Lagrangian approximations and weak solutions of the Navier-Stokes equations

The motion of a viscous incompressible fluid flow in bounded domains with a smooth boundary can be described by the nonlinear Navier-Stokes equations. This description corresponds to the so-called Eulerian approach. We develop a new approximation method for the Navier-Stokes equations in both the stationary and the non-stationary case by a suitable coupling of the Eulerian and the Lagrangian representation of the flow, where the latter is defined by the trajectories of the particles of the fluid. The method leads to a sequence of uniquely determined approximate solutions with a high degree of regularity containing a convergent subsequence with limit function v such that v is a weak solution of the Navier-Stokes equations.

Redox reactions of group 5 elements, including element 105, in aqueous solutions

Standard redox potentials E^0(M^z+x/M^z+) in acidic solutions for group 5 elements including element 105 (Ha) and the actinide, Pa, have been estimated on the basis of the ionization potentials calculated via the multiconfiguration Dirac-Fock method. Stability of the pentavalent state was shown to increase along the group from V to Ha, while that of the tetra- and trivalent states decreases in this direction. Our estimates have shown no extra stability of the trivalent state of hahnium. Element 105 should form mixed-valence complexes by analogy with Nb due to the similar values of their potentials E^0(M^3+/M^2+). The stability of the maximumoxidation state of the elements decreases in the direction 103 > 104 > 105.

The electronic structure of anionic halide complexes of element 105 in aqueous solutions and their extraction by aliphatic amines

To study the complex formation of group 5 elements (Nb, Ta, Ha, and pseudoanalog Pa) in aqueous HCI solutions of medium and high concentrations the electronic structures of anionic complexes of these elements [MCl_6]^-, [MOCl_4]^-, [M(OH)-2 Cl_4]^-, and [MOCl_5]^2- have been calculated using the relativistic Dirac-Slater Discrete-Variational Method. The charge density distribution analysis has shown that tantalum occupies a specific position in the group and has the highest tendency to form the pure halide complex, [TaCl_6-. This fact along with a high covalency of this complex explains its good extractability into aliphatic amines. Niobium has equal trends to form pure halide [NbCl_6]^- and oxyhalide [NbOCl_5]^2- species at medium and high acid concentrations. Protactinium has a slight preference for the [PaOCl_5]^2- form or for the pure halide complexes with coordination number higher than 6 under these conditions. Element 105 at high HCl concentrations will have a preference to form oxyhalide anionic complex [HaOCl_5]^2- rather than [HaCl_6]^-. For the same sort of anionic oxychloride complexes an estimate has been done of their partition between the organic and aqueous phases in the extraction by aliphatic amines, which shows the following succession of the partition coefficients: P_Nb < P_Ha < P_Pa.

Approximate solutions and error estimates for a Stokes boundary value problem

The aim of this paper is the numerical treatment of a boundary value problem for the system of Stokes' equations. For this we extend the method of approximate approximations to boundary value problems. This method was introduced by V. Maz'ya in 1991 and has been used until now for the approximation of smooth functions defined on the whole space and for the approximation of volume potentials. In the present paper we develop an approximation procedure for the solution of the interior Dirichlet problem for the system of Stokes' equations in two dimensions. The procedure is based on potential theoretical considerations in connection with a boundary integral equations method and consists of three approximation steps as follows. In a first step the unknown source density in the potential representation of the solution is replaced by approximate approximations. In a second step the decay behavior of the generating functions is used to gain a suitable approximation for the potential kernel, and in a third step Nyström's method leads to a linear algebraic system for the approximate source density. For every step a convergence analysis is established and corresponding error estimates are given.

On Solutions of Holonomic Divided-Difference Equations on Non-Uniform Lattices

The main aim of this paper is the development of suitable bases (replacing the power basis x^n (n\in\IN_\le 0) which enable the direct series representation of orthogonal polynomial systems on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable). We present two bases of this type, the first of which allows to write solutions of arbitrary divided-difference equations in terms of series representations extending results given in [16] for the q-case. Furthermore it enables the representation of the Stieltjes function which can be used to prove the equivalence between the Pearson equation for a given linear functional and the Riccati equation for the formal Stieltjes function. If the Askey-Wilson polynomials are written in terms of this basis, however, the coefficients turn out to be not q-hypergeometric. Therefore, we present a second basis, which shares several relevant properties with the first one. This basis enables to generate the defining representation of the Askey-Wilson polynomials directly from their divided-difference equation. For this purpose the divided-difference equation must be rewritten in terms of suitable divided-difference operators developed in [5], see also [6].

