Parity of the Number of Irreducible Factors for Composite Polynomials

Various results on parity of the number of irreducible factors of given polynomials over finite fields have been obtained in the recent literature. Those are mainly based on Swan’s theorem in which discriminants of polynomials over a finite field or the integral ring Z play an important role. In this paper we consider discriminants of the composition of some polynomials over finite fields. The relation between the discriminants of composed polynomial and the original ones will be established. We apply this to obtain some results concerning the parity of the number of irreducible factors for several special polynomials over finite fields.

Modulsymbole und Bruhat-Tits-Gebäude der PGL(3) über Funktionenkörpern

Thema der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung von Basen von Räumen spezieller harmonischer 2-Koketten auf Bruhat-Tits-Gebäuden der PGL(3) über Funktionenkörpern. Hierzu wird der Raum der speziellen harmonischen 2-Koketten auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL(3) zunächst mit gewissen komplexen Linearkombinationen von 2-Simplizes des Quotientenkomplexes, sogenannten geschlossenen Flächen, identifiziert und anschließend durch verallgemeinerte Modulsymbole beschrieben. Die Darstellung der Gruppe der Modulsymbole durch Erzeuger und Relationen ermöglicht die Bestimmung einer endlichen Basis des Raums der speziellen harmonischen 2-Koketten. Die so gewonnenen Erkenntnisse können zur Untersuchung von Hecke-Operatoren auf speziellen harmonischen 2-Koketten genutzt werden. Mithilfe des hergeleiteten Isomorphismus zwischen dem Raum der speziellen harmonischen 2-Koketten und dem Raum der geschlossenen Flächen wird die Theorie der Hecke-Operatoren auf den Raum der geschlossenen Flächen übertragen. Dies ermöglicht die Berechnung von Abbildungsmatrizen der Hecke-Operatoren auf dem Raum der harmonischen 2-Koketten durch die Auswertung auf den geschlossenen Flächen.

The Parity of the Number of Irreducible Factors for Some Pentanomials

It is well known that Stickelberger-Swan theorem is very important for determining reducibility of polynomials over a binary field. Using this theorem it was determined the parity of the number of irreducible factors for some kinds of polynomials over a binary field, for instance, trinomials, tetranomials, self-reciprocal polynomials and so on. We discuss this problem for type II pentanomials namely x^m +x^{n+2} +x^{n+1} +x^n +1 \in\ IF_2 [x]. Such pentanomials can be used for efficient implementing multiplication in finite fields of characteristic two. Based on the computation of discriminant of these pentanomials with integer coefficients, it will be characterized the parity of the number of irreducible factors over IF_2 and be established the necessary conditions for the existence of this kind of irreducible pentanomials.

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL_3 über Funktionenkörpern

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL(3) über Funktionenkörpern lassen sich als ein Analogon zu den auf der oberen Halbebene definierten klassischen Spitzenformen verstehen. An die Stelle des starken Abklingens der Spitzenformen tritt hier die Endlichkeit des Trägers modulo einer gewissen Untergruppe. Der erste Teil der vorliegenden Arbeit befaßt sich mit der Untersuchung und Charakterisierung dieses Trägers. Im weiteren Verlauf werden gewisse Konzepte der klassischen Theorie auf harmonische Funktionen übertragen. So wird gezeigt, daß diese sich ebenfalls als Fourierreihe darstellen lassen und es werden explizite Formeln für die Fourierkoeffizienten hergeleitet. Es stellt sich heraus, daß sich die Harmonizität in gewissen Relationen zwischen den Fourierkoeffizienten widerspiegelt und sich umgekehrt aus einem Satz passender Koeffizienten eine harmonische Funktion erzeugen läßt. Dies wird zur expliziten Konstruktion zweier quasi-harmonischer Funktionen genutzt, die ein Pendant zu klassischen Poincaré-Reihen darstellen. Abschließend werden Hecke-Operatoren definiert und Formeln für die Fourierkoeffizienten der Hecke-Transformierten einer harmonischen Funktion hergeleitet.

Nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden für lineare und quasilineare (monotone und nichtmonotone) Probleme

