Computations in Relative Algebraic K-Groups

Let G be finite group and K a number field or a p-adic field with ring of integers O_K. In the first part of the manuscript we present an algorithm that computes the relative algebraic K-group K_0(O_K[G],K) as an abstract abelian group. We solve the discrete logarithm problem, both in K_0(O_K[G],K) and the locally free class group cl(O_K[G]). All algorithms have been implemented in MAGMA for the case K = \IQ. In the second part of the manuscript we prove formulae for the torsion subgroup of K_0(\IZ[G],\IQ) for large classes of dihedral and quaternion groups.

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL_3 über Funktionenkörpern

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL(3) über Funktionenkörpern lassen sich als ein Analogon zu den auf der oberen Halbebene definierten klassischen Spitzenformen verstehen. An die Stelle des starken Abklingens der Spitzenformen tritt hier die Endlichkeit des Trägers modulo einer gewissen Untergruppe. Der erste Teil der vorliegenden Arbeit befaßt sich mit der Untersuchung und Charakterisierung dieses Trägers. Im weiteren Verlauf werden gewisse Konzepte der klassischen Theorie auf harmonische Funktionen übertragen. So wird gezeigt, daß diese sich ebenfalls als Fourierreihe darstellen lassen und es werden explizite Formeln für die Fourierkoeffizienten hergeleitet. Es stellt sich heraus, daß sich die Harmonizität in gewissen Relationen zwischen den Fourierkoeffizienten widerspiegelt und sich umgekehrt aus einem Satz passender Koeffizienten eine harmonische Funktion erzeugen läßt. Dies wird zur expliziten Konstruktion zweier quasi-harmonischer Funktionen genutzt, die ein Pendant zu klassischen Poincaré-Reihen darstellen. Abschließend werden Hecke-Operatoren definiert und Formeln für die Fourierkoeffizienten der Hecke-Transformierten einer harmonischen Funktion hergeleitet.