Fourier-Matrizen und Ringe mit Basis

Bei der Bestimmung der irreduziblen Charaktere einer Gruppe vom Lie-Typ entwickelte Lusztig eine Theorie, in der eine sogenannte Fourier-Transformation auftaucht. Dies ist eine Matrix, die nur von der Weylgruppe der Gruppe vom Lie-Typ abhängt. Anhand der Eigenschaften, die eine solche Fourier- Matrix erfüllen muß, haben Geck und Malle ein Axiomensystem aufgestellt. Dieses ermöglichte es Broue, Malle und Michel füur die Spetses, über die noch vieles unbekannt ist, Fourier-Matrizen zu bestimmen. Das Ziel dieser Arbeit ist eine Untersuchung und neue Interpretation dieser Fourier-Matrizen, die hoffentlich weitere Informationen zu den Spetses liefert. Die Werkzeuge, die dabei entstehen, sind sehr vielseitig verwendbar, denn diese Matrizen entsprechen gewissen Z-Algebren, die im Wesentlichen die Eigenschaften von Tafelalgebren besitzen. Diese spielen in der Darstellungstheorie eine wichtige Rolle, weil z.B. Darstellungsringe Tafelalgebren sind. In der Theorie der Kac-Moody-Algebren gibt es die sogenannte Kac-Peterson-Matrix, die auch die Eigenschaften unserer Fourier-Matrizen besitzt. Ein wichtiges Resultat dieser Arbeit ist, daß die Fourier-Matrizen, die G. Malle zu den imprimitiven komplexen Spiegelungsgruppen definiert, die Eigenschaft besitzen, daß die Strukturkonstanten der zugehörigen Algebren ganze Zahlen sind. Dazu müssen äußere Produkte von Gruppenringen von zyklischen Gruppen untersucht werden. Außerdem gibt es einen Zusammenhang zu den Kac-Peterson-Matrizen: Wir beweisen, daß wir durch Bildung äußerer Produkte von den Matrizen vom Typ A(1)1 zu denen vom Typ C(1) l gelangen. Lusztig erkannte, daß manche seiner Fourier-Matrizen zum Darstellungsring des Quantendoppels einer endlichen Gruppe gehören. Deswegen ist es naheliegend zu versuchen, die noch ungeklärten Matrizen als solche zu identifizieren. Coste, Gannon und Ruelle untersuchen diesen Darstellungsring. Sie stellen eine Reihe von wichtigen Fragen. Eine dieser Fragen beantworten wir, nämlich inwieweit rekonstruiert werden kann, zu welcher endlichen Gruppe gegebene Matrizen gehören. Den Darstellungsring des getwisteten Quantendoppels berechnen wir für viele Beispiele am Computer. Dazu müssen unter anderem Elemente aus der dritten Kohomologie-Gruppe H3(G,C×) explizit berechnet werden, was bisher anscheinend in noch keinem Computeralgebra-System implementiert wurde. Leider ergibt sich hierbei kein Zusammenhang zu den von Spetses herrührenden Matrizen. Die Werkzeuge, die in der Arbeit entwickelt werden, ermöglichen eine strukturelle Zerlegung der Z-Ringe mit Basis in bekannte Anteile. So können wir für die meisten Matrizen der Spetses Konstruktionen angeben: Die zugehörigen Z-Algebren sind Faktorringe von Tensorprodukten von affinen Ringe Charakterringen und von Darstellungsringen von Quantendoppeln.

Automatische Berechnung von Grenzwerten und Implementierung in Mathematica

Grenzwertberechnung ist ein unbeliebtes Gebiet der Mathematik. Jeder Schüler hasst es. Das liegt daran, dass es kein universelles Kochrezept gibt, das einen automatisch zur Lösung führt. Statt dessen muss man verschiedenste Ansätze daraufhin überprüfen, ob sie einen einer Lösung näher bringen. Computeralgebra leidet unter dem gleichen Problem, denn Computer lieben Kochrezepte ebenfalls. Entsprechend haben manche Computeralgebrasysteme auch heute noch starke Probleme mit Grenzwerten. 1996 stellte Dominik Gruntz in seiner Dissertation "On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System" einen Algorithmus vor, der eine Vielzahl komplexer Grenzwertaufgaben souverän und schnell lösen kann und der dennoch durch seine Einfachheit und Überschaubarkeit besticht. Ziel dieser Diplomarbeit ist es, den Algorithmus von Dominik Gruntz vorzustellen und im Computeralgebrasystem Mathematica zu implementieren.

