Asymptotics of number fields and the Cohen-Lenstra heuristics

We study the asymptotics conjecture of Malle for dihedral groups Dl of order 2l, where l is an odd prime. We prove the expected lower bound for those groups. For the upper bounds we show that there is a connection to class groups of quadratic number fields. The asymptotic behavior of those class groups is predicted by the Cohen-Lenstra heuristics. Under the assumption of this heuristic we are able to prove the expected upper bounds.

On the equivariant Tamagawa number conjecture for abelian extensions of a quadratic imaginary field

Let k be a quadratic imaginary field, p a prime which splits in k/Q and does not divide the class number hk of k. Let L denote a finite abelian extention of k and let K be a subextention of L/k. In this article we prove the p-part of the Equivariant Tamagawa Number Conjecture for the pair (h0(Spec(L)),Z[Gal(L/K)]).

Some New Classes of Orthogonal Polynomials and Special Functions

In dieser Dissertation präsentieren wir zunächst eine Verallgemeinerung der üblichen Sturm-Liouville-Probleme mit symmetrischen Lösungen und erklären eine umfassendere Klasse. Dann führen wir einige neue Klassen orthogonaler Polynome und spezieller Funktionen ein, welche sich aus dieser symmetrischen Verallgemeinerung ableiten lassen. Als eine spezielle Konsequenz dieser Verallgemeinerung führen wir ein Polynomsystem mit vier freien Parametern ein und zeigen, dass in diesem System fast alle klassischen symmetrischen orthogonalen Polynome wie die Legendrepolynome, die Chebyshevpolynome erster und zweiter Art, die Gegenbauerpolynome, die verallgemeinerten Gegenbauerpolynome, die Hermitepolynome, die verallgemeinerten Hermitepolynome und zwei weitere neue endliche Systeme orthogonaler Polynome enthalten sind. All diese Polynome können direkt durch das neu eingeführte System ausgedrückt werden. Ferner bestimmen wir alle Standardeigenschaften des neuen Systems, insbesondere eine explizite Darstellung, eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, eine generische Orthogonalitätsbeziehung sowie eine generische Dreitermrekursion. Außerdem benutzen wir diese Erweiterung, um die assoziierten Legendrefunktionen, welche viele Anwendungen in Physik und Ingenieurwissenschaften haben, zu verallgemeinern, und wir zeigen, dass diese Verallgemeinerung Orthogonalitätseigenschaft und -intervall erhält. In einem weiteren Kapitel der Dissertation studieren wir detailliert die Standardeigenschaften endlicher orthogonaler Polynomsysteme, welche sich aus der üblichen Sturm-Liouville-Theorie ergeben und wir zeigen, dass sie orthogonal bezüglich der Fisherschen F-Verteilung, der inversen Gammaverteilung und der verallgemeinerten t-Verteilung sind. Im nächsten Abschnitt der Dissertation betrachten wir eine vierparametrige Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung. Wir zeigen, dass diese Verteilung gegen die Normalverteilung konvergiert, wenn die Anzahl der Stichprobe gegen Unendlich strebt. Eine ähnliche Verallgemeinerung der Fisherschen F-Verteilung konvergiert gegen die chi-Quadrat-Verteilung. Ferner führen wir im letzten Abschnitt der Dissertation einige neue Folgen spezieller Funktionen ein, welche Anwendungen bei der Lösung in Kugelkoordinaten der klassischen Potentialgleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung haben. Schließlich erklären wir zwei neue Klassen rationaler orthogonaler hypergeometrischer Funktionen, und wir zeigen unter Benutzung der Fouriertransformation und der Parsevalschen Gleichung, dass es sich um endliche Orthogonalsysteme mit Gewichtsfunktionen vom Gammatyp handelt.

The Parity of the Number of Irreducible Factors for Some Pentanomials

It is well known that Stickelberger-Swan theorem is very important for determining reducibility of polynomials over a binary field. Using this theorem it was determined the parity of the number of irreducible factors for some kinds of polynomials over a binary field, for instance, trinomials, tetranomials, self-reciprocal polynomials and so on. We discuss this problem for type II pentanomials namely x^m +x^{n+2} +x^{n+1} +x^n +1 \in\ IF_2 [x]. Such pentanomials can be used for efficient implementing multiplication in finite fields of characteristic two. Based on the computation of discriminant of these pentanomials with integer coefficients, it will be characterized the parity of the number of irreducible factors over IF_2 and be established the necessary conditions for the existence of this kind of irreducible pentanomials.

Parity of the Number of Irreducible Factors for Composite Polynomials

Various results on parity of the number of irreducible factors of given polynomials over finite fields have been obtained in the recent literature. Those are mainly based on Swan’s theorem in which discriminants of polynomials over a finite field or the integral ring Z play an important role. In this paper we consider discriminants of the composition of some polynomials over finite fields. The relation between the discriminants of composed polynomial and the original ones will be established. We apply this to obtain some results concerning the parity of the number of irreducible factors for several special polynomials over finite fields.

Influence of occupation number of single particle levels on K - K charge transfer in collisions of 90 keV - Ne{^9+} on Ne

The influence of the occupation of the single particle levels on the impact parameter dependent K - K charge transfer occuring in collisions of 90 keV Ne{^9+} on Ne was studied using coupled channel calculations. The energy eigenvalues and matrixelements for the single particle levels were taken from ab initio self consistent MO-LCAO-DIRAC-FOCK-SLATER calculations with occupation numbers corresponding to the single particle amplitudes given by the coupled channel calculations.

Algorithms for Tamagawa Number Conjectures

In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Untersuchung der äquivarianten Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach entwickelt. Zunächst werden Algorithmen angegeben mit denen die lokale Fundamentalklasse, die globale Fundamentalklasse und Tates kanonische Klasse berechnet werden können. Dies ermöglicht unter anderem Berechnungen in Brauergruppen von Zahlkörpererweiterungen. Anschließend werden diese Algorithmen auf die Tamagawazahlvermutung angewendet. Die Epsilonkonstantenvermutung kann dadurch für alle Galoiserweiterungen L|K bewiesen werden, bei denen L in einer Galoiserweiterung E|Q vom Grad kleiner gleich 15 eingebettet werden kann. Für die Tamagawazahlvermutung an der Stelle 1 wird ein Algorithmus angegeben, der die Vermutung für ein gegebenes Fallbeispiel L|Q numerischen verifizieren kann. Im Spezialfall, dass alle Charaktere rational oder abelsch sind, kann dieser Algorithmus die Vermutung für L|Q sogar beweisen.