Algorithmen für regelmäßige Kettenbrüche

Die Arbeit soll einen Einblick in die Theorie der Kettenbrüche geben. Wir haben gesehen, dass schwer greifbare Zahlen als Kettenbrüche ausgedrückt werden können. Es ist besonders hervorzuheben, dass irrationale Zahlen mit Hilfe einer Abschätzung vereinfacht durch Kettenbrüche dargestellt werden können. Weiter sind wir auch darauf eingegangen, wie wir Kettenbrüche wieder in eine rationale Darstellung umwandeln können. Es wurde gezeigt, wie wir rationale Zahlen als endlichen Kettenbrüche schreiben können. Die endlichen Kettenbrüche lieferten uns dann die Grundlage, um unendliche zu betrachten, wobei das größte Augenmerk darauf gerichtet war, dass wir eine irrationale Zahl durch einen unendlichen Kettenbruch abschätzen können. Den Kern der Arbeit bildet der Kettenbruch-Algorithmus, mit dessen Hilfe wir irrationale Zahlen in einen Kettenbruch umwandeln können. Ein wichtiger Aspekt sind auch die Abschätzungen, die wir vorgenommen haben. Mit ihrer Hilfe können wir sehen, wie dicht die letzte Konvergente der Kettenbruchentwicklung an der gesuchten irrationalen Zahl liegt. Da die Konvergenten immer aus teilerfremden Zählern und Nennern bestehen, können wir sogar sagen, dass eine Konvergente die beste Approximation an eine irrationale Zahl bietet. Es ist die beste Approximation in dem Sinne, dass keine rationale Zahl mit kleinerem oder gleichem Nenner existiert, die die irrationale Zahl besser annähert. Ein weiterer wichtiger Aspekt der Kettenbruchtheorie ist, dass quadratische Irrationalitäten endlich durch einen periodischen Kettenbruch dargestellt werden können. Es ist bemerkenswert, dass Kettenbrüche von quadratischen Irrationalitäten eine Regelmäßigkeit aufweisen, so dass sie endlich als periodicher Kettenbruch geschrieben werden können.

Automatische Berechnung von Grenzwerten und Implementierung in Mathematica

Grenzwertberechnung ist ein unbeliebtes Gebiet der Mathematik. Jeder Schüler hasst es. Das liegt daran, dass es kein universelles Kochrezept gibt, das einen automatisch zur Lösung führt. Statt dessen muss man verschiedenste Ansätze daraufhin überprüfen, ob sie einen einer Lösung näher bringen. Computeralgebra leidet unter dem gleichen Problem, denn Computer lieben Kochrezepte ebenfalls. Entsprechend haben manche Computeralgebrasysteme auch heute noch starke Probleme mit Grenzwerten. 1996 stellte Dominik Gruntz in seiner Dissertation "On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System" einen Algorithmus vor, der eine Vielzahl komplexer Grenzwertaufgaben souverän und schnell lösen kann und der dennoch durch seine Einfachheit und Überschaubarkeit besticht. Ziel dieser Diplomarbeit ist es, den Algorithmus von Dominik Gruntz vorzustellen und im Computeralgebrasystem Mathematica zu implementieren.

Einflüsse lehrergeführter Schüler-Interviews auf Schülereinschätzung und Unterrichtsunterstützung im Mathematikunterricht der Grundschule