Uniformisierbarkeit in Familien von abelschen t-Moduln höheren Ranges

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie sich in einer Familie von abelschen t-Moduln die Teilfamilie der uniformisierbaren t-Moduln beschreiben lässt. Abelsche t-Moduln sind höherdimensionale Verallgemeinerungen von Drinfeld-Moduln über algebraischen Funktionenkörpern. Bekanntermaßen lassen sich Drinfeld-Moduln in allgemeiner Charakteristik durch analytische Tori parametrisieren. Diese Tatsache überträgt sich allerdings nur auf manche t-Moduln, die man als uniformisierbar bezeichnet. Die Situation hat eine gewisse Analogie zur Theorie von elliptischen Kurven, Tori und abelschen Varietäten über den komplexen Zahlen. Um zu entscheiden, ob ein t-Modul in diesem Sinne uniformisierbar ist, wendet man ein Kriterium von Anderson an, das die rigide analytische Trivialität der zugehörigen t-Motive zum Inhalt hat. Wir wenden dieses Kriterium auf eine Familie von zweidimensionalen t-Moduln vom Rang vier an, die von Koeffizienten a,b,c,d abhängen, und gelangen dabei zur äquivalenten Fragestellung nach der Konvergenz von gewissen rekursiv definierten Folgen. Das Konvergenzverhalten dieser Folgen lässt sich mit Hilfe von Newtonpolygonen gut untersuchen. Schließlich erhält man durch dieses Vorgehen einfach formulierte Bedingungen an die Koeffizienten a,b,c,d, die einerseits die Uniformisierbarkeit garantieren oder andererseits diese ausschließen.

Die Carbonylierung acyclischer Diaminocarbene

Das Dissertationsprojekt befasst sich mit dem synthetischen Potential acyclischer Diaminocarbene (aDACs; Verbindungen des Typs (R2N)2C:) und prüft dabei insbesondere deren Reaktivität gegenüber Kohlenmonoxid (CO). Grundlage des Vorhabens ist eine Aufsehen erregende Beobachtung von SIEMELING et al. (Chem. Sci., 2010, 1, 697): Der Prototyp der aDACs, das Bis(diisopropylamino)carben, ist in der Lage CO zu aktivieren. Dabei wird zunächst ein intermediäres Keten des Typs (R2N)2C=C=O generiert, das in Folge einer intramolekularen Reaktion ein stabiles β-Lactamderivat ausbildet. Eine Sensation, schließlich ging man in der Fachwelt bis dato davon aus, dass cyclische und acyclische Diaminocarbene für derartige Reaktionen nicht elektrophil genug seien. Ziel der vorliegenden Arbeit war eine systematische Auslotung der aDAC-Reaktivität gegenüber CO. Im Rahmen der durchgeführten Untersuchungen ist es gelungen, das Feld der literaturbekannten aDACs von 12 auf 19 zu erweitern. Die Carbene, ihre Formamidiniumsalz-Vorstufen, sowie die korrespondierenden Carben–Metallkomplexe konnten in den meisten Fällen vollständig charakterisiert werden. Es konnte gezeigt werden, dass manche Isopropyl-substituierten aDACs in inertem Lösemittel einer β-Umlagerung unterliegen sowie, dass eine solche intramolekulare Reaktivität innerhalb dieser Substanzklasse nicht trivial ist: Zum Teil ganz ähnlich substituierte aDACs sind in Lösung unbegrenzt haltbar. Die Reaktivität gegenüber CO konnte an etwa einem Dutzend aDACs studiert werden. Lediglich in einem Fall zeigte sich das Carben inert. In einem sterisch überfrachteten Fall entstand in einer regio- und stereoselektiven Folgereaktion ein biologisch aktives bicyclisches β-Lactamderivat. In den meisten Fällen ergaben sich betainische Oxyallylspezies des Typs [(R2N)2C]2CO als intermolekulare Folgeprodukte. Die mechanistische Scheidelinie zwischen intra- und intermolekularer Keten-Folgereaktion konnte anhand der Carbonylierung sterisch ganz ähnlich substituierter aDACs aufgezeigt werden. Die gewonnenen Erkenntnisse liefern deutliche Hinweise darauf, dass das chemische Verhalten der aDACs gegenüber CO eher durch feinste elektronische Unterschiede als durch den sterischen Anspruch der Carben-Substituenten beeinflusst wird. Mit Hilfe von In-Situ-IR-Spektroskopie gelang es in manchen Fällen, bei denen eine Isolierung der Carbonylierungsprodukte nicht glückte, die Generierung hochreaktiver Oxyallylspezies zu belegen. Weiterhin konnte im Zuge der In-Situ-IR-Studien das zuvor nur postulierte Diaminoketen als primäres Carbonylierungsprodukt dingfest gemacht werden (ν(C=C=O) = 2085 1/cm): Es handelt sich hierbei um den ersten experimentellen Nachweis eines Diaminoketens überhaupt.

