Ad elementaria mathematicae

Diese Lecture Note beinhaltet in Ergänzung zu den Elementaria drei Beiträge zur lehramts-orientierten elementaren Mathematik. Ein 1. Beitrag befasst sich mit der von Erich Chr. Wittmann kreierten Weihnachtsaufgabe 2015 zum EINS+EINS. Ein 2. Beitrag führt ein in die Theorie des Releaux-Dreiecks und allgemeinerer Gleichdicke unter Berücksichtigung ihrer technischen Bedeutung. Und schließlich ist eine 3. Beitrag der Einübung der Kreisgeometrie unter Einsatz der Software DYNA-GEO und gelenkmechanischer Aspekte sowie der Einübung des komplexen Rechnens und der Goniometrie gewidmet.

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL_3 über Funktionenkörpern

Harmonische Funktionen auf dem Bruhat-Tits-Gebäude der PGL(3) über Funktionenkörpern lassen sich als ein Analogon zu den auf der oberen Halbebene definierten klassischen Spitzenformen verstehen. An die Stelle des starken Abklingens der Spitzenformen tritt hier die Endlichkeit des Trägers modulo einer gewissen Untergruppe. Der erste Teil der vorliegenden Arbeit befaßt sich mit der Untersuchung und Charakterisierung dieses Trägers. Im weiteren Verlauf werden gewisse Konzepte der klassischen Theorie auf harmonische Funktionen übertragen. So wird gezeigt, daß diese sich ebenfalls als Fourierreihe darstellen lassen und es werden explizite Formeln für die Fourierkoeffizienten hergeleitet. Es stellt sich heraus, daß sich die Harmonizität in gewissen Relationen zwischen den Fourierkoeffizienten widerspiegelt und sich umgekehrt aus einem Satz passender Koeffizienten eine harmonische Funktion erzeugen läßt. Dies wird zur expliziten Konstruktion zweier quasi-harmonischer Funktionen genutzt, die ein Pendant zu klassischen Poincaré-Reihen darstellen. Abschließend werden Hecke-Operatoren definiert und Formeln für die Fourierkoeffizienten der Hecke-Transformierten einer harmonischen Funktion hergeleitet.

BodyArt-X- "Einkörperung" und "Entkörperung" als ästhetische Prinzipien postmoderner Grenzgänge

Der Körper in der Kunst ist grundsätzlich eine Darstellung der Rebellion. Die Body-Art der 1990er unterscheidet sich in ihren spezifischen Erscheinungsformen deutlich von der Happening- und Performancekunst ihrer Vorläuferbewegung in den siebziger Jahren (Manifest Body Art 1974, François Pluchart 1937-1988). Mit dem Titel BodyArt-X- erfolgt ein Hinweis auf die Betrachtung einer abgrenzbaren Künstlergeneration, die in ihren zwiespältigen Selbstkonstruktionen die zunehmenden medialen Einflüsse dokumentiert. Im Mittelpunkt der wissenschaftlichen Analyse steht die Körperkunst der neunziger Jahre und deren eigene ästhetische Formensprache. Die Polymorphie der permanenten Umgestaltung wird mit der unbekannten Variable –X- im Titel zum Ausdruck gebracht. Die wissenschaftliche Grundlage bilden die Negation und die beginnende Entmaterialisierung innerhalb der Moderne und Postmoderne.

