Künstliche Randbedingungen und Algebraische Äquivalenzen in der Elastizitätstheorie

In dieser Arbeit werden zwei Aspekte bei Randwertproblemen der linearen Elastizitätstheorie untersucht: die Approximation von Lösungen auf unbeschränkten Gebieten und die Änderung von Symmetrieklassen unter speziellen Transformationen. Ausgangspunkt der Dissertation ist das von Specovius-Neugebauer und Nazarov in "Artificial boundary conditions for Petrovsky systems of second order in exterior domains and in other domains of conical type"(Math. Meth. Appl. Sci, 2004; 27) eingeführte Verfahren zur Untersuchung von Petrovsky-Systemen zweiter Ordnung in Außenraumgebieten und Gebieten mit konischen Ausgängen mit Hilfe der Methode der künstlichen Randbedingungen. Dabei werden für die Ermittlung von Lösungen der Randwertprobleme die unbeschränkten Gebiete durch das Abschneiden mit einer Kugel beschränkt, und es wird eine künstliche Randbedingung konstruiert, um die Lösung des Problems möglichst gut zu approximieren. Das Verfahren wird dahingehend verändert, dass das abschneidende Gebiet ein Polyeder ist, da es für die Lösung des Approximationsproblems mit üblichen Finite-Element-Diskretisierungen von Vorteil sei, wenn das zu triangulierende Gebiet einen polygonalen Rand besitzt. Zu Beginn der Arbeit werden die wichtigsten funktionalanalytischen Begriffe und Ergebnisse der Theorie elliptischer Differentialoperatoren vorgestellt. Danach folgt der Hauptteil der Arbeit, der sich in drei Bereiche untergliedert. Als erstes wird für abschneidende Polyedergebiete eine formale Konstruktion der künstlichen Randbedingungen angegeben. Danach folgt der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des approximativen Randwertproblems auf dem abgeschnittenen Gebiet und im Anschluss wird eine Abschätzung für den resultierenden Abschneidefehler geliefert. An die theoretischen Ausführungen schließt sich die Betrachtung von Anwendungsbereiche an. Hier werden ebene Rissprobleme und Polarisationsmatrizen dreidimensionaler Außenraumprobleme der Elastizitätstheorie erläutert. Der letzte Abschnitt behandelt den zweiten Aspekt der Arbeit, den Bereich der Algebraischen Äquivalenzen. Hier geht es um die Transformation von Symmetrieklassen, um die Kenntnis der Fundamentallösung der Elastizitätsprobleme für transversalisotrope Medien auch für Medien zu nutzen, die nicht von transversalisotroper Struktur sind. Eine allgemeine Darstellung aller Klassen konnte hier nicht geliefert werden. Als Beispiel für das Vorgehen wird eine Klasse von orthotropen Medien im dreidimensionalen Fall angegeben, die sich auf den Fall der Transversalisotropie reduzieren lässt.

Zur Interdependenz der Entwicklung der motorischen und sozialen Kompetenz in der frühen Kindheit

Das Ziel der Dissertation ist die Analyse des Verlaufs und der Differenzierung der frühkindlichen motorischen und sozialen Entwicklung. Dazu wurden über einen Zeitraum von 16 Monaten zu drei Messzeitpunkten die Entwicklungsdaten von insgesamt 138 Kindern erhoben. Bei dieser als Feldstudie konzipierten Untersuchung liegt der Fokus auf einer Analyse der kausalen Beziehung beider Entwicklungsbereiche. Häufig formulierte Annahmen hierzu konnten bisher durch den aktuellen Forschungsstand nicht bestätigt werden. Im Rahmen des längsschnittlichen, varianzanalytischen Vorgehens erfahren ausgewählte Leitsätze der Entwicklungspsychologie der Lebensspanne eine empirische Prüfung (Gewinn-Verlust-Dynamik & Direktionalität, vgl. Baltes, 1990; Willimczik, Voelcker-Rehage & Wiertz, 2006). Die Bestimmung der querschnittlichen Zusammenhänge zwischen den beiden Entwicklungsbereichen erfolgt mittels Partialkorrelationen. Die kausalen Bezüge werden mit Strukturgleichungsmodellen im Cross-Lagged Panel Design analysiert. Über die hier in einem kompetenzorientierten Ansatz verorteten Entwicklungsbereiche (motorische und soziale Kompetenz) hinaus, werden auch mögliche Zusammenhänge zwischen der Ausprägung der körperlich-sportlichen Aktivität und der sozialen Kompetenz im Querschnitt untersucht. Zur Erfassung der kindlichen Motorik dient die Testbatterie M-ABC-2 (Petermann, Henderson, Sugden & Barnett, 2009). Diese bildet primär die koordinativen Aspekte der kindlichen Motorik ab. Das kindliche Sozialverhalten wird mit dem Beobachtungsbogen SOCOMP (Perren, 2007) erfasst. Beide Instrumentarien erlauben eine in Dimensionen differenzierende Darstellung des jeweiligen Entwicklungsbereichs. Die Erhebung der körperlich-sportlichen Aktivität erfolgt anhand eines Elternfragebogens. Als Resultat der Arbeit können angenommene positive Zusammenhänge der sozialen und motorischen Kompetenz für die Phase der frühen Kindheit bestätigt werden. Auch ist ein positiver Zusammenhang zwischen einer aktiven Sportvereinsmitgliedschaft und dem sozialen Verhalten in der Peergroup zu konstatieren. Die Entwicklung der Gewinn-Verlust-Dynamik sowie der Direktionalität der Dimensionen der motorischen und sozialen Kompetenz sind für den untersuchten Zeitraum detailliert aufgearbeitet. Ein zentrales Ergebnis stellt die aufgezeigte zunehmende Differenzierung der Dimensionen beider Entwicklungsbereiche dar. Häufig angenommene und formulierte kausale Beziehungen zwischen dem Verlauf der sozialen und motorischen Kompetenz bestätigen sich dagegen nicht. Dieses Ergebnis ist jedoch differenziert zu interpretieren, was u.a. in dem methodischen Vorgehen zu den Kausalanalysen und den Anforderungen des CLP-Modells begründet liegt.