Relativistische vier und zwei Spinor Finite Elemente Berechnungen zweiatomiger Moleküle

Der Vielelektronen Aspekt wird in einteilchenartigen Formulierungen berücksichtigt, entweder in Hartree-Fock Näherung oder unter dem Einschluß der Elektron-Elektron Korrelationen durch die Dichtefunktional Theorie. Da die Physik elektronischer Systeme (Atome, Moleküle, Cluster, Kondensierte Materie, Plasmen) relativistisch ist, habe ich von Anfang an die relativistische 4 Spinor Dirac Theorie eingesetzt, in jüngster Zeit aber, und das wird der hauptfortschritt in den relativistischen Beschreibung durch meine Promotionsarbeit werden, eine ebenfalls voll relativistische, auf dem sogenannten Minimax Prinzip beruhende 2-Spinor Theorie umgesetzt. Im folgenden ist eine kurze Beschreibung meiner Dissertation: Ein wesentlicher Effizienzgewinn in der relativistischen 4-Spinor Dirac Rechnungen konnte durch neuartige singuläre Koordinatentransformationen erreicht werden, so daß sich auch noch für das superschwere Th2 179+ hächste Lösungsgenauigkeiten mit moderatem Computer Aufwand ergaben, und zu zwei weiteren interessanten Veröffentlichungen führten (Publikationsliste). Trotz der damit bereits ermöglichten sehr viel effizienteren relativistischen Berechnung von Molekülen und Clustern blieben diese Rechnungen Größenordnungen aufwendiger als entsprechende nicht-relativistische. Diese behandeln das tatsächliche (relativitische) Verhalten elektronischer Systeme nur näherungsweise richtig, um so besser jedoch, je leichter die beteiligten Atome sind (kleine Kernladungszahl Z). Deshalb habe ich nach einem neuen Formalismus gesucht, der dem möglichst gut Rechnung trägt und trotzdem die Physik richtig relativistisch beschreibt. Dies gelingt durch ein 2-Spinor basierendes Minimax Prinzip: Systeme mit leichten Atomen sind voll relativistisch nunmehr nahezu ähnlich effizient beschrieben wie nicht-relativistisch, was natürlich große Hoffnungen für genaue (d.h. relativistische) Berechnungen weckt. Es ergab sich eine erste grundlegende Veröffentlichung (Publikationsliste). Die Genauigkeit in stark relativistischen Systemen wie Th2 179+ ist ähnlich oder leicht besser als in 4-Spinor Dirac-Formulierung. Die Vorteile der neuen Formulierung gehen aber entscheidend weiter: A. Die neue Minimax Formulierung der Dirac-Gl. ist frei von spuriosen Zuständen und hat keine positronischen Kontaminationen. B. Der Aufwand ist weit reduziert, da nur ein 1/3 der Matrix Elemente gegenüber 4-Spinor noch zu berechnen ist, und alle Matrixdimensionen Faktor 2 kleiner sind. C. Numerisch verhält sich die neue Formulierung ähnlilch gut wie die nichtrelativistische Schrödinger Gleichung (Obwohl es eine exakte Formulierung und keine Näherung der Dirac-Gl. ist), und hat damit bessere Konvergenzeigenschaften als 4-Spinor. Insbesondere die Fehlerwichtung (singulärer und glatter Anteil) ist in 2-Spinor anders, und diese zeigt die guten Extrapolationseigenschaften wie bei der nichtrelativistischen Schrödinger Gleichung. Die Ausweitung des Anwendungsbereichs von (relativistischen) 2-Spinor ist bereits in FEM Dirac-Fock-Slater, mit zwei Beispielen CO und N2, erfolgreich gemacht. Weitere Erweiterungen sind nahezu möglich. Siehe Minmax LCAO Nährung.

