Stability of preconditioned finite volume schemes at low Mach numbers

In [4], Guillard and Viozat propose a finite volume method for the simulation of inviscid steady as well as unsteady flows at low Mach numbers, based on a preconditioning technique. The scheme satisfies the results of a single scale asymptotic analysis in a discrete sense and comprises the advantage that this can be derived by a slight modification of the dissipation term within the numerical flux function. Unfortunately, it can be observed by numerical experiments that the preconditioned approach combined with an explicit time integration scheme turns out to be unstable if the time step Dt does not satisfy the requirement to be O(M2) as the Mach number M tends to zero, whereas the corresponding standard method remains stable up to Dt=O(M), M to 0, which results from the well-known CFL-condition. We present a comprehensive mathematical substantiation of this numerical phenomenon by means of a von Neumann stability analysis, which reveals that in contrast to the standard approach, the dissipation matrix of the preconditioned numerical flux function possesses an eigenvalue growing like M-2 as M tends to zero, thus causing the diminishment of the stability region of the explicit scheme. Thereby, we present statements for both the standard preconditioner used by Guillard and Viozat [4] and the more general one due to Turkel [21]. The theoretical results are after wards confirmed by numerical experiments.

Numerical simulation of tunnel fires using preconditioned finite volume schemes

This article is concerned with the numerical simulation of flows at low Mach numbers which are subject to the gravitational force and strong heat sources. As a specific example for such flows, a fire event in a car tunnel will be considered in detail. The low Mach flow is treated with a preconditioning technique allowing the computation of unsteady flows, while the source terms for gravitation and heat are incorporated via operator splitting. It is shown that a first order discretization in space is not able to compute the buoyancy forces properly on reasonable grids. The feasibility of the method is demonstrated on several test cases.

A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography

Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert. Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen deutlich die Notwendigkeit, den Einfluss von Topographie sowie die Behandlung von Nass/Trockenübergängen im Verfahren zu berücksichtigen. In der vorliegenden Dissertation wird ein, in Gebieten mit hinreichender Wasserhöhe, hochgenaues Finite-Volumen-Verfahren zur numerischen Bestimmung des zeitlichen Verlaufs der Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung aus gegebenen Anfangs- und Randbedingungen auf einem unstrukturierten Gitter vorgestellt, welches in der Lage ist, den Einfluss topographischer Quellterme auf die Strömung zu berücksichtigen, sowie in sogenannten \glqq lake at rest\grqq-stationären Zuständen diesen Einfluss mit den numerischen Flüssen exakt auszubalancieren. Basis des Verfahrens ist ein Finite-Volumen-Ansatz erster Ordnung, welcher durch eine WENO Rekonstruktion unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate und eine sogenannte Space Time Expansion erweitert wird mit dem Ziel, ein Verfahren beliebig hoher Ordnung zu erhalten. Die im Verfahren auftretenden Riemannprobleme werden mit dem Riemannlöser von Chinnayya, LeRoux und Seguin von 1999 gelöst, welcher die Einflüsse der Topographie auf den Strömungsverlauf mit berücksichtigt. Es wird in der Arbeit bewiesen, dass die Koeffizienten der durch das WENO-Verfahren berechneten Rekonstruktionspolynome die räumlichen Ableitungen der zu rekonstruierenden Funktion mit einem zur Verfahrensordnung passenden Genauigkeitsgrad approximieren. Ebenso wird bewiesen, dass die Koeffizienten des aus der Space Time Expansion resultierenden Polynoms die räumlichen und zeitlichen Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems approximieren. Darüber hinaus wird die wohlbalanciertheit des Verfahrens für beliebig hohe numerische Ordnung bewiesen. Für die Behandlung von Nass/Trockenübergangen wird eine Methode zur Ordnungsreduktion abhängig von Wasserhöhe und Zellgröße vorgeschlagen. Dies ist notwendig, um in der Rechnung negative Werte für die Wasserhöhe, welche als Folge von Oszillationen des Raum-Zeit-Polynoms auftreten können, zu vermeiden. Numerische Ergebnisse die die theoretische Verfahrensordnung bestätigen werden ebenso präsentiert wie Beispiele, welche die hervorragenden Eigenschaften des Gesamtverfahrens in der Berechnung herausfordernder Probleme demonstrieren.

Solution of the Hartree-Fock equations for atoms and diatomic molecules with the finite element method

The finite element method (FEM) is now developed to solve two-dimensional Hartree-Fock (HF) equations for atoms and diatomic molecules. The method and its implementation is described and results are presented for the atoms Be, Ne and Ar as well as the diatomic molecules LiH, BH, N_2 and CO as examples. Total energies and eigenvalues calculated with the FEM on the HF-level are compared with results obtained with the numerical standard methods used for the solution of the one dimensional HF equations for atoms and for diatomic molecules with the traditional LCAO quantum chemical methods and the newly developed finite difference method on the HF-level. In general the accuracy increases from the LCAO - to the finite difference - to the finite element method.

