A generalization of Student’s t-distribution from the viewpoint of special functions

Student’s t-distribution has found various applications in mathematical statistics. One of the main properties of the t-distribution is to converge to the normal distribution as the number of samples tends to infinity. In this paper, by using a Cauchy integral we introduce a generalization of the t-distribution function with four free parameters and show that it converges to the normal distribution again. We provide a comprehensive treatment of mathematical properties of this new distribution. Moreover, since the Fisher F-distribution has a close relationship with the t-distribution, we also introduce a generalization of the F-distribution and prove that it converges to the chi-square distribution as the number of samples tends to infinity. Finally some particular sub-cases of these distributions are considered.

Gemeinsam selbständig. Eine Analyse kooperativen Handelns bei partnerschaftlichen Existenzgründungen

Im Zentrum der empirischen Arbeit steht einerseits eine besondere Form der Unternehmensgründung, andererseits eine besondere Form der Kooperation: die partnerschaftliche Existenzgründung. Das Forschungsvorhaben geht dem Ziel nach, Kooperationsprozesse in solchen unternehmerischen Partnerschaften zu explorieren. Um letztendlich eine praktisch nutzbare Grundlage für Maßnahmen zur Förderung beruflicher Selbständigkeit zu gewinnen, werden Merkmale und Rahmenbedingungen erfolgreicher partnerschaftlicher Existenzgründungen aufgezeigt. Die Empirie stützt sich auf qualitative Interviews mit Personen, die erfolgreich im Team ein Unternehmen gegründet haben und führen. In einem ersten Schritt werden anhand der Interviews konkrete alltägliche Kooperationsprozesse präzise beschrieben. Darauf aufbauend zeichnen tiefer gehende qualitative Analysen Entwicklungen auf einer abstrakteren Handlungsebene nach. Das Spektrum der Betrachtung umfasst neben individuellen Entwicklungen der Unternehmensgründer auch Prozesse auf der Teamebene sowie auf unternehmerischer Ebene. Zur Exploration der Handlungsprozesse werden die eigenen Ergebnisse durch ausgewählte theoretische Ansätze aus Kognitions- und Sozialpsychologie, aus soziologischer Handlungstheorie und Betriebswirtschaftslehre bereichert. Als relevant auf individueller Ebene erweisen sich insbesondere Prozesse der Identitätsentwicklung hin zu einer unternehmerisch-partnerschaftlichen Identität. Auf der Teamebene sind die Bewahrung und Überwindung von Eigensinn in der Interaktion sowie der Aufbau einer vertrauensvollen Beziehung zentral. Auf Unternehmensebene schließlich spielen Prozesse der Sinnfindung zwischen individuellen Erwerbsentwürfen und ökonomischen Strukturen, die Entstehung von Ordnung sowie Problemlösungsprozesse eine entscheidende Rolle. Insgesamt wird deutlich, dass der Weg in eine partnerschaftliche Selbständigkeit ein vielschichtiger Lernprozess ist, der aus der Praxis heraus entsteht, im Wesentlichen von den Gründern selbst organisiert und von gemeinsamen Reflexionen getragen wird. Diese Erkenntnisse stellen erste Ansatzpunkte dar zur Förderung beruflicher Selbständigkeit in Hochschule und im beruflichen Bildungswesen.

Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula

In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.