investigated in the frame-work of first-principles density-functional theory. The stability of long-range magnetic order along the nanowires is determined by computing the corresponding frozen-magnon dispersion relations as a function of the 'spin-wave' vector q. First, we show that the ground-state magnetic orders of V, Mn and Fe linear chains at the equilibrium interatomic distances are non-collinear (NC) spin-density waves (SDWs) with characteristic equilibrium wave vectors q that depend on the composition and interatomic distance. The electronic and magnetic properties of these novel spin-spiral structures are discussed from a local perspective by analyzing the spin-polarized electronic densities of states, the local magnetic moments and the spin-density distributions for representative values q. Second, we investigate the stability of NC spin arrangements in Fe zigzag chains and ladders. We find that the non-collinear SDWs are remarkably stable in the biatomic chains (square ladder), whereas ferromagnetic order (q =0) dominates in zigzag chains (triangular ladders). The different magnetic structures are interpreted in terms of the corresponding effective exchange interactions J(ij) between the local magnetic moments μ(i) and μ(j) at atoms i and j. The effective couplings are derived by fitting a classical Heisenberg model to the ab initio magnon dispersion relations. In addition they are analyzed in the framework of general magnetic phase diagrams having arbitrary first, second, and third nearest-neighbor (NN) interactions J(ij). The effect of external electric fields (EFs) on the stability of NC magnetic order has been quantified for representative monoatomic free-standing and deposited chains. We find that an external EF, which is applied perpendicular to the chains, favors non-collinear order in V chains, whereas it stabilizes the ferromagnetic (FM) order in Fe chains. Moreover, our calculations reveal a change in the magnetic order of V chains deposited on the Cu(110) surface in the presence of external EFs. In this case the NC spiral order, which was unstable in the absence of EF, becomes the most favorable one when perpendicular fields of the order of 0.1 V/Å are applied. As a final application of the theory we study the magnetic interactions within monoatomic TM chains deposited on graphene sheets. One observes that even weak chain substrate hybridizations can modify the magnetic order. Mn and Fe chains show incommensurable NC spin configurations. Remarkably, V chains show a transition from a spiral magnetic order in the freestanding geometry to FM order when they are deposited on a graphene sheet. Some TM-terminated zigzag graphene-nanoribbons, for example V and Fe terminated nanoribbons, also show NC spin configurations. Finally, the magnetic anisotropy energies (MAEs) of TM chains on graphene are investigated. It is shown that Co and Fe chains exhibit significant MAEs and orbital magnetic moments with in-plane easy magnetization axis. The remarkable changes in the magnetic properties of chains on graphene are correlated to charge transfers from the TMs to NN carbon atoms. Goals and limitations of this study and the resulting perspectives of future investigations are discussed.