Bieberbach's Conjecture, the de Branges and Weinstein Functions and the Askey-Gasper Inequality

The Bieberbach conjecture about the coefficients of univalent functions of the unit disk was formulated by Ludwig Bieberbach in 1916 [Bieberbach1916]. The conjecture states that the coefficients of univalent functions are majorized by those of the Koebe function which maps the unit disk onto a radially slit plane. The Bieberbach conjecture was quite a difficult problem, and it was surprisingly proved by Louis de Branges in 1984 [deBranges1985] when some experts were rather trying to disprove it. It turned out that an inequality of Askey and Gasper [AskeyGasper1976] about certain hypergeometric functions played a crucial role in de Branges' proof. In this article I describe the historical development of the conjecture and the main ideas that led to the proof. The proof of Lenard Weinstein (1991) [Weinstein1991] follows, and it is shown how the two proofs are interrelated. Both proofs depend on polynomial systems that are directly related with the Koebe function. At this point algorithms of computer algebra come into the play, and computer demonstrations are given that show how important parts of the proofs can be automated.

On the equivariant Tamagawa number conjecture for abelian extensions of a quadratic imaginary field

Let k be a quadratic imaginary field, p a prime which splits in k/Q and does not divide the class number hk of k. Let L denote a finite abelian extention of k and let K be a subextention of L/k. In this article we prove the p-part of the Equivariant Tamagawa Number Conjecture for the pair (h0(Spec(L)),Z[Gal(L/K)]).

An algebraic proof of Iitaka's conjecture C2,1

We give a proof of Iitaka's conjecture C2,1 using only elementary methods from algebraic geometry.

Funktionelle Analyse der LC-FACS in Dictyostelium discoideum

"Funktionelle Analyse der LC-FACS in Dictyostelium discoideum" Das Dictyostelium discoideum Gen fcsA kodiert für ein 75 kDa großes Protein. Es kann durch Homologieanyalysen der Amino-säuresequenz zu den "long-chain fatty acyl-CoA"-Synthetasen ge-rechnet werden, die lang-kettige Fettsäuren durch die kovalente Bindung von Coenzym A akti-vie-ren und damit für diverse Reak-tionen in Stoffwechsel und Molekül-Synthese der Zelle verfügbar machen. Die hier untersuchte D. discoideum LC-FACS lokalisiert als peripher assoziiertes Protein an der cytosolischen Seite der Membran von Endo-somen und kleiner Vesikel. Bereits kurz nach der Bildung in der frühen sauren Phase kann die Lokalisation der LC-FACS auf Endosomen ge-zeigt werden. Sie dissoziiert im Laufe ihrer Neutra-li-sierung und kann auf späten Endosomen, die vor ihrer Exocytose stehen nicht mehr nach-gewiesen werden. Ein Teil der kleinen die in der gesamte Zelle verteilten kleinen Vesikel zeigt eine Kolokalisation mit lysosomalen Enzymen. Trotz des intrazellulären Verteilungs-mus-ters, das eine Beteiligung dieses Pro-teins an der Endocytose nahe-legt, konnte kein signifikanter Rückgang der Pino- und Phagocytose-Rate in LC-FACS Nullmutanten beobachtet werden. Der endo-cy-to-ti-sche Transit ist in diesen Zellen etwas verlängert, außerdem zeigen die Endosomen einen deutlich erhöhten pH-Wert, was zu einer weniger effektiven Prozessierung eines lysosomalen Enzyms führt (a-Mannosidase). Die Funktion der LC-FACS ist die Aufnahme von langkettigen Fettsäuren aus dem Lumen der Endosomen.

Biologische Charakterisierung von LC-FACS-Proteinen in Dictyostelium discoideum

Die Endozytose und die anschließende Verwertung der aufgenommenen Substanzen ist Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Dabei wird ein besonderes Augenmerk auf die Proteine gelegt, die an diesen Vorgängen beteiligt sind. In der hier vorliegenden Arbeit wird der Lipid-Status der Zelle und Enzyme des Lipid-Stoffwechsels berücksichtigt. Das Ausschalten einer Long Chain-Fatty Acyl CoA Synthetase 1 (LC-FACS), fcsB, in Dictyostelium discoideum hat eine Veränderung der Menge an neutralen Lipiden zur Folge. In diesen LC-FACS2 „Knock-Out“-Zellen wird ein Zusammenhang zwischen neutralen Lipiden und der Phagozytose von Hefen und Bakterien detektiert. Ein Einfluss auf den endozytotischen Transit kann in diesen Zellen nur induziert werden, wenn man zusätzlich den Triglycerid-Hydrolyse-Inhibitor LSD1 in den Zellen exprimiert. Mit Hilfe der Daten wird ein Modell erstellt, indem die Reduktion der Menge an neutralen Lipiden nicht direkt für diesen Phänotyp verantwortlich ist. Es ist vielmehr das Energie-Niveau der Zellen, das die Phagozytoserate beeinflusst. Möglich macht dies ein Pool aus Fettsäuren im Zytoplasma. Dieser besteht aus unaktivierten Fettsäuren und Acyl-CoAs. Auf ihn greifen Kompartimente wie Lipidtropfen, Mitochondrien und Peroxisomen zu, wenn Fettsäuren verstoffwechselt werden sollen. In LC-FACS2 „Knock-Out“-Zellen, wird das Gleichgewicht im Pool in Richtung der unaktivierten Fettsäuren verschoben. Anhand der Größe dieses Pools kann die Zelle ihren Energiestatus messen. Ein höherer Energie-Status führt dann zu einer Reduktion der Phagozytoserate. Vacuolin B Null Zellen (vacB-) zeigen eine extreme Verzögerung im endozytotischen Transit. Schaltet man in diesen Zellen die LC-FACS1 aus (vacB-/fcsA-), so reduziert man ebenfalls die Menge an Triglyceriden. Dies ist darauf zurückzuführen, dass der Acyl-CoA Anteil des Fettsäure-Pools reduziert ist. Diese Reduktion resultiert hier in einer Beschleunigung des endozytotischen Transits. Die Exozytose von vacB--Zellen und vacB-/ fcsA--Zellen unterscheidet sich nicht. Daher wird die Ursache für diese Beschleunigung in veränderten Fusions- bzw. Fissionseigenschaften der Endosomen vermutet. Somit führt das Ausschalten von LC-FACS-Proteinen in Dictyostelium zu einer veränderten Zusammensetzung des Fettsäure-Pools. Dies hat im Fall der LC-FACS1 Modifikationen der Membran-Dynamik und im Fall der LC-FACS2 Änderungen des Energie-Spiegels zur Folge.