Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula

In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.

Highly Sensitive Sensor Based On Intracavity Laser Absorption Spectroscopy By Means of Relative Intensity Noise

This thesis concerns with the main aspects of medical trace molecules detection by means of intracavity laser absorption spectroscopy (ICLAS), namely with the equirements for highly sensitive, highly selective, low price, and compact size sensor. A novel two modes semiconductor laser sensor is demonstrated. Its operation principle is based on the competition between these two modes. The sensor sensitivity is improved when the sample is placed inside the two modes laser cavity, and the competition between the two modes exists. The effects of the mode competition in ICLAS are discussed theoretically and experimentally. The sensor selectivity is enhanced using external cavity diode laser (ECDL) configuration, where the tuning range only depends on the external cavity configuration. In order to considerably reduce the sensor cost, relative intensity noise (RIN) is chosen for monitoring the intensity ratio of the two modes. RIN is found to be an excellent indicator for the two modes intensity ratio variations which strongly supports the sensor methodology. On the other hand, it has been found that, wavelength tuning has no effect on the RIN spectrum which is very beneficial for the proposed detection principle. In order to use the sensor for medical applications, the absorption line of an anesthetic sample, propofol, is measured. Propofol has been dissolved in various solvents. RIN has been chosen to monitor the sensor response. From the measured spectra, the sensor sensitivity enhancement factor is found to be of the order of 10^(3) times of the conventional laser spectroscopy.

Development and applications of density matrix functional theory of generalized Hubbard Models

In dieser Doktorarbeit wird eine akkurate Methode zur Bestimmung von Grundzustandseigenschaften stark korrelierter Elektronen im Rahmen von Gittermodellen entwickelt und angewandt. In der Dichtematrix-Funktional-Theorie (LDFT, vom englischen lattice density functional theory) ist die Ein-Teilchen-Dichtematrix γ die fundamentale Variable. Auf der Basis eines verallgemeinerten Hohenberg-Kohn-Theorems ergibt sich die Grundzustandsenergie Egs[γgs] = min° E[γ] durch die Minimierung des Energiefunktionals E[γ] bezüglich aller physikalischer bzw. repräsentativer γ. Das Energiefunktional kann in zwei Beiträge aufgeteilt werden: Das Funktional der kinetischen Energie T[γ], dessen lineare Abhängigkeit von γ genau bekannt ist, und das Funktional der Korrelationsenergie W[γ], dessen Abhängigkeit von γ nicht explizit bekannt ist. Das Auffinden präziser Näherungen für W[γ] stellt die tatsächliche Herausforderung dieser These dar. Einem Teil dieser Arbeit liegen vorausgegangene Studien zu Grunde, in denen eine Näherung des Funktionals W[γ] für das Hubbardmodell, basierend auf Skalierungshypothesen und exakten analytischen Ergebnissen für das Dimer, hergeleitet wird. Jedoch ist dieser Ansatz begrenzt auf spin-unabhängige und homogene Systeme. Um den Anwendungsbereich von LDFT zu erweitern, entwickeln wir drei verschiedene Ansätze zur Herleitung von W[γ], die das Studium von Systemen mit gebrochener Symmetrie ermöglichen. Zuerst wird das bisherige Skalierungsfunktional erweitert auf Systeme mit Ladungstransfer. Eine systematische Untersuchung der Abhängigkeit des Funktionals W[γ] von der Ladungsverteilung ergibt ähnliche Skalierungseigenschaften wie für den homogenen Fall. Daraufhin wird eine Erweiterung auf das Hubbardmodell auf bipartiten Gittern hergeleitet und an sowohl endlichen als auch unendlichen Systemen mit repulsiver und attraktiver Wechselwirkung angewandt. Die hohe Genauigkeit dieses Funktionals wird aufgezeigt. Es erweist sich jedoch als schwierig, diesen Ansatz auf komplexere Systeme zu übertragen, da bei der Berechnung von W[γ] das System als ganzes betrachtet wird. Um dieses Problem zu bewältigen, leiten wir eine weitere Näherung basierend auf lokalen Skalierungseigenschaften her. Dieses Funktional ist lokal bezüglich der Gitterplätze formuliert und ist daher anwendbar auf jede Art von geordneten oder ungeordneten Hamiltonoperatoren mit lokalen Wechselwirkungen. Als Anwendungen untersuchen wir den Metall-Isolator-Übergang sowohl im ionischen Hubbardmodell in einer und zwei Dimensionen als auch in eindimensionalen Hubbardketten mit nächsten und übernächsten Nachbarn. Schließlich entwickeln wir ein numerisches Verfahren zur Berechnung von W[γ], basierend auf exakten Diagonalisierungen eines effektiven Vielteilchen-Hamilton-Operators, welcher einen von einem effektiven Medium umgebenen Cluster beschreibt. Dieser effektive Hamiltonoperator hängt von der Dichtematrix γ ab und erlaubt die Herleitung von Näherungen an W[γ], dessen Qualität sich systematisch mit steigender Clustergröße verbessert. Die Formulierung ist spinabhängig und ermöglicht eine direkte Verallgemeinerung auf korrelierte Systeme mit mehreren Orbitalen, wie zum Beispiel auf den spd-Hamilton-Operator. Darüber hinaus berücksichtigt sie die Effekte kurzreichweitiger Ladungs- und Spinfluktuationen in dem Funktional. Für das Hubbardmodell wird die Genauigkeit der Methode durch Vergleich mit Bethe-Ansatz-Resultaten (1D) und Quanten-Monte-Carlo-Simulationen (2D) veranschaulicht. Zum Abschluss wird ein Ausblick auf relevante zukünftige Entwicklungen dieser Theorie gegeben.

Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results

In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.