Das Spiel von Grundschulkindern in der großen Pause

Wer schon einmal für kurze Zeit spielenden Kindern zugeschaut hat, mag es als faszinierend empfunden haben, dass das gemeinsame Spiel manchmal „wie von selbst“ abzulaufen scheint. Durch eine intensive Auseinandersetzung mit dessen Theorie und gezielten Beobachtungen ist allerdings festzustellen, dass Spiel eigentlich gar kein „Kinderspiel“, sondern vielmehr eine komplexe Tätigkeit ist. Jedes Spiel weist eine in sich abgeschlossene eigene Wirklichkeit auf, welche sich von der äußeren allgemeingültigen Wirklichkeit abhebt (vgl. Bateson 2007, S. 198f; Oerter 1997, S. 117). Ein Spielrahmen ist vorhanden, der die Situation als Spiel definiert und dessen Grenzen festlegt (vgl. Goffman 1973, S. 74). Im gemeinsamen Spiel ist es deshalb notwendig, dass sich die Teilnehmer das situative Vorhandensein des spezifischen Rahmens und dessen Inhalt mit bestimmten Signalen anzeigen und ihre Auffassungen aufeinander abstimmen (vgl. Oerter 1997, S. 117). Die dafür verwendeten Mitteilungen sind metakommunikativ, d. h. sie geben Auskunft darüber, wie die Kommunikation selbst im Folgenden zu verstehen ist, nämlich immer vor dem Hintergrund, dass „nur gespielt wird“. Erst dadurch können die Mitspieler das Verhalten der anderen als gespielt oder echt einordnen, sodass Missverständnisse vermieden werden (vgl. Bateson 2007, S. 193ff, 206; Oerter 1997, S. 117). Es ist erstaunlich, wie dies Kindern teilweise nur mit wenigen Worten, Gesten oder Handlungen gelingt. Der obige Ausschnitt aus einem Beobachtungsprotokoll zum Spiel von zwei Grundschülern in der großen Pause zeigt, dass nicht nur für Außenstehende, sondern mitunter auch für die Kinder selbst, nicht immer eindeutig oder bewusst ist, wie dieser Vorgang vonstattengeht. Justus und Raphael stimmen zwar darin überein, dass sie gemeinsam ein Spiel gespielt haben, können dieses aber weder benennen, noch beschreiben. Trotzdem scheinen sie beide die gleiche Vorstellung vom Spielablauf und dessen Inhalt gehabt bzw. das Spiel gleichermaßen gerahmt zu haben und zu einer Übereinkunft diesbezüglich gekommen zu sein. Ebenso wie die große Pause zur Schule gehört, gehört zur großen Pause wiederum - zumindest in der Grundschule - das Spiel. Damit ist das Pausenspiel i. d. R. ein fester Bestandteil des Schulalltags eines Grundschülers. Wie bereits angedeutet, leisten die Kinder sogar dabei etwas, nämlich die gemeinsame Bildung und Erhaltung eines gemeinsamen Spielrahmens durch Interaktion. In dieser Arbeit wird deshalb der folgenden Frage nachgegangen: Wie stellen Grundschulkinder in der großen Pause einen gemeinsamen Spielrahmen her und wie erhalten sie diesen aufrecht? Die Beschäftigung mit dieser Frage ist insbesondere für (zukünftige) Lehrpersonen lohnenswert, denn sie kann den Blick auf das Pausenspiel ggf. insofern verändern, dass es mehr wertgeschätzt wird. Ziel dieser Arbeit ist es, Aussagen zu der den Spielrahmen betreffenden Praxis von Grundschulkindern in der großen Pause herauszubilden. Dazu werden zunächst das Spiel und dessen Rahmen theoretisch abgehandelt. Vor diesem Hintergrund soll die Frage weiterführend mit Hilfe von Szenen zur praktischen Umsetzung gemeinsamer Spiele, die im Rahmen einer empirischen Untersuchung im Feld tatsächlich beobachtet und dokumentiert wurden, beantwortet werden. Es wird also nicht das Ziel verfolgt, eine eigenständige Theorie aus den Daten abzuleiten, vielmehr soll die bestehende Theorie mit realen, authentischen Beispielen aus dem Pausenalltag von Grundschülern unterlegt und ergänzt werden.

Binationaler Urbanismus

Nie zuvor war die Mobilität einzelner Personen höher als heute. Menschen arbeiten und leben nicht nur an verschiedenen Orten, sondern auch oft in verschiedenen Ländern. Binationaler Urbanismus untersucht die städtische Lebensweise von Menschen, die in einer zweiten Stadt eines zweiten Staates zu leben beginnen, ohne sich von der ersten Stadt zu verabschieden. Sie leben im ständigen Transit zwischen zwei Heimaten und zwei Ländern. Binationale Urbanisten kommen aus allen Schichten der Gesellschaft: von den gut ausgebildeten kosmopolitischen und kreativen Klassen bis hin zur Arbeiterklasse. Dabei scheinen sich die binationalen Urbanisten durch den kontinuierlichen Ortswechsel in einem Zustand zu befinden, der durch eine ständige Sehnsucht, bzw. einem ständigen Heimweh, nach der anderen Stadt geprägt ist. Der Autor interviewte in Deutschland lebende türkischstämmige Menschen, die regelmäßig zwischen Städten in Deutschland und der Türkei pendeln. Diese Menschen leben, sei es absichtlich und bewusst gewählt oder nicht, eine innovative städtische Lebensweise. Sie sind keine verwurzelten Bewohner ihres Gastlandes Deutschland, sondern tatsächlich extrem mobil und nutzen das Beste aus beiden Kulturen. Binationaler Urbanismus hat das Potenzial, eine der interessantesten Lebensformen des einundzwanzigsten Jahrhunderts zu werden. Demzufolge entwickelt dieses Buch eine Theorie eines Binationalen Urbanismus aus den geführten Interviews.

