Introducing the Logarithmic finite element method: a geometrically exact planar Bernoulli beam element

We propose a novel finite element formulation that significantly reduces the number of degrees of freedom necessary to obtain reasonably accurate approximations of the low-frequency component of the deformation in boundary-value problems. In contrast to the standard Ritz–Galerkin approach, the shape functions are defined on a Lie algebra—the logarithmic space—of the deformation function. We construct a deformation function based on an interpolation of transformations at the nodes of the finite element. In the case of the geometrically exact planar Bernoulli beam element presented in this work, these transformation functions at the nodes are given as rotations. However, due to an intrinsic coupling between rotational and translational components of the deformation function, the formulation provides for a good approximation of the deflection of the beam, as well as of the resultant forces and moments. As both the translational and the rotational components of the deformation function are defined on the logarithmic space, we propose to refer to the novel approach as the “Logarithmic finite element method”, or “LogFE” method.

Zerreißproben

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Werk des französischen Philosophen Gilles Deleuze (1925-1995), indem sie dessen vielfältig-pluralistisches, in mancher Hinsicht sogar heterogenes Denken in einen Zusammenhang mit vitalistischen Philosophien der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stellt (an erster Stelle Henri Bergson, aber auch Hans Driesch und Jakob von Uexküll), um auf diese Weise – durch Vergleiche und Gegenüberstellungen - zu verdeutlichen, dass und inwiefern der Vitalismus in der Version von Deleuze unter dem Eindruck der Entwicklung der Biologie seit Darwin (für die hier besonders die wissenschaftsphilosophischen Überlegungen der französischen Molekularbiologen François Jacob und Jacques Monod herangezogen werden) nicht mehr in erster Linie naturphilosophisch verstanden werden kann, sondern experimentell. Das, womit hier gedanklich experimentiert wird, sind Intensitäten. Und Intensität – so wird dargelegt – ist der Schlüsselbegriff zum Verständnis von Deleuzes’ erstem philosophischen Hauptwerk „Differenz und Wiederholung“. Im Zeichen eines Denkens der Intensitäten versucht Deleuze etablierte Dualismen wie die von Natur (physis) und Kunst (techné), Mensch und Tier, Individualität und Allgemeinheit zu unterlaufen. Weil dieser Versuch sich selbst als ein – wie es in dem von Deleuze gemeinsam mit dem Psychiater Félix Guattari verfassten Buch „Tausend Plateaus“ heißt - Vorstoß in "eine Welt aus formlosen, gegenstandslosen und gesichtslosen Schnelligkeiten und Langsamkeiten" versteht, stellt sich mit der Frage nach den lebenspraktischen Aspekten dieses grenzüberschreitenden und Freiräume eröffnenden Vorhabens auch die nach den damit verbundenen Risiken und Nebenwirkungen. Zur Konkretisierung werden Beispiele aus der modernen Literatur (die Verzeitlichung des Denkens bei Marcel Proust, aber auch die existentielle Sprachskepsis Antonin Artauds), der bildenden Kunst (die Deformationskunst in der Malerei Francis Bacons) und der Moral- bzw. moralkritischen Philosophie (der Stoizismus als eine Art Kunst der Selbstverteidigung, Nietzsches Umwertung aller Werte als eine Kunst der Selbstüberbietung) erörtert. Was in diesen Praktiken stattfindet und zum Ausdruck gebracht wird, sind Zerreißproben, d. h. radikale Belastungen oder Erprobungen von Vermögen wie Sinnlichkeit, Einbildungskraft, Denken, weshalb diese Versuche mit Deleuze, der sich hier von den stilpsychologischen Untersuchungen des Kunsthistorikers Wilhelm Worringer hat inspirieren lassen, als Spielarten eines nichtorganischen Lebens zu verstehen sind. Sich darauf in einem ständigen Wechsel von Annäherung und Distanzierung einzulassen, macht das ausgeprägte Pathos der Philosophie aus, auf das man im Denken von Gilles Deleuze trifft.