Applications and modelling in mathematics teaching

The aim of this paper is a comprehensive presentation of some important basic and general aspects of the topic applications and modelling, with emphasis on the secondary school level. Owing to the review character of this paper, some overlap with the survey paper Blum and Niss (1989) for ICME-6 in Budapest is inevitable. The paper will consist of three parts. In part 1, I shall try to clarify some basic concepts and remind the reader of a few application and modelling examples suitable for teaching. In part 2, I shall formulate some general aims for mathematics instruction and, on that basis, summarise the most important arguments for and against applications and modelling in mathematics teaching. Finally, in part 3, I shall discuss some relevant instructional aspects resulting from the considerations in part 2.

Mathematical modelling in mathematics education and instruction

This paper aims at giving a concise survey of the present state-of-the-art of mathematical modelling in mathematics education and instruction. It will consist of four parts. In part 1, some basic concepts relevant to the topic will be clarified and, in particular, mathematical modelling will be defined in a broad, comprehensive sense. Part 2 will review arguments for the inclusion of modelling in mathematics teaching at schools and universities, and identify certain schools of thought within mathematics education. Part 3 will describe the role of modelling in present mathematics curricula and in everyday teaching practice. Some obstacles for mathematical modelling in the classroom will be analysed, as well as the opportunities and risks of computer usage. In part 4, selected materials and resources for teaching mathematical modelling, developed in the last few years in America, Australia and Europe, will be presented. The examples will demonstrate many promising directions of development.

Analysis of applications and of conceptions for an application-oriented mathematics instruction

In connection with the (revived) demand for considering applications in the teaching of mathematics, various schemata or lists of criteria have been developed since the end of the sixties, which set up requirements about closeness to the real world or about the type of mathematics being used, and which have made it possible to analyze the available applications in their light. After having stated the problem (in section 1), we present (in section 2) a sketch of some of the best known of these and of some earlier schemata, although we are not aiming for a complete picture. Then (in section 3) we distinguish among different dimensions.in the analysis of applications. With this as a basis, we develop (in section 4) our own suggestion for categorizing types of applications and conceptions for an application-oriented mathematics instruction. Then (in section 5) we illustrate our schemata by some examples of performed evaluations. Finally (in section 6), we present some preliminary first results of the analysis of teaching conceptions.

Kompetenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnisgewinnung

Wissenschaftsmethodische Kompetenzen sind ein Kernelement naturwissenschaftlicher Bildung und in den Bildungsstandards als Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung verbindlich festgeschrieben. Fokus aktueller naturwissenschaftsdidaktischer Forschung ist es, für diese normativen Standards theorie- und evidenzbasierte Kompetenzmodelle zu erarbeiten. In der vorliegenden Dissertation wird zum Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung für den Teilbereich der wissenschaftlichen Erkenntnismethoden geprüft, ob sich die im Kompetenzmodell wissenschaftlichen Denkens von Mayer (2007) angenommenen Teilkompetenzen Fragestellung formulieren, Hypothesen generieren, Planung einer Untersuchung sowie Deutung der Ergebnisse empirisch bestätigen lassen. Zudem wird quer- und längsschnittlich untersucht, wie sich die Kompetenz innerhalb der Sekundarstufe I entwickelt, welche Rolle Personenmerkmale spielen und ob die Unterrichtsgestaltung im Projekt Biologie im Kontext, in dessen Rahmen die Untersuchung stattfand, einen kompetenzfördernden Einfluss auf die Lernenden hat. Als Instrument wurde ein Kompetenztest mit offenen Aufgaben im Multimatrix-Design zum Thema Experimentieren im Biologieunterricht entwickelt und in Gymnasien, Realschulen und Hauptschulen in Hessen und Bayern in den Jahrgangsstufen 5-10 eingesetzt. Die Schülerantworten wurden anhand fünf a priori entwickelter Niveaustufen bewertet und mit der Item-Response-Theorie ausgewertet. Auf Basis einer Validierungsstudie (N= 1562) wurden mittels 24 Items die Schülerkompetenzen in querschnittlichen Analysen (N= 1553) sowie in einem Längsschnitt über ein Schuljahr (N= 1129) untersucht. Die Modellprüfung weist dem vierdimensionalen Modell eine bessere Passung zu als dem eindimensionalen Modell. Schwache bis mittlere Interkorrelationen und eine nachgeschaltete Faktorenanalyse lassen ebenfalls darauf schließen, dass dem vierdimensionalen Modell mit den postulierten Teilkompetenzen Fragestellung, Hypothese, Planung und Deutung gegenüber dem eindimensionalen Modell der Vorzug zu geben ist. Die querschnittlichen Analysen zeigen, dass zwischen den Jahrgangsstufen 5 6, 7 8 und 9 10 signifikante Leistungsunterschiede in der Gesamtkompetenz und den Teilkompetenzen bestehen. Dabei nehmen die zwischen den Teilkompetenzen festgestellten Leistungsunterschiede mit der Jahrgangsstufe zu. Die längsschnittlichen Analysen belegen Leistungszuwächse der Lernenden über ein Schuljahr: Die Kompetenz steigt hier in der Gesamtstichprobe und innerhalb der einzelnen Jahrgangsstufen der Sekundarstufe I signifikant an. Vergleicht man die verschiedenen Jahrgangsstufen in ihrem Kompetenzzuwachs über ein Schuljahr, so zeigt sich, dass der Kompetenzzuwachs in den Jahrgängen 5 8 stärker ausgeprägt ist als in den Jahrgängen 9 10. Auf Ebene der Teilkompetenzen liegt für die Gesamtstichprobe ein Kompetenzzuwachs über ein Schuljahr in den Teilkompetenzen Fragestellung, Hypothese und Planung vor, während in der Teilkompetenz Deutung ein geringer Kompetenzrückgang zu verzeichnen ist. Der Kompetenzgrad hängt mit der besuchten Schulform zusammen. Dabei zeigen Gymnasiasten querschnittlich untersucht bessere Leistungen als Realschüler oder Hauptschüler, wobei die Unterschiede zur Hauptschule besonders deutlich ausfallen. Kompetenzzuwächse über ein Schuljahr zeigen sich ausschließlich in Gymnasium und Realschule. Das Alter hat weder quer- noch längsschnittlich untersucht eigene Effekte auf die Kompetenzentwicklung, ebenso wenig wie das Geschlecht der Probanden. Der Einfluss der Biologienote ist im querschnittlichen Vergleich gering, im längsschnittlichen Vergleich nicht nachweisbar. Lernende, die am Projekt Biologie im Kontext teilnahmen, in dem Unterrichtsbausteine zur Erkenntnisgewinnung eingesetzt wurden, und deren Lehrkräfte verstärkt kompetenzorientiert unterrichteten, zeigen in den Klassen 9 10 größere Kompetenzzuwächse über ein Jahr als Probanden aus entsprechenden Kontrollklassen. Die Untersuchung zeigt, dass wissenschaftsmethodische Kompetenzen in der Sekundarstufe I vermittelt und weiterentwickelt werden. Der Befund der diskontinuierlichen Kompetenzentwicklung und der mit den Schuljahren zunehmenden Leistungsunterschiede zwischen den Teilkompetenzen führt als didaktische Implikation zu dem Schluss, dass weitere Maßnahmen zur Förderung wissenschaftsmethodischer Kompetenzen notwendig sind, um einen kumulativen Kompetenzaufbau gewährleisten zu können.

Professionswissen von Lehrkräften der Naturwissenschaften im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung

Die Ergebnisse internationaler Schulleistungsstudien wie TIMMS und PISA haben eine umfassende Diskussion zur Qualität, Struktur und Effizienz der Ausbildung und berufsbegleitenden Qualifizierung im deutschen Bildungssystem angestoßen. Die Kultusministerkonferenz der Länder (KMK) hat mit ihren Beschlüssen zu fachbezogenen Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss erstmalig ein funktionales und länderübergreifendes Konzept vorgelegt, in dem Bildung durch Kompetenzen beschrieben wird. Die von den Schülerinnen und Schülern zu erreichenden Kenntnisse und Fertigkeiten werden in Standards konkretisiert, die in den Bereichen Fachwissen, Erkenntnisgewinnung, Kommunikation und Bewertung als Regelstandards organisiert sind. Die ländergemeinsamen Anforderungen für die Fachwissenschaften und Fachdidaktiken und die Standards für die Lehrerbildung beschreiben ein auf die Bildungsstandards bezugnehmendes Anforderungsprofil auf Seiten der Lehrkräfte zur Sicherung der Qualität in der Aus-, Fort- und Weiterbildung in allen drei Phasen der Lehrerbildung, mit dem Ziel eine kompetente Berufsausübung zu gewährleisten. Durch die Einführung des Kompetenzbegriffs werden somit auch die Kenntnisse und Fertigkeiten von Lehrkräften der Naturwissenschaften beschrieben, die auf Lehr- und Lernsituationen im Kompetenzbereich Fachwissen und Erkenntnisgewinnung ausgerichtet sind. Diese Standards markieren den Einstieg in ein Qualitätsmanagement, in dem normativen Standards konkretisiert und fachbezogen operationalisiert werden. Deren Evaluation ermöglicht eine empirisch fundiertere Darstellung der Lehrerbildung, die somit auch einen Beitrag zu einer weitergehenden Beschreibung des Professionswissens von Lehrkräften leistet. Allerdings ist im deutschsprachigen Raum bislang noch kein umfassendes Modell zum Professionswissen von Lehrkräften der Naturwissenschaften und einer niveaubezogenen Differenzierung ausgewiesener Kompetenzen verfügbar. Erste Strukturierungsansätze weisen auf die besondere Bedeutung der Bereiche Fachwissen, Fachdidaktisches Wissen und Pädagogisches Wissen hin. Insbesondere das in diesen Bereichen organisierte Wissen und Können von Lehrkräften ist für eine professionelle Handlungskompetenz von besonderer Bedeutung, die einen bedeutsamen Prädiktor für die Unterrichtsqualität darstellt und den Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten im naturwissenschaftlichen Unterricht maßgeblich beeinflusst. Wesentliche Elemente einer umfassenden naturwissenschaftlichen Grundbildung werden in den Standards der Kompetenzbereiche Fachwissen und Erkenntnisgewinnung konkretisiert, die auch im Focus der Standards der Lehrerbildung in den naturwissenschaftlichen Fächern stehen. Die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung systematisieren prozessbezogen zentrale Kompetenzen Fachmethodischen Wissens im Kontext einer naturwissenschaftlichen Untersuchung. Das Rahmenkonzept wissenschaftsmethodischer Kompetenzen von Mayer (2007) weist die Standards der Erkenntnisgewinnung in den Teilkompetenzen, bezogen auf die Phasen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung, aus. Die vorliegende Untersuchung ist auf die Erhebung und Beschreibung von Kenntnissen und Fertigkeiten von Lehrkräften in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung ausgerichtet. Es wird untersucht, in welcher Weise die in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung beschriebenen wissenschaftsmethodischen Kompetenzen bei der Anlage fachdidaktisch begründeter Lernprozesse von den Lehrkräften berücksichtigt werden. Zudem wird der Frage nachgegangen, welche Erwartungen die Lehrkräfte an die Wirksamkeit ihrer Unterrichtsgestaltung in Bezug auf den intendierten Kompetenzerwerb wissenschaftsmethodischer Kompetenzen im naturwissenschaftlichen Unterricht haben. Im Anschluss wird das auf Seiten der Lehrkräfte verfügbare Fachmethodische Wissen beschrieben, auf das bei der Konkretisierung der Standards der Erkenntnisgewinnung im naturwissenschaftlichen Fachunterricht zurückgegriffen werden kann. Begleitend werden die Fächerkombination und das Lehramt als relevante Prädiktorvariablen im Hinblick auf die ausgewiesenen Fragestellungen betrachtet. Als Instrument wurde ein Erhebungsbogen entwickelt, der im Kooperationsprojekt „Kompetenzorientiert unterrichten in Mathematik und Naturwissenschaften“ der Universitäten Kassel und Gießen