Bürgerschaftliches Engagement bei der Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie Bürger an der Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente mitwirken können und welche Leistungen von ihnen erbracht werden können. Dabei wird der Fokus darauf gerichtet, ob mit einer optimalen organisatorischen und methodischen Herangehensweise ein Inventar historischer Kulturlandschaftselemente erstellt werden kann, das auch den Anforderungen für eine planerische Anwendung genügt. Forschungsschwerpunkte der Arbeit sind entsprechend die Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente und die Anforderungen an die dabei erstellten Inventare sowie die Möglichkeiten für bürgerschaftliches Engagement bei der Inventarisierung. Darüber hinaus wird der Frage nachgegangen, ob mit dem bürgerschaftlichen Engagement bei der Inventarisierung ein sonstiger Mehrwert verbunden ist. Die Untersuchung wird anhand von Fallstudien durchgeführt. Empirische Grundlage sind acht ausgewählte Beispielprojekte, in denen Bürger an der Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente mitwirken bzw. diese durchführen. Um einen möglichst großen Erfahrungspool zu erschließen wurden Fallbeispiele gewählt, die sich u. a. hinsichtlich der Rahmenbedingungen, der Organisationsstrukturen, dem Maß und der Art der Mitwirkung von Bürgern unterscheiden. Die detaillierte Analyse dieser Projekte und die Evaluierung der in ihrem Rahmen erstellten Inventare ist Hauptgegenstand dieser Arbeit und eine Grundlage für die Entwicklung von Empfehlungen für bürgerschaftliches Engagement bei der Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente. Die Datenerhebung für die Analyse und Evaluierung erfolgt in erster Linie mittels Befragungen. Die Untersuchung zeigt, dass durch bürgerschaftliches Engagement wertvolle Beiträge zur Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente geleistet werden können. In der Bevölkerung gibt es sowohl Interesse an der aktiven Mitwirkung als auch Kompetenzen, um unter Anleitung historische Kulturlandschaftselemente zu erfassen. Es müssen jedoch einige methodische Hinweise berücksichtigt und Maßnahmen getroffen werden, um Defizite, die sich durch die Erfassung durch Freiwillige ergeben können, zu vermeiden. So ist es bspw. zwingend notwendig, organisatorische Strukturen, Methoden und Standards vorzugeben, die Freiwilligen anzuleiten und ggf. zu unterstützen sowie die erhobenen Daten zu prüfen und in einem gewissen Umfang auch zu qualifizieren. Wenn die Inventarisierungen von Fachexperten aufgebaut und gesteuert werden, kann verhindert werden, dass die methodische Vorgehensweise von den fachlichen Anforderungen abweicht, und dass falsch erhobene und bewertete Daten verbreitet werden. Nicht von der Hand zu weisen ist der hohe Organisations- und Betreuungsaufwand sowie der Aufwand zur Prüfung und Nachbesserung der Daten, der mit der Beteiligung von Bürgern einhergeht. Doch selbst wenn die erfassten Daten der Bürger nur eine Grundlage bilden, die geprüft und für eine planerische Verwendung weiter qualifiziert werden muss, können durch die Einbindung von Bürgern wichtige Beiträge zum Erhalt der Kulturlandschaft geleistet werden. Neben der Datenerfassung werden zahlreiche Bürger für das Themenfeld Kulturlandschaft sensibilisiert, so dass die Anliegen zum Erhalt der Kulturlandschaft in weiten Teilen der Bevölkerung an Bedeutung gewinnen und verankert werden können. Um das Potenzial bürgerschaftlichen Engagements für die Inventarisierung historischer Kulturlandschaftselemente optimal nutzen zu können, und um möglichst bundes- oder landesweit einheitliche Inventare zu erstellen die Akzeptanz finden und für die Planung und weitere Anwendungszwecke genutzt werden, besteht noch Entwicklungs- und Abstimmungsbedarf. Manche Entwicklungen stehen nicht in Zusammenhang mit der Beteiligung von Bürgern, sondern sind generell notwendig, um einheitliche und möglichst landes- oder gar bundesweite Inventarisierungen historischer Kulturlandschaftselemente zu realisieren. Dies betrifft z. B. die Konsensfindung unter den Behörden und Fachstellen bezüglich methodischer Fragen und der Zuständigkeiten oder die Entwicklung eines geeigneten GIS-basierten Online-Inventars.