Micro-electromechanical structural design and optimization of vertical cavity photonic devices with wide continuous tuning

Diese Arbeit umfaßt das elektromechanische Design und die Designoptimierung von weit durchstimmbaren optischen multimembranbasierten Bauelementen, mit vertikal orientierten Kavitäten, basierend auf der Finiten Element Methode (FEM). Ein multimembran InP/Luft Fabry-Pérot optischer Filter wird dargestellt und umfassend analysiert. In dieser Arbeit wird ein systematisches strukturelles Designverfahren dargestellt. Genaue analytische elektromechanischer Modelle für die Bauelemente sind abgeleitet worden. Diese können unschätzbare Werkzeuge sein, um am Anfang der Designphase schnell einen klaren Einblick zur Verfügung zu stellen. Mittels des FEM Programms ist der durch die nicht-lineare Verspannung hervorgerufene versteifende Effekt nachgeforscht und sein Effekt auf die Verlängerung der mechanischen Durchstimmungsstrecke der Bauelemente demonstriert worden. Interessant war auch die Beobachtung, dass die normierte Relation zwischen Ablenkung und Spannung ein unveränderliches Profil hat. Die Deformation der Membranflächen der in dieser Arbeit dargestellten Bauelementformen erwies sich als ein unerwünschter, jedoch manchmal unvermeidbarer Effekt. Es zeigt sich aber, dass die Wahl der Größe der strukturellen Dimensionen den Grad der Membrandeformation im Falle der Aktuation beeinflusst. Diese Arbeit stellt ein elektromechanisches in FEMLAB implementierte quasi-3D Modell, das allgemein für die Modellierung dünner Strukturen angewendet werden kann, dar; und zwar indem man diese als 2D-Objekte betrachtet und die dritte Dimension als eine konstante Größe (z.B. die Schichtdicke) oder eine Größe, welche eine mathematische Funktion ist, annimmt. Diese Annahme verringert drastisch die Berechnungszeit sowie den erforderlichen Arbeitsspeicherbedarf. Weiter ist es für die Nachforschung des Effekts der Skalierung der durchstimmbaren Bauelemente verwendet worden. Eine neuartige Skalierungstechnik wurde abgeleitet und verwendet. Die Ergebnisse belegen, dass das daraus resultierende, skalierte Bauelement fast genau die gleiche mechanische Durchstimmung wie das unskalierte zeigt. Die Einbeziehung des Einflusses von axialen Verspannungen und Gradientenverspannungen in die Berechnungen erforderte die Änderung der Standardimplementierung des 3D Mechanikberechnungsmodus, der mit der benutzten FEM Software geliefert wurde. Die Ergebnisse dieser Studie zeigen einen großen Einfluss der Verspannung auf die Durchstimmungseigenschaften der untersuchten Bauelemente. Ferner stimmten die Ergebnisse der theoretischen Modellrechnung mit den experimentellen Resultaten sehr gut überein.

Sensitivitätsanalyse mit Einflussfunktionen

Es wird dargestellt, auf welche Weise man den Einfluss von Steifigkeitsänderungen auf Weg- oder Kraftgrößen bestimmen kann. Berücksichtigt werden Steifigkeitsänderungen eines Punktlagers, z.B. an einem Durchlaufträger und Steifigkeitsänderungen in einem bestimmten Bereich, z.B. die Lagerung einer Platte auf Wänden. Darüberhinaus wird auch der komplette Ausfall eines Punktlagers oder einer Wand bei der Herleitung berücksichtigt. Außerdem wird dargestellt, wie man Dehn- oder Biegesteifigkeitsänderungen in einzelnen Stäben, Balken und Bereichen einer Platte oder Scheibe berücksichtigen kann. Auch für den Ausfall eines Stabs in einem ebenen Fachwerk oder eines Balkens in einem Rahmentragwerk werden Formeln hergeleitet, mit denen man die Änderung einer Punktgröße für diesen Fall ermitteln kann. Die hergeleiteten Formeln basieren auf der schwachen Formulierung, die mittels partieller Integration aus der Differential- gleichung hervorgeht. Man betrachtet den Unterschied der inneren Energie eines ungeschwächten Systems 1 und eines geschwächten Systems 2 und setzt anstelle der virtuellen Verrückung die Einflussfunktion für die gesuchte Weg- oder Kraftgröße im System 1 ein. Das Ergebnis der Herleitung ist eine Gleichung, mit der man Steifigkeitsänderungen in Tragwerken und deren Einfluss auf Punkt- größen berücksichtigen kann.

Goal-oriented recovery bei nichtlinearen Scheibenproblemen

Es werden die Grundlagen und wichtigsten Konzepte für zielorientierte Fehlerschätzer bei linearen und nichtlinearen Problemen vorgestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Aussagen über die Güte einzelner lokaler Werte treffen und es ist möglich, das Netz innerhalb von adaptiven Verfahren derart zu optimieren, dass die betrachtete lokale Größe möglichst genau berechnet werden kann.