In dieser Arbeit werden nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden einerseits hinsichtlich der zu lösenden Problemklassen verallgemeinert und andererseits in bisher nicht untersuchten Kontexten betrachtet. Dabei stehen funktionalanalytische Untersuchungen zur Wohldefiniertheit, eindeutigen Lösbarkeit und Konvergenz im Vordergrund. Im ersten Teil werden lineare elliptische Dirichlet-Randwertprobleme behandelt, wobei neben Problemen mit dominantem Hauptteil auch solche mit singulärer Störung desselben, wie konvektions- oder reaktionsdominante Probleme zugelassen sind. Der zweite Teil befasst sich mit (gleichmäßig) monotonen koerziven quasilinearen elliptischen Dirichlet-Randwertproblemen. In beiden Fällen wird das Lipschitz-Gebiet in endlich viele Lipschitz-Teilgebiete zerlegt, wobei insbesondere Kreuzungspunkte und Teilgebiete ohne Außenrand zugelassen sind. Anschließend werden Transmissionsprobleme mit frei wählbaren $L^{\infty}$-Parameterfunktionen hergeleitet, wobei die Konormalenableitungen als Funktionale auf geeigneten Funktionenräumen über den Teilrändern ($H_{00}^{1/2}(\Gamma)$) interpretiert werden. Die iterative Lösung dieser Transmissionsprobleme mit einem Ansatz von Deng führt auf eine Substrukturierungsmethode mit Robin-artigen Transmissionsbedingungen, bei der eine Auswertung der Konormalenableitungen aufgrund einer geschickten Aufdatierung der Robin-Daten nicht notwendig ist (insbesondere ist die bekannte Robin-Robin-Methode von Lions als Spezialfall enthalten). Die Konvergenz bezüglich einer partitionierten $H^1$-Norm wird für beide Problemklassen gezeigt. Dabei werden keine über $H^1$ hinausgehende Regularitätsforderungen an die Lösungen gestellt und die Gebiete müssen keine zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen erfüllen. Im letzten Kapitel werden nichtmonotone koerzive quasilineare Probleme untersucht, wobei das Zugrunde liegende Gebiet nur in zwei Lipschitz-Teilgebiete zerlegt sein soll. Das zugehörige nichtlineare Transmissionsproblem wird durch Kirchhoff-Transformation in lineare Teilprobleme mit nichtlinearen Kopplungsbedingungen überführt. Ein optimierungsbasierter Lösungsansatz, welcher einen geeigneten Abstand der rücktransformierten Dirichlet-Daten der linearen Teilprobleme auf den Teilrändern minimiert, führt auf ein optimales Kontrollproblem. Die dabei entstehenden regularisierten freien Minimierungsprobleme werden mit Hilfe eines Gradientenverfahrens unter minimalen Glattheitsforderungen an die Nichtlinearitäten gelöst. Unter zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen an die Nichtlinearitäten und weiteren technischen Voraussetzungen an die Lösung des quasilinearen Ausgangsproblems, kann zudem die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens gesichert werden.

Computing Generators of Free Modules over Orders in Group Algebras

Let E be a number field and G be a finite group. Let A be any O_E-order of full rank in the group algebra E[G] and X be a (left) A-lattice. We give a necessary and sufficient condition for X to be free of given rank d over A. In the case that the Wedderburn decomposition E[G] \cong \oplus_xM_x is explicitly computable and each M_x is in fact a matrix ring over a field, this leads to an algorithm that either gives elements \alpha_1,...,\alpha_d \in X such that X = A\alpha_1 \oplus ... \oplusA\alpha_d or determines that no such elements exist. Let L/K be a finite Galois extension of number fields with Galois group G such that E is a subfield of K and put d = [K : E]. The algorithm can be applied to certain Galois modules that arise naturally in this situation. For example, one can take X to be O_L, the ring of algebraic integers of L, and A to be the associated order A(E[G];O_L) \subseteq E[G]. The application of the algorithm to this special situation is implemented in Magma under certain extra hypotheses when K = E = \IQ.

Divisibility of Trinomials by Irreducible Polynomials over F_2

Irreducible trinomials of given degree n over F_2 do not always exist and in the cases that there is no irreducible trinomial of degree n it may be effective to use trinomials with an irreducible factor of degree n. In this paper we consider some conditions under which irreducible polynomials divide trinomials over F_2. A condition for divisibility of self-reciprocal trinomials by irreducible polynomials over F_2 is established. And we extend Welch's criterion for testing if an irreducible polynomial divides trinomials x^m + x^s + 1 to the trinomials x^am + x^bs + 1.

Relativistic LCAO with Minimax Principle and New Balanced Basis Sets

Relativistic density functional theory is widely applied in molecular calculations with heavy atoms, where relativistic and correlation effects are on the same footing. Variational stability of the Dirac Hamiltonian is a very important field of research from the beginning of relativistic molecular calculations on, among efforts for accuracy, efficiency, and density functional formulation, etc. Approximations of one- or two-component methods and searching for suitable basis sets are two major means for good projection power against the negative continuum. The minimax two-component spinor linear combination of atomic orbitals (LCAO) is applied in the present work for both light and super-heavy one-electron systems, providing good approximations in the whole energy spectrum, being close to the benchmark minimax finite element method (FEM) values and without spurious and contaminated states, in contrast to the presence of these artifacts in the traditional four-component spinor LCAO. The variational stability assures that minimax LCAO is bounded from below. New balanced basis sets, kinetic and potential defect balanced (TVDB), following the minimax idea, are applied with the Dirac Hamiltonian. Its performance in the same super-heavy one-electron quasi-molecules shows also very good projection capability against variational collapse, as the minimax LCAO is taken as the best projection to compare with. The TVDB method has twice as many basis coefficients as four-component spinor LCAO, which becomes now linear and overcomes the disadvantage of great time-consumption in the minimax method. The calculation with both the TVDB method and the traditional LCAO method for the dimers with elements in group 11 of the periodic table investigates their difference. New bigger basis sets are constructed than in previous research, achieving high accuracy within the functionals involved. Their difference in total energy is much smaller than the basis incompleteness error, showing that the traditional four-spinor LCAO keeps enough projection power from the numerical atomic orbitals and is suitable in research on relativistic quantum chemistry. In scattering investigations for the same comparison purpose, the failure of the traditional LCAO method of providing a stable spectrum with increasing size of basis sets is contrasted to the TVDB method, which contains no spurious states already without pre-orthogonalization of basis sets. Keeping the same conditions including the accuracy of matrix elements shows that the variational instability prevails over the linear dependence of the basis sets. The success of the TVDB method manifests its capability not only in relativistic quantum chemistry but also for scattering and under the influence of strong external electronic and magnetic fields. The good accuracy in total energy with large basis sets and the good projection property encourage wider research on different molecules, with better functionals, and on small effects.