Free Resolutions from Involutive Bases

We show that the theory of involutive bases can be combined with discrete algebraic Morse Theory. For a graded k[x0 ...,xn]-module M, this yields a free resolution G, which in general is not minimal. We see that G is isomorphic to the resolution induced by an involutive basis. It is possible to identify involutive bases inside the resolution G. The shape of G is given by a concrete description. Regarding the differential dG, several rules are established for its computation, which are based on the fact that in the computation of dG certain patterns appear at several positions. In particular, it is possible to compute the constants independent of the remainder of the differential. This allows us, starting from G, to determine the Betti numbers of M without computing a minimal free resolution: Thus we obtain a new algorithm to compute Betti numbers. This algorithm has been implemented in CoCoALib by Mario Albert. This way, in comparison to some other computer algebra system, Betti numbers can be computed faster in most of the examples we have considered. For Veronese subrings S(d), we have found a Pommaret basis, which yields new proofs for some known properties of these rings. Via the theoretical statements found for G, we can identify some generators of modules in G where no constants appear. As a direct consequence, some non-vanishing Betti numbers of S(d) can be given. Finally, we give a proof of the Hyperplane Restriction Theorem with the help of Pommaret bases. This part is largely independent of the other parts of this work.

Geschlechtersonderwissen von Expert_innen für Inter*- und Trans*themen

Anhand von Expert_inneninterviews mit Aktivist_innen und Therapeut_innen aus dem Inter*- und Trans*bereich wird herausgestellt, wie Expert_innen Geschlecht thematisieren und auf welche Wissensformen sie hierfür Bezug nehmen. Professionssoziologische und gender- und queertheoretische Überlegungen werden in dieser wissenssoziologischen Untersuchung miteinander verknüpft, um Expert_innen des Geschlechts zu definieren und die im Rahmen der teilnehmenden Beobachtung erfassten Veränderungen im Diskurs um Inter*- und Trans*personen zu kontextualisieren. Dabei wird herausgestellt, dass zwar alternatives Wissen von Professionsangehörigen nicht mehr ausgeschlossen wird eine Deprofessionalisierung im Inter*- und Trans*bereich allerdings unwahrscheinlich erscheint. Vielmehr wird eine binäre Konstruktion von Expert_innen insbesondere von Professionsangehörigen reproduziert. Hierbei wird differenziert in professionsangehörige Expert_innen und Aktivist_innen, wobei erstere sich für gesellschaftliche Werte einsetzten würden und Aktivist_innen sich lediglich im Eigeninteresse handeln würden. Zur Einbettung und Erklärung der empirischen Erkenntnisse wird sich auf gender- und queertheoretische, psychoanalytische, diskurstheoretische, phänomenologische und emotionssoziologische Ansätze bezogen. Darüber wird die Fragilität der Kategorien Expert_in und Geschlecht und die Notwendigkeit der Anerkennung dieser für die eigene Handlungsfähigkeit verdeutlicht, ebenso wie die (Gefühls)Arbeit, die Expert_innen des Geschlechts alltäglich leisten müssen, um als Expert_in oder/und Inter*- oder Trans*person anerkannt zu werden. Grundsätzlich wird von Expert_innen des Geschlechts dem inkorporierten Wissen ein stärkeres Gewicht beigemessen als noch vor zehn Jahren, so das Fazit der Studie. Die Fokussierung auf inkorporiertes Wissen wird, anders als im bisherigen (Forschungs)Diskurs um Inter*- und Trans*personen allerdings in seiner Ambivalenz gesehen, da sie neben der Anerkennung alternativer Wissensformen auch zu einer Unmöglichkeit der Infragestellung dieses Wissens führen könne.