Bodengewölbe unter ruhender und nichtruhender Belastung bei Berücksichtigung von Bewehrungseinlagen aus Geogittern

Die Forschungsarbeit beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit der Ausbildung von Bodengewölben über punkt- und linienförmigen Auflagerungen und der Stabilisierung des Gewölbebereiches durch horizontale Bewehrungseinlagen aus Geokunststoffen. Während das Tragverhalten entsprechender Bodengewölbe unter ruhenden Belastungen bereits wissenschaftlich erforscht ist untersucht die Dissertation vornehmlich das Gewölbeverhalten unter nichtruhenden Belastungen. Da die Gewölbemodelle primär im Verkehrswegebau als geokunststoffbewehrte Erdschichten über Pfahlelementen (GEP) ausgeführt werden, ist für die Praxis die Untersuchung der Auswirkung einer nichtruhenden Belastung (Verkehrslast) von besonderer Bedeutung. Methodisch wurden umfangreiche großmaßstäbliche Modellversuche (Maßstab 1:3) zur Gewölbeausbildungen am Pfahlrasterausschnitt sowie am Dammquerschnitt mit Berücksichtigung der Böschungssituation vorgenommen. Die Modellversuche wurden in einer differenzierten numerischen Analyse mit der Methode der finiten Elemente (FEM) verifiziert. Die zyklischen FEM-Modelle basierten dabei auf einem zyklisch-viskoplastischen Stoffansatz. Aufbauend auf den Modellversuchsergebnissen wurden schließlich modifizierte analytische Berechnungsansätze entwickelt. Zusammenfassend kann es bei zyklischen Beanspruchungen im unbewehrten System zu einer Gewölberückbildung und zu erhöhten Systemverformungen kommen. Die Größe der Gewölberückbildung ist abhängig von der Überdeckungshöhe, der Belastungsfrequenz, der Lastzyklenzahl sowie der zyklischen Belastungsamplitude in Relation zur statischen Überlagerungsspannung. Mit abnehmender Höhe, zunehmender Frequenz, zunehmender Zyklenzahl und Belastungsamplitude tritt eine Gewölbereduktion verstärkt ein. Eine erhöhte Primärspannung kann dazu führen, dass die Bodengewölbe überdrückt werden und dadurch gegenüber zyklischer Beanspruchung stabiler sind. Auch bei Anordnung von Bewehrungslagen sind ähnliche Effekte zu beobachten wie im unbewehrten Fall. Mit zunehmender zyklischer Beanspruchung behindern die eingebauten Geokunststoffe allerdings die Ausbildung der Scherfugen, reduzieren dadurch die Setzungen, erhöhen die Lastumlagerung auf die Pfähle und stabilisieren dadurch das System. Aus den Modellversuchen wurde ein vereinfachter Ansatz für die vorhandenen analytischen Berechnungsverfahren in Form eines Gewölbereduktionsfaktors k abgeleitet, mit dem näherungsweise auch für praktische Fälle eine erste Abschätzung der Gewölbereduktion infolge nichtruhender Belastung möglich ist. Ergänzend zu dem Hauptthema der Gewölbeausbildung unter nichtruhenden Lasten unter-sucht die Forschungsarbeit die allgemeine Verwendbarkeit der FEM-Methode zur Berechnung eines GEP-Systems unter ruhender und nichtruhender Belastung, beurteilt die derzeit gültigen Spreizdruckansätze sowie den derzeitigen Verankerungsnachweis für eingelegte Geokunststofflagen und untersucht die Lastabtragung im Geogitter bei dreieckrasterförmiger Lagerung.

Zur statischen und dynamischen Analyse rotierender elastischer Strukturen (Turbinenschaufeln, Verdichter) bei transienten Betriebsbedingungen

Die vorliegende Arbeit stellt die erforderlichen theoretischen Zusammenhänge zur Berechnung von rotierenden elastischen Strukturen wie etwa Turbinen- und Verdichterschaufeln, Laufräder, Scheiben etc. zusammen und zeigt die Entwicklung eines entsprechenden FEM-Programm-Systems. Es ermöglicht die Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenformen von Einzelstrukturen und rotations-periodischen Strukturen in Abhängigkeit von der Drehfrequenz unter Einbeziehung aller wesentlichen Effekte. Weiterhin ist es möglich für einen beliebigen durch ein Polygon angenäherten Drehzahl-Zeit-Verlauf die erzwungenen Schwingungen und daraus resultierend die Spannungsverläufe über der Zeit zu berechnen. Hierauf aufbauend können die Lebensdauer der Struktur abgeschätzt und Parameterstudien durchgeführt werden.