Excitation of Phonons in Solids and Nanostructures by Intense Laser and XUV Pulses and by Low Energy Atomic Collision

Intensive, ultrakurze Laserpulse regen Festkörper in einen Zustand an, in dem die Elektronen hohe Temperaturen erlangen, während das Gitter kalt bleibt. Die heißen Elektronen beeinflussen das sog. Laser-angeregte interatomare Potential bzw. die Potentialenergiefläche, auf der die Ionen sich bewegen. Dieses kann neben anderen ultrakurzen Prozessen zu Änderungen der Phononfrequenzen (phonon softening oder phonon hardening) führen. Viele ultrakurze strukturelle Phänomene in Festkörpern hängen bei hohen Laseranregungen von Änderungen der Phononfrequenzen bei niedrigeren Anregungen ab. Um die Laser-bedingten Änderungen des Phononenspektrums von Festkörpern beschreiben zu können, haben wir ein auf Temperatur-abhängiger Dichtefunktionaltheorie basierendes Verfahren entwickelt. Die dramatischen Änderungen nach einer Laseranregung in der Potentialenergiefläche werden durch die starke Veränderung der Zustandsdichte und der Besetzungen der Elektronen hervorgerufen. Diese Änderungen in der Zustandsdichte und den Besetzungszahlen können wir mit unserer Methode berechnen, um dann damit das Verhalten der Phononen nach einer Laseranregung zu analysieren. Auf diese Art und Weise studierten wir den Einfluss einer Anregung mit einem intensiven, ultrakurzen Laserpuls auf repräsentative Phonon Eigenmoden in Magnesium, Kupfer und Aluminium. Wir stellten dabei in manchen Gitterschwingungen entweder eine Abnahme (softening) und in anderen eine Zunahme (hardening) der Eigenfrequenz fest. Manche Moden zeigten bei Variation der Laseranregungsstärke sogar beide Verhaltensweisen. Das eine Phonon-Eigenmode ein hardening und softening zeigen kann, wird durch das Vorhandensein von van Hove Singularitäten in der elektronischen Zustandsdichte des betrachteten Materials erklärt. Für diesen Fall stellt unser Verfahren zusammen mit der Sommerfeld-Entwicklung die Eigenschaften der Festkörper Vibrationen in Verbindung mit den Laser induzierten Veränderungen in den elektronischen Besetzungen für verschiedene Phonon-eingefrorene Atomkonfigurationen. Auch die absolute Größe des softening und hardening wurde berechnet. Wir nehmen an, dass unsere Theorie Licht in die Effekte der Laseranregung von verschiedenen Materialien bringt. Außerdem studierten wir mit Hilfe von Dichtefunktionaltheorie die strukturellen Material-Eigenschaften, die durch kurze XUV Pulse induziert werden. Warme dichte Materie in Ultrakurzpuls angeregten Magnesium wurde analysiert und verglichen mit den Ergebnissen bei durch Laser Anregung bedingten Änderungen. Unter Verwendung von elektronischer-Temperatur-abhängiger Dichtefunktionaltheorie wurden die Änderungen in den Bindungseigenschaften von warmen dichten Magnesium studiert. Wir stellten dabei beide Effekte, Verstärkung und Abschwächung von Bindungen, bei jeweils verschiedenen Phonon Eigenmoden von Magnesium auf Grund von der Erzeugung von Rumpflöchern und dem Vorhandensein von heißen Elektronen fest. Die zusätzliche Erzeugung von heißen Elektronen führt zu einer Änderung der Bindungscharakteristik, die der Änderung, die durch die bereits vorhandenen Rumpflöcher hervorgerufen wurde, entgegen wirkt. Die thermischen Eigenschaften von Nanostrukturen sind teilweise sehr wichtig für elektronische Bauteile. Wir studierten hier ebenfalls den Effekt einer einzelnen Graphen Lage auf Kupfer. Dazu untersuchten wir mit Dichtefunktionaltheorie die strukturellen- und Schwingungseigenschaften von Graphen auf einem Kupfer Substrat. Wir zeigen, dass die schwache Wechselwirkung zwischen Graphen und Kupfer die Frequenz der aus der Ebene gerichteten akustischen Phonon Eigenmode anhebt und die Entartung zwischen den aus der Ebene gerichteten akustischen und optischen Phononen im K-Punkt des Graphen Spektrums aufhebt. Zusätzlich führten wir ab initio Berechnungen zur inelastischen Streuung eines Helium Atoms mit Graphen auf einem Kuper(111) Substrat durch. Wir berechneten dazu das Leistungsspektrum, das uns eine Idee über die verschiedenen Gitterschwingungen des Graphene-Kuper(111) Systems gibt, die durch die Kollision des Helium Atom angeregt werden. Wir brachten die Positionen der Peaks im Leistungsspektrum mit den Phonon Eigenfrequenzen, die wir aus den statischen Rechnungen erhalten haben, in Beziehung. Unsere Ergebnisse werden auch verglichen mit den Ergebnissen experimenteller Daten zur Helium Streuung an Graphen-Kupfer(111) Oberflächen.