Kinematische und dynamische Analyse des Schwimmstarts vom Block unter besonderer Berücksichtigung der Eintauch- und Übergangsphase

Der Startabschnitt im Schwimmen stellt insbesondere in den Sprintwettbewerben über 50m und 100m eine leistungsdeterminierende Größe dar. Gerade in den letzten Jahren ist das Aufkommen von neuen Starttechniken, die zu einer Optimierung der Startleistung führen sollen, zu beobachten. Ziel der Dissertation ist es, anhand einer kinematischen und dynamischen Analyse des Starts, Aussagen über die wesentlichen Einflussfaktoren auf die Leistung zu treffen. Hierzu wird eine biomechanische Analyse von Grab- und Trackstarts unter Einbeziehung der Eintauch- und Übergangsphase durchgeführt. Für die Entwicklung von Trainingsempfehlungen sind solche Zusammenhangsanalysen unerlässlich. Im theoretischen Teil der Dissertation wird die morphologische Phasenstruktur der Startbewegung im Schwimmen thematisiert. Hierbei werden unterschiedliche Modelle vorgestellt und miteinander verglichen. Durch den Vergleich der publizierten Studien zum Schwimmstart können sowohl Aussagen zu den leistungsrelevanten kinematischen und den dynamischen Kennwerten der Startbewegung zusammengefasst werden als auch Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Untersuchungs-methodik aufdeckt und in Relation zu der eigenen Studie gestellt werden. Im methodischen Teil wird sich zunächst mit Problemfeldern in der Datenerhebung (Berechnung der Linsenfehler und der Genauigkeit bei der Bestimmung unterschiedlicher Erhebungsmethoden der Abfluggeschwindigkeit) auseinander gesetzt. Weiterhin wird eine Methodenbeschreibung des eingesetzten ABKuS-Verfahrens beschrieben. Hierbei handelt es sich um ein selbstentwickeltes Berechnungsverfahren zur Bestimmung von Körpersegmentkoordinaten unter unscharfen Sichtbedingungen. Widrige Aufnahmebedingungen stellen insbesondere für markerlose kinematische Analysen ein Problem dar. Dies gilt insbesondere für den Eintauchvorgang beim Schwimmstart, da hier durch das Mitreißen von Luftteilchen erhebliche Sichtbehinderungen auftreten. Aus diesem Grund gibt es bisher für solche markerlosen Analysen noch keine etablierten Verfahren gibt. Für die eigentliche Hauptuntersuchung konnte eine leistungsstarke Probandenstichprobe gewonnen werden. Gegenstand der zentralen Messung war der Startsprung, den die Probanden innerhalb eines Sprinttests über 25m bzw. 50m durchführten. Die Bodenreaktionskräfte werden dabei durch den mobilen Messstartblock erhoben. Gleichzeitig werden die Blockaktionen und die Flugphase durch eine digitale Kamera und die Eintauschbewegung durch eine zweite Kamera in einem Unterwassergehäuse aufgezeichnet. Die so ermittelten umfangreichen Daten gehen in die weiteren statistischen Analysen ein. Wesentlich für die statistischen Analysen ist die Einteilung der Schwimmer und Schwimmerinnen hinsichtlich ihrer Starttechnik. Bei der Startbewegung wurde zunächst zwischen einem Track- und einem Grabstart unterschieden. Weiter wurde dann eine Einteilung des Trackstarts hinsichtlich der Ausgangsposition vorgenommen. Ausgehend von dieser Einteilung wurde der Einfluss der Starttechnik auf die Kennwerte des Startverhaltens analysiert. Die Verlaufskurven der Bodenreaktionskräfte wurden mit einer Hauptkomponentenanalyse (PCA) hinsichtlich der funktionellen und zufälligen Variation in den zeitabhängigen, koordinativen Mustern analysiert. Durch eine Clusteranalyse konnten unterschiedliche Kraftverläufe in der Anschwung- und Absprungphase identifiziert werden. Zur Bestimmung der relevanten Einflussfaktoren in der Eintauchphase wurde eine Hauptkomponentenanalyse mit einer rotierten Komponentenmatrix durchgeführt. Darüberhinaus wurden mittels einer Clusteranalyse unterschiedliche Eintauchstrategien aufgedeckt. Die komplexen Zusammenhänge des Startverhaltens wurden auf Basis theoretisch abgeleiteter Erklärungsmodelle überprüft. Hierbei kamen Strukturgleichungsmodelle zum Einsatz. Die Diskussion beinhaltet das Aufzeigen von Unterschieden bzw. die Erweiterung des Wissensstandes auf Basis der Forschungsergebnisse im Vergleich zu international anerkannten Forschungsarbeiten. Dabei wird auf die besondere Bedeutung der Eintauchphase, der in der bisherigen Forschung wenig Beachtung geschenkt wurde, hingewiesen.