Lateral spreading in basal reinforced embankments supported by pile-like elements

Bei Dämmen auf wenig tragfähigem Untergrund ist es zwischenzeitlich Stand der Technik, an der Dammbasis eine Bewehrung aus hochzugfesten Geokunststoffen (Gewebe oder Geogitter) einzulegen. Dabei können die Bewehrungslagen direkt auf den weichen Boden oder über Pfahlelementen angeordnet werden, die die Dammlasten in tiefere, tragfähigere Schichten abtragen. Die horizontale Bewehrung an der Dammbasis hat die Aufgabe, die vertikalen Dammlasten und die nach außen wirkenden Spreizkräfte aufzunehmen. Dies ist besonders für bewehrte Tragschichten über Pfählen von großer Bedeutung, da sonst die Pfähle/Säulen eine Biegebeanspruchung erhalten, die sie aufgrund des geringen Durchmessers (oftmals unbewehrt) nicht aufnehmen können. Abgesicherte wissenschaftliche Erkenntnisse über Größe und Verteilung der Spreizspannung in Höhe ober- und unterhalb der Bewehrungslagen liegen derzeit noch nicht vor, aus denen dann auch die Beanspruchung abzuleiten ist, die aus der Spreizwirkung bei der Geokunststoffbemessung zu berücksichtigen ist. Herr Dr.-Ing. Gourge Fahmi hat dafür zunächst den Kenntnisstand zur Spreizbeanspruchung ohne und mit Bewehrung sowie ohne und mit Pfahlelementen zusammengefasst. Ein wesentlicher Teil einer wissenschaftlichen Untersuchungen stellt die Modellversuche in einem relativ großen Maßstab dar, die u. a. auch zur Validierung von numerischen Berechnungen zur Fragestellung vorgesehen waren. Dabei konnte nach gewissen Parameteranpassungen überwiegend eine gute Übereinstimmung zwischen Modellversuchen und FEM-Berechnungen erreicht werden. Lediglich bei den Dehnungen bzw. Zugkräften in den Geogittern über Pfahlelementen ergab die FEM bei dem verwendeten Programmsystem viel zu niedrige Werte. Es wurde dazu in der Arbeit anhand eigener Untersuchungen und Vergleichsergebnissen aus der Literatur eine Hypothese formuliert und zunächst die Berechnungsergebnisse mit einem Faktor angepasst. Mit den durchgeführten Verifikationen stand damit dann ein weitestgehend abgesichertes numerisches Berechnungsmodell zur Verfügung. Aufbauend auf diesen Vorarbeiten konnten Parameterstudien mit numerischen und analytischen Methoden zur Spreizproblematik durchgeführt werden. Dabei wurden die Randbedingungen und Parametervariationen sinnvoll und für die Fragestellung zutreffend gewählt. Die numerischen Verfahren ergaben vertiefte Erkenntnisse zur Mechanik und zum Verhalten der Konstruktion. Die analytischen Vergleichsberechnungen validierten primär die Güte dieser vereinfachten Ansätze für praktische Berechnungen. Zusammenfassend wurde festgestellt, dass erwartungsgemäß die Spreizkräfte im Geogitter nahezu linear mit der Dammhöhe anwachsen. Von besonderer Bedeutung für die Größe der Spreizkräfte ist die Steifigkeit der Weichschichten. Dieser Parameter wird bei den bisher bekannten analytischen Berechnungsverfahren nicht berücksichtigt. Je weicher der Untergrund, je größer wird das Verhältnis zwischen Spreiz- und Membranbeanspruchung. Eine steilere Dammböschung hat erwartungsgemäß ebenfalls eine höhere Spreizwirkung zur Folge. Des Weiteren ergeben sich bei mehrlagigen Geogittern die höheren Beanspruchungen in der unteren Lage aus dem Membraneffekt und in der oberen Lage aus dem Spreizeffekt. Zu diesen Erkenntnissen wurden in der Arbeit erste Vorschläge für die praktischen Bemessungen gemacht, die aber noch weiter zu optimieren sind. Schließlich erfolgt von Herrn Fahmi eine Betrachtung der Pfahlelementbeanspruchung aus Pfahlkopfverschiebung und Biegemomenten. Dabei wurde ersichtlich, dass die Pfahlelemente bei hohen Dämmen erhebliche Beanspruchungen erhalten können, wenn relativ weicher Untergrund vorhanden ist, und es zeigt die Notwendigkeit entsprechend abgesicherter Bemessungsverfahren auf.