Calculations of the polycentric linear molecule H^2+_3 with the finite element method

A fully numerical two-dimensional solution of the Schrödinger equation is presented for the linear polyatomic molecule H^2+_3 using the finite element method (FEM). The Coulomb singularities at the nuclei are rectified by using both a condensed element distribution around the singularities and special elements. The accuracy of the results for the 1\sigma and 2\sigma orbitals is of the order of 10^-7 au.

Accurate Hartree-Fock-Slater calculations on small diatomic molecules with the finite-element method

We report on the self-consistent field solution of the Hartree-Fock-Slater equations using the finite-element method for the three small diatomic molecules N_2, BH and CO as examples. The quality of the results is not only better by two orders of magnitude than the fully numerical finite difference method of Laaksonen et al. but the method also requires a smaller number of grid points.

Spin-polarized Hartree-Fock-Slater calculations in atoms and diatomic molecules with the finite element method

We present spin-polarized Hartree-Fock-Slater calculations performed with the highly accurate numerical finite element method for the atoms N and 0 and the diatomic radical OH as examples.

H_2 solved by the finite element method

We report on the solution of the Hartree-Fock equations for the ground state of the H_2 molecule using the finite element method. Both the Hartree-Fock and the Poisson equations are solved with this method to an accuracy of 10^-8 using only 26 x 11 grid points in two dimensions. A 41 x 16 grid gives a new Hartree-Fock benchmark to ten-figure accuracy.

Finite element method for the accurate solution of diatomic molecules

We present the Finite-Element-Method (FEM) in its application to quantum mechanical problems solving for diatomic molecules. Results for Hartree-Fock calculations of H_2 and Hartree-Fock-Slater calculations of molecules like N_2 and C0 have been obtained. The accuracy achieved with less then 5000 grid points for the total energies of these systems is 10_-8 a.u., which is demonstrated for N_2.

Solution of the Hartree-Fock-Slater equations for diatomic molecules by the finite-element method

We present the finite-element method in its application to solving quantum-mechanical problems for diatomic molecules. Results for Hartree-Fock calculations of H_2 and Hartree-Fock-Slater calculations for molecules like N_2 and CO are presented. The accuracy achieved with fewer than 5000 grid points for the total energies of these systems is 10^-8 a.u., which is about two orders of magnitude better than the accuracy of any other available method.

Introducing the Logarithmic finite element method: a geometrically exact planar Bernoulli beam element

We propose a novel finite element formulation that significantly reduces the number of degrees of freedom necessary to obtain reasonably accurate approximations of the low-frequency component of the deformation in boundary-value problems. In contrast to the standard Ritz–Galerkin approach, the shape functions are defined on a Lie algebra—the logarithmic space—of the deformation function. We construct a deformation function based on an interpolation of transformations at the nodes of the finite element. In the case of the geometrically exact planar Bernoulli beam element presented in this work, these transformation functions at the nodes are given as rotations. However, due to an intrinsic coupling between rotational and translational components of the deformation function, the formulation provides for a good approximation of the deflection of the beam, as well as of the resultant forces and moments. As both the translational and the rotational components of the deformation function are defined on the logarithmic space, we propose to refer to the novel approach as the “Logarithmic finite element method���, or “LogFE” method.

Anisotropic adaptive resolution of boundary layers for heat conduction problems

We deal with the numerical solution of heat conduction problems featuring steep gradients. In order to solve the associated partial differential equation a finite volume technique is used and unstructured grids are employed. A discrete maximum principle for triangulations of a Delaunay type is developed. To capture thin boundary layers incorporating steep gradients an anisotropic mesh adaptation technique is implemented. Computational tests are performed for an academic problem where the exact solution is known as well as for a real world problem of a computer simulation of the thermoregulation of premature infants.

Numerical Simulation of Flows at Low Mach Numbers with Heat Sources

This work is concerned with finite volume methods for flows at low mach numbers which are under buoyancy and heat sources. As a particular application, fires in car tunnels will be considered. To extend the scheme for compressible flow into the low Mach number regime, a preconditioning technique is used and a stability result on this is proven. The source terms for gravity and heat are incorporated using operator splitting and the resulting method is analyzed.

