Modelling and simulation of a photovoltaic fuel cell hybrid system

A stand-alone power system is an autonomous system that supplies electricity to the user load without being connected to the electric grid. This kind of decentralized system is frequently located in remote and inaccessible areas. It is essential for about one third of the world population which are living in developed or isolated regions and have no access to an electricity utility grid. The most people live in remote and rural areas, with low population density, lacking even the basic infrastructure. The utility grid extension to these locations is not a cost effective option and sometimes technically not feasible. The purpose of this thesis is the modelling and simulation of a stand-alone hybrid power system, referred to as “hydrogen Photovoltaic-Fuel Cell (PVFC) hybrid system”. It couples a photovoltaic generator (PV), an alkaline water electrolyser, a storage gas tank, a proton exchange membrane fuel cell (PEMFC), and power conditioning units (PCU) to give different system topologies. The system is intended to be an environmentally friendly solution since it tries maximising the use of a renewable energy source. Electricity is produced by a PV generator to meet the requirements of a user load. Whenever there is enough solar radiation, the user load can be powered totally by the PV electricity. During periods of low solar radiation, auxiliary electricity is required. An alkaline high pressure water electrolyser is powered by the excess energy from the PV generator to produce hydrogen and oxygen at a pressure of maximum 30bar. Gases are stored without compression for short- (hourly or daily) and long- (seasonal) term. A proton exchange membrane (PEM) fuel cell is used to keep the system’s reliability at the same level as for the conventional system while decreasing the environmental impact of the whole system. The PEM fuel cell consumes gases which are produced by an electrolyser to meet the user load demand when the PV generator energy is deficient, so that it works as an auxiliary generator. Power conditioning units are appropriate for the conversion and dispatch the energy between the components of the system. No batteries are used in this system since they represent the weakest when used in PV systems due to their need for sophisticated control and their short lifetime. The model library, ISET Alternative Power Library (ISET-APL), is designed by the Institute of Solar Energy supply Technology (ISET) and used for the simulation of the hybrid system. The physical, analytical and/or empirical equations of each component are programmed and implemented separately in this library for the simulation software program Simplorer by C++ language. The model parameters are derived from manufacturer’s performance data sheets or measurements obtained from literature. The identification and validation of the major hydrogen PVFC hybrid system component models are evaluated according to the measured data of the components, from the manufacturer’s data sheet or from actual system operation. Then, the overall system is simulated, at intervals of one hour each, by using solar radiation as the primary energy input and hydrogen as energy storage for one year operation. A comparison between different topologies, such as DC or AC coupled systems, is carried out on the basis of energy point of view at two locations with different geographical latitudes, in Kassel/Germany (Europe) and in Cairo/Egypt (North Africa). The main conclusion in this work is that the simulation method of the system study under different conditions could successfully be used to give good visualization and comparison between those topologies for the overall performance of the system. The operational performance of the system is not only depending on component efficiency but also on system design and consumption behaviour. The worst case of this system is the low efficiency of the storage subsystem made of the electrolyser, the gas storage tank, and the fuel cell as it is around 25-34% at Cairo and 29-37% at Kassel. Therefore, the research for this system should be concentrated in the subsystem components development especially the fuel cell.