Solution of the Hartree-Fock equations for atoms and diatomic molecules with the finite element method

The finite element method (FEM) is now developed to solve two-dimensional Hartree-Fock (HF) equations for atoms and diatomic molecules. The method and its implementation is described and results are presented for the atoms Be, Ne and Ar as well as the diatomic molecules LiH, BH, N_2 and CO as examples. Total energies and eigenvalues calculated with the FEM on the HF-level are compared with results obtained with the numerical standard methods used for the solution of the one dimensional HF equations for atoms and for diatomic molecules with the traditional LCAO quantum chemical methods and the newly developed finite difference method on the HF-level. In general the accuracy increases from the LCAO - to the finite difference - to the finite element method.

Calculations of the polycentric linear molecule H^2+_3 with the finite element method

A fully numerical two-dimensional solution of the Schrödinger equation is presented for the linear polyatomic molecule H^2+_3 using the finite element method (FEM). The Coulomb singularities at the nuclei are rectified by using both a condensed element distribution around the singularities and special elements. The accuracy of the results for the 1\sigma and 2\sigma orbitals is of the order of 10^-7 au.

Finite element method for the accurate solution of diatomic molecules

We present the Finite-Element-Method (FEM) in its application to quantum mechanical problems solving for diatomic molecules. Results for Hartree-Fock calculations of H_2 and Hartree-Fock-Slater calculations of molecules like N_2 and C0 have been obtained. The accuracy achieved with less then 5000 grid points for the total energies of these systems is 10_-8 a.u., which is demonstrated for N_2.

Evaluation der Schneidkantenbelastung beim Gewindebohren schwer zerspanbarer Werkstoffe

Gewindebohren ist ein spanabhebendes Innengewinde-Fertigungsverfahren. Der Prozess des Gewindebohrens ist technologisch hoch anspruchsvoll, da der Span zwischen Bauteil und Werkzeug entgegen der Vorschubrichtung abgeführt werden muss. Die Bearbeitung von schwer zerspanbaren Werkstoffen führt zu steigenden Anforderungen an den Gewindebohrer, insbesondere an dessen Schneidkanten. Diese Arbeit beschreibt die technologischen und werkzeugspezifischen Belastungszustände unterschiedlicher Gewindebohrer, die bei der Bearbeitung der Werkstoffe γ-Titanaluminid, 42CrMo4 (höher vergütet) und GJV-400 auftreten. Die Ermittlung der Schneidkantenbelastung erfolgt methodisch anhand von konventionellen Zerspanungsversuchen, FEM-Analysen, Analogie-Experimenten sowie einer 3D-CAD-Parameterstudie. Die unterschiedlichen Ergebnisse fließen in eine leistungssteigernde Werkzeugmodifikation ein, die zu einer Erhöhung der Standzeit führt.

Modellfehler und Greensche Funktionen in der Statik

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den Fehlern, die bei der Berechnung von Tragstrukturen auftreten können, dem Diskretisierungs- und dem Modellfehler. Ein zentrales Werkzeug für die Betrachtung des lokalen Fehlers in einer FE-Berechnung sind die Greenschen Funktionen, die auch in anderen Bereichen der Statik, wie man zeigen kann, eine tragende Rolle spielen. Um den richtigen Einsatz der Greenschen Funktion mit der FE-Technik sicherzustellen, werden deren Eigenschaften und die konsistente Generierung aufgezeigt. Mit dem vorgestellten Verfahren, der Lagrange-Methode, wird es möglich auch für nichtlineare Probleme eine Greensche Funktion zu ermitteln. Eine logische Konsequenz aus diesen Betrachtungen ist die Verbesserung der Einflussfunktion durch Verwendung von Grundlösungen. Die Greensche Funktion wird dabei in die Grundlösung und einen regulären Anteil, welcher mittels FE-Technik bestimmt wird, aufgespalten. Mit dieser Methode, hier angewandt auf die Kirchhoff-Platte, erhält man deutlich genauere Ergebnisse als mit der FE-Methode bei einem vergleichbaren Rechenaufwand, wie die numerischen Untersuchungen zeigen. Die Lagrange-Methode bietet einen generellen Zugang zur zweiten Fehlerart, dem Modellfehler, und kann für lineare und nichtlineare Probleme angewandt werden. Auch hierbei übernimmt die Greensche Funktion wieder eine tragende Rolle, um die Auswirkungen von Parameteränderungen auf ausgewählte Zielgrößen betrachten zu können.