Finite-Elemente-Mehrgitter von Molekülen

Im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie wurden Orbitalfunktionale wie z.B. B3LYP entwickelt. Diese lassen sich mit der „optimized effective potential“ – Methode selbstkonsistent auswerten. Während sie früher nur im 1D-Fall genau berechnet werden konnte, entwickelten Kümmel und Perdew eine Methode, bei der das OEP-Problem unter Verwendung einer Differentialgleichung selbstkonsistent gelöst werden kann. In dieser Arbeit wird ein Finite-Elemente-Mehrgitter-Verfahren verwendet, um die entstehenden Gleichungen zu lösen und damit Energien, Dichten und Ionisationsenergien für Atome und zweiatomige Moleküle zu berechnen. Als Orbitalfunktional wird dabei der „exakte Austausch“ verwendet; das Programm ist aber leicht auf jedes beliebige Funktional erweiterbar. Für das Be-Atom ließ sich mit 8.Ordnung –FEM die Gesamtenergien etwa um 2 Größenordnungen genauer berechnen als der Finite-Differenzen-Code von Makmal et al. Für die Eigenwerte und die Eigenschaften der Atome N und Ne wurde die Genauigkeit anderer numerischer Methoden erreicht. Die Rechenzeit wuchs erwartungsgemäß linear mit der Punktzahl. Trotz recht langsamer scf-Konvergenz wurden für das Molekül LiH Genauigkeiten wie bei FD und bei HF um 2-3 Größenordnungen bessere als mit Basismethoden erzielt. Damit zeigt sich, dass auf diese Weise benchmark-Rechnungen durchgeführt werden können. Diese dürften wegen der schnellen Konvergenz über der Punktzahl und dem geringen Zeitaufwand auch auf schwerere Systeme ausweitbar sein.

Thermoaktive Bauteilsysteme - Ein neuer simulationstechnischer Berechnungsansatz

Thermoaktive Bauteilsysteme sind Bauteile, die als Teil der Raumumschließungsflächen über ein integriertes Rohrsystem mit einem Heiz- oder Kühlmedium beaufschlagt werden können und so die Beheizung oder Kühlung des Raumes ermöglichen. Die Konstruktionenvielfalt reicht nach diesem Verständnis von Heiz, bzw. Kühldecken über Geschoßtrenndecken mit kern-integrierten Rohren bis hin zu den Fußbodenheizungen. Die darin enthaltenen extrem trägen Systeme werden bewußt eingesetzt, um Energieangebot und Raumenergiebedarf unter dem Aspekt der rationellen Energieanwendung zeitlich zu entkoppeln, z. B. aktive Bauteilkühlung in der Nacht, passive Raumkühlung über das kühle Bauteil am Tage. Gebäude- und Anlagenkonzepte, die träge reagierende thermoaktive Bauteilsysteme vorsehen, setzen im kompetenten und verantwortungsvollen Planungsprozeß den Einsatz moderner Gebäudesimulationswerkzeuge voraus, um fundierte Aussagen über Behaglichkeit und Energiebedarf treffen zu können. Die thermoaktiven Bauteilsysteme werden innerhalb dieser Werkzeuge durch Berechnungskomponenten repräsentiert, die auf mathematisch-physikalischen Modellen basieren und zur Lösung des bauteilimmanenten mehrdimensionalen instationären Wärmeleitungsproblems dienen. Bisher standen hierfür zwei unterschiedliche prinzipielle Vorgehensweisen zur Lösung zur Verfügung, die der physikalischen Modellbildung entstammen und Grenzen bzgl. abbildbarer Geometrie oder Rechengeschwindigkeit setzen. Die vorliegende Arbeit dokumentiert eine neue Herangehensweise, die als experimentelle Modellbildung bezeichnet wird. Über den Weg der Systemidentifikation können aus experimentell ermittelten Datenreihen die Parameter für ein kompaktes Black-Box-Modell bestimmt werden, das das Eingangs-Ausgangsverhalten des zugehörigen beliebig aufgebauten thermoaktiven Bauteils mit hinreichender Genauigkeit widergibt. Die Meßdatenreihen lassen sich über hochgenaue Berechnungen generieren, die auf Grund ihrer Detailtreue für den unmittelbaren Einsatz in der Gebäudesimulation ungeeignet wären. Die Anwendung der Systemidentifikation auf das zweidimensionale Wärmeleitungsproblem und der Nachweis ihrer Eignung wird an Hand von sechs sehr unterschiedlichen Aufbauten thermoaktiver Bauteilsysteme durchgeführt und bestätigt sehr geringe Temperatur- und Energiebilanzfehler. Vergleiche zwischen via Systemidentifikation ermittelten Black-Box-Modellen und physikalischen Modellen für zwei Fußbodenkonstruktionen zeigen, daß erstgenannte auch als Referenz für Genauigkeitsabschätzungen herangezogen werden können. Die Praktikabilität des neuen Modellierungsansatzes wird an Fallstudien demonstriert, die Ganzjahressimulationen unter Bauteil- und Betriebsvariationen an einem exemplarischen Büroraum betreffen. Dazu erfolgt die Integration des Black-Box-Modells in das kommerzielle Gebäude- und Anlagensimulationsprogramm CARNOT. Die akzeptablen Rechenzeiten für ein Einzonen-Gebäudemodell in Verbindung mit den hohen Genauigkeiten bescheinigen die Eignung der neuen Modellierungsweise.