On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

Untersuchungen zu Fabry-Pérot Filterfeldern: Herstellung mittels Nanoimprinttechnologie, experimentelle Charakterisierung und Anwendungen

Die spektrale Zusammensetzung von Licht ändert sich, wenn es mit gasförmiger, flüssiger oder fester Materie d.h. mit Ionen, Atomen, Molekülen, Atom- und Molekülverbänden und amorphen oder kristallinen Festkörpern interagiert. Spektroskopische Messungen des Lichts nach der Wechselwirkung geben Aufschluss über die Eigenschaften der zu untersuchenden Materie [2]. Viele der heute noch nicht realisierbaren Ideen und Konzepte in den verschiedensten Anwendungsfeldern der Sensorik benötigen aber für ihre Umsetzung extrem miniaturisierte Spektrometer als Kernbestandteil der Sensoren. Ziel ist es jedoch nicht, dem Anwender dieser Sensoren Informationen über das Spektrum zu liefern, sondern die ausgewerteten spektralen Information als Indikator zum Handeln zu nutzen. Derartige intelligente Sensoren werden in Zukunft unter anderem dazu beitragen intelligente persönliche Umgebungen (engl.: smart rooms, smart buildings, smart cities, samrt personal environments) zu entwerfen und zu realisieren. Grundvoraussetzung für die Erschließung der verschiedenen Anwendungsgebiete sind Spektrometer, die die Anforderungen an niedrige Kosten, hohe Stückzahlen sowie geringe Größe und geringes Gewicht besser als verfügbare Hochleistungsgitter-Spektrometer erfüllen, die zwar bereits in den Bereich weniger Zentimeter miniaturisiert wurden, aber immer noch makroskopisch sind. Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen, dass es möglich ist, ein Fabry-Pérot Filterfeld herzustellen, welches später den Kern eines Nanospektrometers darstellen soll, bei dem die unterschiedlichen Kavitäten in einem einzigen Schritt mithilfe der Nanoimprint-Technologie erzeugt werden. Angesichts des Forschungsdefizits hinsichtlich der Nutzung der Nanoimprint-Technologie zur Fertigung von in ihrer Höhe exakten Strukturen werden in der vorliegenden Arbeit zwei Nanoimprint-Technologien untersucht: Das Heißprägen und das UV-Prägen. Das Ergebnis dieser Arbeit ist ein Fabry-Pérot Filterfeld, welches mittels geeigneter Nanoimprint-Technologie hergestellt wurde und demonstriert, dass ein Nanospektrometer auf der Basis eines Feldes von Filtern technisch realisierbar ist. Dazu werden im praktischen Teil dieser Arbeit (Untersuchung der Prägeprozesse) verschiedene technologische Methoden und Maschinen vorgestellt und die damit erreichten Ergebnisse hinsichtlich der Fabry-Pérot-Filterfelder verglichen. Die hergestellten Filterfelder wurden systematisch spektral vermessen. Diese Analyse zeigt 64 Transmissionsbänder der einzelnen Filter eines Feldes. Ein Vergleich mit publizierten Arbeiten des Standes der Wissenschaft und Technik zeigt, dass im Rahmen der vorliegenden Arbeit eine deutliche Verbesserung erreicht wurde. So konnte eine drastische Steigerung der transmittierten Lichtintensität der Filter erzielt werden und eine Nanoimprint-Methode identifiziert werden, mit welcher es möglich ist, einen Demonstrator herzustellen. Aufgrund der im Rahmen einer ausführlichen Charakterisierung ermittelten sehr guten experimentellen Ergebnisse des Demonstrators kann ein Nanospektrometer mit dem Fabry-Pérot-Filterfeld als Kernbestandteil in Zukunft hergestellt werden.