Relativistic LCAO with Minimax Principle and New Balanced Basis Sets

Relativistic density functional theory is widely applied in molecular calculations with heavy atoms, where relativistic and correlation effects are on the same footing. Variational stability of the Dirac Hamiltonian is a very important field of research from the beginning of relativistic molecular calculations on, among efforts for accuracy, efficiency, and density functional formulation, etc. Approximations of one- or two-component methods and searching for suitable basis sets are two major means for good projection power against the negative continuum. The minimax two-component spinor linear combination of atomic orbitals (LCAO) is applied in the present work for both light and super-heavy one-electron systems, providing good approximations in the whole energy spectrum, being close to the benchmark minimax finite element method (FEM) values and without spurious and contaminated states, in contrast to the presence of these artifacts in the traditional four-component spinor LCAO. The variational stability assures that minimax LCAO is bounded from below. New balanced basis sets, kinetic and potential defect balanced (TVDB), following the minimax idea, are applied with the Dirac Hamiltonian. Its performance in the same super-heavy one-electron quasi-molecules shows also very good projection capability against variational collapse, as the minimax LCAO is taken as the best projection to compare with. The TVDB method has twice as many basis coefficients as four-component spinor LCAO, which becomes now linear and overcomes the disadvantage of great time-consumption in the minimax method. The calculation with both the TVDB method and the traditional LCAO method for the dimers with elements in group 11 of the periodic table investigates their difference. New bigger basis sets are constructed than in previous research, achieving high accuracy within the functionals involved. Their difference in total energy is much smaller than the basis incompleteness error, showing that the traditional four-spinor LCAO keeps enough projection power from the numerical atomic orbitals and is suitable in research on relativistic quantum chemistry. In scattering investigations for the same comparison purpose, the failure of the traditional LCAO method of providing a stable spectrum with increasing size of basis sets is contrasted to the TVDB method, which contains no spurious states already without pre-orthogonalization of basis sets. Keeping the same conditions including the accuracy of matrix elements shows that the variational instability prevails over the linear dependence of the basis sets. The success of the TVDB method manifests its capability not only in relativistic quantum chemistry but also for scattering and under the influence of strong external electronic and magnetic fields. The good accuracy in total energy with large basis sets and the good projection property encourage wider research on different molecules, with better functionals, and on small effects.

Finite-Elemente-Mehrgitter von Molekülen

Im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie wurden Orbitalfunktionale wie z.B. B3LYP entwickelt. Diese lassen sich mit der „optimized effective potential“ – Methode selbstkonsistent auswerten. Während sie früher nur im 1D-Fall genau berechnet werden konnte, entwickelten Kümmel und Perdew eine Methode, bei der das OEP-Problem unter Verwendung einer Differentialgleichung selbstkonsistent gelöst werden kann. In dieser Arbeit wird ein Finite-Elemente-Mehrgitter-Verfahren verwendet, um die entstehenden Gleichungen zu lösen und damit Energien, Dichten und Ionisationsenergien für Atome und zweiatomige Moleküle zu berechnen. Als Orbitalfunktional wird dabei der „exakte Austausch“ verwendet; das Programm ist aber leicht auf jedes beliebige Funktional erweiterbar. Für das Be-Atom ließ sich mit 8.Ordnung –FEM die Gesamtenergien etwa um 2 Größenordnungen genauer berechnen als der Finite-Differenzen-Code von Makmal et al. Für die Eigenwerte und die Eigenschaften der Atome N und Ne wurde die Genauigkeit anderer numerischer Methoden erreicht. Die Rechenzeit wuchs erwartungsgemäß linear mit der Punktzahl. Trotz recht langsamer scf-Konvergenz wurden für das Molekül LiH Genauigkeiten wie bei FD und bei HF um 2-3 Größenordnungen bessere als mit Basismethoden erzielt. Damit zeigt sich, dass auf diese Weise benchmark-Rechnungen durchgeführt werden können. Diese dürften wegen der schnellen Konvergenz über der Punktzahl und dem geringen Zeitaufwand auch auf schwerere Systeme ausweitbar sein.