Kinematische und dynamische Analyse des Schwimmstarts vom Block unter besonderer Berücksichtigung der Eintauch- und Übergangsphase

Der Startabschnitt im Schwimmen stellt insbesondere in den Sprintwettbewerben über 50m und 100m eine leistungsdeterminierende Größe dar. Gerade in den letzten Jahren ist das Aufkommen von neuen Starttechniken, die zu einer Optimierung der Startleistung führen sollen, zu beobachten. Ziel der Dissertation ist es, anhand einer kinematischen und dynamischen Analyse des Starts, Aussagen über die wesentlichen Einflussfaktoren auf die Leistung zu treffen. Hierzu wird eine biomechanische Analyse von Grab- und Trackstarts unter Einbeziehung der Eintauch- und Übergangsphase durchgeführt. Für die Entwicklung von Trainingsempfehlungen sind solche Zusammenhangsanalysen unerlässlich. Im theoretischen Teil der Dissertation wird die morphologische Phasenstruktur der Startbewegung im Schwimmen thematisiert. Hierbei werden unterschiedliche Modelle vorgestellt und miteinander verglichen. Durch den Vergleich der publizierten Studien zum Schwimmstart können sowohl Aussagen zu den leistungsrelevanten kinematischen und den dynamischen Kennwerten der Startbewegung zusammengefasst werden als auch Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Untersuchungs-methodik aufdeckt und in Relation zu der eigenen Studie gestellt werden. Im methodischen Teil wird sich zunächst mit Problemfeldern in der Datenerhebung (Berechnung der Linsenfehler und der Genauigkeit bei der Bestimmung unterschiedlicher Erhebungsmethoden der Abfluggeschwindigkeit) auseinander gesetzt. Weiterhin wird eine Methodenbeschreibung des eingesetzten ABKuS-Verfahrens beschrieben. Hierbei handelt es sich um ein selbstentwickeltes Berechnungsverfahren zur Bestimmung von Körpersegmentkoordinaten unter unscharfen Sichtbedingungen. Widrige Aufnahmebedingungen stellen insbesondere für markerlose kinematische Analysen ein Problem dar. Dies gilt insbesondere für den Eintauchvorgang beim Schwimmstart, da hier durch das Mitreißen von Luftteilchen erhebliche Sichtbehinderungen auftreten. Aus diesem Grund gibt es bisher für solche markerlosen Analysen noch keine etablierten Verfahren gibt. Für die eigentliche Hauptuntersuchung konnte eine leistungsstarke Probandenstichprobe gewonnen werden. Gegenstand der zentralen Messung war der Startsprung, den die Probanden innerhalb eines Sprinttests über 25m bzw. 50m durchführten. Die Bodenreaktionskräfte werden dabei durch den mobilen Messstartblock erhoben. Gleichzeitig werden die Blockaktionen und die Flugphase durch eine digitale Kamera und die Eintauschbewegung durch eine zweite Kamera in einem Unterwassergehäuse aufgezeichnet. Die so ermittelten umfangreichen Daten gehen in die weiteren statistischen Analysen ein. Wesentlich für die statistischen Analysen ist die Einteilung der Schwimmer und Schwimmerinnen hinsichtlich ihrer Starttechnik. Bei der Startbewegung wurde zunächst zwischen einem Track- und einem Grabstart unterschieden. Weiter wurde dann eine Einteilung des Trackstarts hinsichtlich der Ausgangsposition vorgenommen. Ausgehend von dieser Einteilung wurde der Einfluss der Starttechnik auf die Kennwerte des Startverhaltens analysiert. Die Verlaufskurven der Bodenreaktionskräfte wurden mit einer Hauptkomponentenanalyse (PCA) hinsichtlich der funktionellen und zufälligen Variation in den zeitabhängigen, koordinativen Mustern analysiert. Durch eine Clusteranalyse konnten unterschiedliche Kraftverläufe in der Anschwung- und Absprungphase identifiziert werden. Zur Bestimmung der relevanten Einflussfaktoren in der Eintauchphase wurde eine Hauptkomponentenanalyse mit einer rotierten Komponentenmatrix durchgeführt. Darüberhinaus wurden mittels einer Clusteranalyse unterschiedliche Eintauchstrategien aufgedeckt. Die komplexen Zusammenhänge des Startverhaltens wurden auf Basis theoretisch abgeleiteter Erklärungsmodelle überprüft. Hierbei kamen Strukturgleichungsmodelle zum Einsatz. Die Diskussion beinhaltet das Aufzeigen von Unterschieden bzw. die Erweiterung des Wissensstandes auf Basis der Forschungsergebnisse im Vergleich zu international anerkannten Forschungsarbeiten. Dabei wird auf die besondere Bedeutung der Eintauchphase, der in der bisherigen Forschung wenig Beachtung geschenkt wurde, hingewiesen.

Controlling the transport of an ion: classical and quantum mechanical solutions

The accurate transport of an ion over macroscopic distances represents a challenging control problem due to the different length and time scales that enter and the experimental limitations on the controls that need to be accounted for. Here, we investigate the performance of different control techniques for ion transport in state-of-the-art segmented miniaturized ion traps. We employ numerical optimization of classical trajectories and quantum wavepacket propagation as well as analytical solutions derived from invariant based inverse engineering and geometric optimal control. The applicability of each of the control methods depends on the length and time scales of the transport. Our comprehensive set of tools allows us make a number of observations. We find that accurate shuttling can be performed with operation times below the trap oscillation period. The maximum speed is limited by the maximum acceleration that can be exerted on the ion. When using controls obtained from classical dynamics for wavepacket propagation, wavepacket squeezing is the only quantum effect that comes into play for a large range of trapping parameters. We show that this can be corrected by a compensating force derived from invariant based inverse engineering, without a significant increase in the operation time.