mit dem Amt für Lehrerbildung in Frankfurt zur Datenerhebung eingesetzt wurde. Den an der hessenweiten Qualifizierung teilnehmenden Lehrkräften (N = 282) wurde ein Erhebungsbogen mit 3 Instrumenten zu Beginn der Qualifizierung vorgelegt. Im ersten Instrument wurden die Ziele des naturwissenschaftlichen Arbeitens durch 24 Items abgebildet, die eine Selbstauskunft der Lehrkräfte durch eine sechsstufige Likert Skala erheben. Acht offene Testaufgaben haben im zweiten Instrument die wissenschaftsmethodischen Kenntnisse der Lehrkräfte in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung erhoben. Im dritten Instrument konnten die Lehrkräfte in drei freien Antwortformaten ihre Erwartungen an eine Qualifizierung im Kooperationsprojekt angeben. Wie die statistische Bearbeitung der Daten ausweist, berücksichtigen die Lehrkräfte die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung in der Facette „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und ihrer Dimensionen durchgängig „oft“. Lehrkräfte mit zwei naturwissenschaftlichen Fächern berücksichtigen die Kompetenzkonstrukte zudem häufiger bei der Anlage fachbezogenen Lernens. Im Hinblick auf die Erwartungen an die Lernprogression der Schülerinnen und Schüler werden die kompetenzbezogenen Ziele im naturwissenschaftlichen Unterricht nach Selbstauskunft der Lehrkräfte in der Facette „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und ihrer Dimensionen „oft“ erreicht. Nach der Selbstauskunft der Lehrkräfte gehen diese davon aus, dass die intendierte Lernprogression wissenschaftsmethodischer Kenntnisse und Fertigkeiten von den Lernenden „oft“ erreicht wird. Insbesondere der Dimension Arbeitstechniken wird von den Lehrkräften in beiden Facetten ein gleichermaßen hoher Stellenwert im naturwissenschaftlichen Unterricht beigemessen. Ein Vergleich der Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und ihrer Dimensionen zeigt allerdings auch, dass die Lehrkräfte die intendierte Lernprogression der Lernenden im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung schwächer einschätzen. Des Weiteren besteht ein belastbarer Zusammenhang zwischen der Planung von Lernprozessen und dem Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung. Die mittleren bis hohen Korrelationen zwischen den Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ deuten darauf hin, dass die seitens der Lehrkräfte eingesetzten fachmethodischen Kenntnisse in einem unmittelbaren Zusammenhang mit der Lernprogression im naturwissenschaftlichen Unterricht gesehen werden. Die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung werden von den Lehrkräften durchgängig berücksichtigt und als bedeutsam im naturwissenschaftlichen Fachunterricht erachtet. Bezüglich der Prädiktorvariablen Lehramt und Alter liegen keine statistisch bedeutsamen Befunde vor. Die Standards der KMK werden von den Lehrkräften im Bereich Fachwissen und Fachdidaktischem Wissen gleichermaßen, unabhängig von ihrer Berufspraxis, umgesetzt. Die von den Lehrkräften angegebenen Lösungen der offenen Aufgaben in den Teilkompetenzen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung lassen sich weitgehend der Niveaustufe 1 zuordnen. Lehrkräfte mit dem Lehramt für Gymnasien lösen die Aufgaben auf einem höheren Niveau, das allerdings die Niveaustufe 2 noch nicht erreicht. Offenbar gelingt es diesen Lehrkräften umfassender Kenntnisse und Fertigkeiten in den Teilkompetenzen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung zu aktivieren. Allerdings werden die mittleren Anforderungen, die national und international der Niveaustufe 3 zugeordnet werden, von den Lehrkräften durchgängig nicht erreicht. Zudem besteht zwischen den beiden Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und den offenen Aufgaben kein statistisch bedeutsamer Zusammenhang. Die Lehrkräfte setzen ihre Kenntnisse und Fertigkeiten mit den Anforderungen eines kompetenzorientierten naturwissenschaftlichen Fachunterrichts nur unzureichend in Beziehung. Wie die Befunde der im dritten Instrument erhobenen Erwartungen und Ziele einer Qualifizierung zeigen, bringen die Lehrkräfte die Bereitschaft mit, sich aktiv in die Qualitätsentwicklung einzubringen. Sie erwarten von dem kumulativen Kompetenzerwerb in den Bereichen Fachwissen und Fachmethodisches Wissen einen wesentlichen Beitrag zur Gestaltung standardorientierter Lehr- und Lernsituationen.