In Folge der Ergebnisse der PISA und IGLU Studien ist das Thema Diagnose und individuelle Förderung in die öffentliche Diskussion geraten. Vor diesem Hintergrund richtet sich im Herbst 2002 die Aufmerksamkeit der Arbeitsgruppe Wollring auf ein mathematikdidaktisches empirisches Forschungsprojekt in Australien: Early Numeracy Research Project (ENRP) (Clarke et al. 2002). Eine Besonderheit dieses Projektes besteht in der Eins-zu-eins-Situation zwischen Lehrer und Schüler bei einem Interview über Mathematik. Dieses Projekt bildet den Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit. Im ersten Kapitel wird das australische Projekt sowie seine Umsetzung in Deutschland vorgestellt. Ziel des Projektes ist es, die individuellen mathematischen Performanzen von Grund-schulkindern mit Hilfe eines Interviews in einer Eins-zu-eins-Situation des Schülers mit dem Lehrer (Schüler-Interview) zu erheben und damit mathematikdidaktische Orientierungshilfen für den Unterricht zu liefern. Das Schüler-Interview bestimmt den Lernstandort eines Kindes, der als Ausgangspunkt für eine Diagnose dienen kann. Daher werden unterschiedlichen Sichtweisen der Disziplinen – Psychologie, Medizin, Pädagogik, Sonderpädagogik und Fachdidaktik – in Hinblick auf den Begriff „Diagnose“ diskutiert. Die Durchführung von Schüler-Interviews kann neben ihrem diagnostischen Wert auch eine Bedeutung für die Professionalisierung von Lehrern einnehmen, da sie die Lehrer herausfordert, sich mit den Denk- und Lösungswege von Kindern aller Leistungsniveaus intensiv auseinanderzusetzen. In einer Studie von Steinberg et al. (2004, p. 238) wird deutlich, dass dieses Wissen des Lehrers sowohl als ein Index der Veränderung als auch als ein Mechanismus zur Veränderung des Unterrichts dient. In dieser Arbeit werden über den Zeitraum eines Jahres der Umgang der Lehrer mit dem Führen von Schüler-Interviews und den von ihnen daraus gewonnenen Erkenntnissen ausgewertet. Dabei werden mit den Lehrern nach einem halben und nach einem Jahr Erprobung mehrerer von ihnen selbst geführter Schüler-Interviews je ein Interview mit der Forscherin geführt, um herauszufinden, in welchen verschiedenen Bereichen das Führen von Schüler-Interviews den einzelnen Lehrern Unterstützung bietet. Die erhobenen Daten werden qualitativ mit Hilfe der Grounded Theory ausgewertet. Im empirischen Teil der Arbeit werden drei, der am Projekt beteiligten, Lehrerinnen in Form von Fallstudien vorgestellt und ausgewertet. Bei der Lehrerin, die Mathematik nicht als Fach studiert hat, besteht vor allem ein eigener Lernzuwachs in der Sicht auf Mathematik. Zu Beginn der Untersuchung hatte sie laut ihrer eigenen Aussagen eine eher ergebnisorientierte Sicht auf die Mathematik. Die Aussagen der drei Lehrerinnen beruhen auf einzelnen Schülern und ihren Besonderheiten. Im Laufe der Studie verallgemeinern sie ihre Erkenntnisse und beginnen Konsequenzen für ihren Unterricht aus den Schüler-Interviews zu folgern, wie sie in den abschließenden Interviews berichten. Das Schüler-Interview scheint dem Lehrer einen geschützten Raum zu bieten, um die Reflexion über die mathematischen Performanzen seiner Schüler und seinen eigenen Unterricht anzuregen, ohne ihn bloßzustellen und ohne ihm Vorschriften zu machen. Nach der einjährigen Erprobung von Schüler-Interviews betonen alle drei Lehrerinnen größeren Wert auf prozessorientiertes Mathematiklernen zu legen. Sie berichten, dass sie die Performanzen der Kinder stärker kompetenzorientiert wahrnehmen. Jedoch haben sie Schwierigkeiten, die für sich selbst gewonnene Transparenz über die mathematischen Performanzen des interviewten Kindes, den Schülern mitzuteilen und ihnen ermutigende Rückmeldungen zu geben. Außerdem können die Lehrer die problematischen mathematischen Bereiche der Schüler zwar beschreiben, sehen sich laut ihrer eigenen Aussage aber nicht in der Lage mit den Schülern daran zu arbeiten und sie angemessen zu för-dern. Selbst nach den ausführlichen Analysen der ausgewählten Lehrerinnen bleibt unklar, ob und in welcher Weise sie die Erkenntnisse aus dem Führen der Schüler-Interviews für ihren Unterricht nutzen. Laut der Aussage zweier beteiligter Lehrerinnen sollten Lehrer offen und interessiert sein und sich bereitwillig mit ihren eigenen Kompetenzen auseinandersetzen, damit das Führen von Schüler-Interviews für die Lehrer selbst und für die Schüler einen besonderen Nutzen besitzt. Um diese Auseinandersetzung stärker anzuregen und zu vermeiden, dass sich im Schüler-Interview mit dem Kind nicht die Einstellungen des Lehrers gegenüber den Leistungen des Schülers widerspiegeln, könnten sie vor Beginn des Führens von Schüler-Interviews verstärkt in der Ausbildung ihrer Interviewkompetenzen unterstützt und geschult werden. Obwohl sich die Lehrer zuerst Freiräume schaffen mussten, in denen sie trotz ihres Zeitmangels Schüler interviewen konnten, bietet das Führen von Schüler-Interviews die Chance, den Ist-Zustand der Schülerperformanzen in den mathematischen Bereichen Zahlen, Größen und Raum zu erfassen.

On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

The Navier-Stokes Equations with Particle Methods

The non-stationary nonlinear Navier-Stokes equations describe the motion of a viscous incompressible fluid flow for 0

The Navier-Stokes Equations with Time Delay

In the present paper we use a time delay epsilon > 0 for an energy conserving approximation of the nonlinear term of the non-stationary Navier-Stokes equations. We prove that the corresponding initial value problem (N_epsilon)in smoothly bounded domains G \subseteq R^3 is well-posed. Passing to the limit epsilon \rightarrow 0 we show that the sequence of stabilized solutions has an accumulation point such that it solves the Navier-Stokes problem (N_0) in a weak sense (Hopf).

Computing Generators of Free Modules over Orders in Group Algebras

Let E be a number field and G be a finite group. Let A be any O_E-order of full rank in the group algebra E[G] and X be a (left) A-lattice. We give a necessary and sufficient condition for X to be free of given rank d over A. In the case that the Wedderburn decomposition E[G] \cong \oplus_xM_x is explicitly computable and each M_x is in fact a matrix ring over a field, this leads to an algorithm that either gives elements \alpha_1,...,\alpha_d \in X such that X = A\alpha_1 \oplus ... \oplusA\alpha_d or determines that no such elements exist. Let L/K be a finite Galois extension of number fields with Galois group G such that E is a subfield of K and put d = [K : E]. The algorithm can be applied to certain Galois modules that arise naturally in this situation. For example, one can take X to be O_L, the ring of algebraic integers of L, and A to be the associated order A(E[G];O_L) \subseteq E[G]. The application of the algorithm to this special situation is implemented in Magma under certain extra hypotheses when K = E = \IQ.

Computations in Relative Algebraic K-Groups

Let G be finite group and K a number field or a p-adic field with ring of integers O_K. In the first part of the manuscript we present an algorithm that computes the relative algebraic K-group K_0(O_K[G],K) as an abstract abelian group. We solve the discrete logarithm problem, both in K_0(O_K[G],K) and the locally free class group cl(O_K[G]). All algorithms have been implemented in MAGMA for the case K = \IQ. In the second part of the manuscript we prove formulae for the torsion subgroup of K_0(\IZ[G],\IQ) for large classes of dihedral and quaternion groups.

Construction of fractal interpolation surfaces on rectangular grids

We present a general method of generating continuous fractal interpolation surfaces by iterated function systems on an arbitrary data set over rectangular grids and estimate their Box-counting dimension.