Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

Vorstellungen zu Zeiträumen der Evolution von Schülern der Oberstufe in Deutschland und Frankreich

Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Erhebung der Vorstellungen von Oberstufenschülern bezüglich der Zeitdimension in der Evolution. Daneben geht es um Vorstellungen zu Mechanismen und zu zentralen Ereignissen der Evolution. Einen wichtigen Schwerpunkt stellt der Vergleich der Vorstellungen zwischen deutschen und französischen Oberstufenschülern dar, mit dem Ziel, herauszufinden, ob und in welcher Form sich curriculare Unterschiede bemerkbar machen. In einem Seminar im Wintersemester 2008/2009 zum Thema „Evolutionsbiologie im Unterricht“ waren viele Studierende erstaunt darüber, wie schwer es ihnen fiel, die Zeiträume der Evolution erfahrbar zu machen. Aufgrund des durch diese Diskussion geweckten Interesses, die Vorstellungswelten der Schüler bezüglich der Zeiträume der Evolution zu erfassen, wurde die vorliegende quantitative Studie, die an eine qualitative zum Thema „Altersabhängige Schülervorstellungen zu Massensterbeereignissen in der Evolution. Eine Interviewstudie.“ anknüpft, aufgenommen. Zur Fragebogenentwicklung diente Literatur zur Forschungsmethode, aber auch Gespräche mit der Zielgruppe sowie die Daten der qualitativen Studie. Nach einem Probelauf und der Durchführung der Umfrage mit 158 deutschen und 129 französischen Schülern, wurden die Daten mit dem Computerprogramm SPSS ausgewertet. Selbst Schüler, in deren Unterricht Zeiträume der Evolution Thema war, verfügen nicht über realistische Vorstellungen, wie sich herausstellte, als sie diese benennen oder selbständig auf einem Zeitstrahl einzeichnen sollten. Allerdings hilft eine Veranschaulichung wie Kreisdiagramme bei realitätsnahen Einschätzungen. Gemäß des Lehrplans sind französische Schüler oft mit den Zeiträumen der Evolution im Unterricht konfrontiert. Trotzdem lassen sich bei ihnen keine realistischen Vorstellungen bezüglich der Zeitdimensionen vorfinden. Französische Schüler unterscheiden sich im Antwortverhalten von deutschen Schülern. Fragebögen der französischen Schüler vermitteln den Eindruck einer oberflächlichen Beantwortung. Die Lernenden scheinen sich nicht genau mit den Inhalten auseinandergesetzt zu haben, sie legen oft unreflektiert ihr Wissen oder ihre (teils unrealistischen) Vorstellungen dar. Zudem gehen französische Schüler eher als ihre deutschen Mitschüler den Arbeitsanweisungen nach. Bezüglich der Umstände, wie die Dinosaurier und andere Tiere ausgestorben sind, verfügen deutsche und französische Schüler über realistische Vorstellungen, was unter anderem auf die häufige Repräsentation in den Medien zurückgeführt wird. Überraschend viele Schüler stellen sich in Bezug auf die Menschwerdung verzweigte Stammeslinien vor, wobei finale Vorstellungen nur selten anzutreffen sind. Sie verfügen auch hier meist über realistische Vorstellungen. Es traten in der Untersuchung geschlechtsspezifische Unterschiede auf. Vorstellungen männlicher Schüler sind überwiegend realistischer als die der weiblichen Altersgenossen. Es ist abschließend anzumerken, dass Schüler aufgrund eines großen Interesses am Thema eine intensivere Behandlung des Themas Evolution im Biologieunterricht wünschen. Durch diese Untersuchung kommt es zu einem besseren Verständnis der Vorstellungswelten der Schüler bezüglich den Zeitdimensionen, den Mechanismen und zentralen Ereignissen der Evolution. Die Erkenntnisse können in der Unterrichtsvorbereitung und im Unterricht von Nutzen sein.