Identifikation spezieller Funktionen, die durch Rodriguesformeln gegeben sind

Es ist allgemein bekannt, dass sich zwei gegebene Systeme spezieller Funktionen durch Angabe einer Rekursionsgleichung und entsprechend vieler Anfangswerte identifizieren lassen, denn computeralgebraisch betrachtet hat man damit eine Normalform vorliegen. Daher hat sich die interessante Forschungsfrage ergeben, Funktionensysteme zu identifizieren, die über ihre Rodriguesformel gegeben sind. Zieht man den in den 1990er Jahren gefundenen Zeilberger-Algorithmus für holonome Funktionenfamilien hinzu, kann die Rodriguesformel algorithmisch in eine Rekursionsgleichung überführt werden. Falls die Funktionenfamilie überdies hypergeometrisch ist, sogar laufzeiteffizient. Um den Zeilberger-Algorithmus überhaupt anwenden zu können, muss es gelingen, die Rodriguesformel in eine Summe umzuwandeln. Die vorliegende Arbeit beschreibt die Umwandlung einer Rodriguesformel in die genannte Normalform für den kontinuierlichen, den diskreten sowie den q-diskreten Fall vollständig. Das in Almkvist und Zeilberger (1990) angegebene Vorgehen im kontinuierlichen Fall, wo die in der Rodriguesformel auftauchende n-te Ableitung über die Cauchysche Integralformel in ein komplexes Integral überführt wird, zeigt sich im diskreten Fall nun dergestalt, dass die n-te Potenz des Vorwärtsdifferenzenoperators in eine Summenschreibweise überführt wird. Die Rekursionsgleichung aus dieser Summe zu generieren, ist dann mit dem diskreten Zeilberger-Algorithmus einfach. Im q-Fall wird dargestellt, wie Rekursionsgleichungen aus vier verschiedenen q-Rodriguesformeln gewonnen werden können, wobei zunächst die n-te Potenz der jeweiligen q-Operatoren in eine Summe überführt wird. Drei der vier Summenformeln waren bislang unbekannt. Sie wurden experimentell gefunden und per vollständiger Induktion bewiesen. Der q-Zeilberger-Algorithmus erzeugt anschließend aus diesen Summen die gewünschte Rekursionsgleichung. In der Praxis ist es sinnvoll, den schnellen Zeilberger-Algorithmus anzuwenden, der Rekursionsgleichungen für bestimmte Summen über hypergeometrische Terme ausgibt. Auf dieser Fassung des Algorithmus basierend wurden die Überlegungen in Maple realisiert. Es ist daher sinnvoll, dass alle hier aufgeführten Prozeduren, die aus kontinuierlichen, diskreten sowie q-diskreten Rodriguesformeln jeweils Rekursionsgleichungen erzeugen, an den hypergeometrischen Funktionenfamilien der klassischen orthogonalen Polynome, der klassischen diskreten orthogonalen Polynome und an der q-Hahn-Klasse des Askey-Wilson-Schemas vollständig getestet werden. Die Testergebnisse liegen tabellarisch vor. Ein bedeutendes Forschungsergebnis ist, dass mit der im q-Fall implementierten Prozedur zur Erzeugung einer Rekursionsgleichung aus der Rodriguesformel bewiesen werden konnte, dass die im Standardwerk von Koekoek/Lesky/Swarttouw(2010) angegebene Rodriguesformel der Stieltjes-Wigert-Polynome nicht korrekt ist. Die richtige Rodriguesformel wurde experimentell gefunden und mit den bereitgestellten Methoden bewiesen. Hervorzuheben bleibt, dass an Stelle von Rekursionsgleichungen analog Differential- bzw. Differenzengleichungen für die Identifikation erzeugt wurden. Wie gesagt gehört zu einer Normalform für eine holonome Funktionenfamilie die Angabe der Anfangswerte. Für den kontinuierlichen Fall wurden umfangreiche, in dieser Gestalt in der Literatur noch nie aufgeführte Anfangswertberechnungen vorgenommen. Im diskreten Fall musste für die Anfangswertberechnung zur Differenzengleichung der Petkovsek-van-Hoeij-Algorithmus hinzugezogen werden, um die hypergeometrischen Lösungen der resultierenden Rekursionsgleichungen zu bestimmen. Die Arbeit stellt zu Beginn den schnellen Zeilberger-Algorithmus in seiner kontinuierlichen, diskreten und q-diskreten Variante vor, der das Fundament für die weiteren Betrachtungen bildet. Dabei wird gebührend auf die Unterschiede zwischen q-Zeilberger-Algorithmus und diskretem Zeilberger-Algorithmus eingegangen. Bei der praktischen Umsetzung wird Bezug auf die in Maple umgesetzten Zeilberger-Implementationen aus Koepf(1998/2014) genommen. Die meisten der umgesetzten Prozeduren werden im Text dokumentiert. Somit wird ein vollständiges Paket an Algorithmen bereitgestellt, mit denen beispielsweise Formelsammlungen für hypergeometrische Funktionenfamilien überprüft werden können, deren Rodriguesformeln bekannt sind. Gleichzeitig kann in Zukunft für noch nicht erforschte hypergeometrische Funktionenklassen die beschreibende Rekursionsgleichung erzeugt werden, wenn die Rodriguesformel bekannt ist.