Nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden für lineare und quasilineare (monotone und nichtmonotone) Probleme

In dieser Arbeit werden nichtüberlappende Gebietszerlegungsmethoden einerseits hinsichtlich der zu lösenden Problemklassen verallgemeinert und andererseits in bisher nicht untersuchten Kontexten betrachtet. Dabei stehen funktionalanalytische Untersuchungen zur Wohldefiniertheit, eindeutigen Lösbarkeit und Konvergenz im Vordergrund. Im ersten Teil werden lineare elliptische Dirichlet-Randwertprobleme behandelt, wobei neben Problemen mit dominantem Hauptteil auch solche mit singulärer Störung desselben, wie konvektions- oder reaktionsdominante Probleme zugelassen sind. Der zweite Teil befasst sich mit (gleichmäßig) monotonen koerziven quasilinearen elliptischen Dirichlet-Randwertproblemen. In beiden Fällen wird das Lipschitz-Gebiet in endlich viele Lipschitz-Teilgebiete zerlegt, wobei insbesondere Kreuzungspunkte und Teilgebiete ohne Außenrand zugelassen sind. Anschließend werden Transmissionsprobleme mit frei wählbaren $L^{\infty}$-Parameterfunktionen hergeleitet, wobei die Konormalenableitungen als Funktionale auf geeigneten Funktionenräumen über den Teilrändern ($H_{00}^{1/2}(\Gamma)$) interpretiert werden. Die iterative Lösung dieser Transmissionsprobleme mit einem Ansatz von Deng führt auf eine Substrukturierungsmethode mit Robin-artigen Transmissionsbedingungen, bei der eine Auswertung der Konormalenableitungen aufgrund einer geschickten Aufdatierung der Robin-Daten nicht notwendig ist (insbesondere ist die bekannte Robin-Robin-Methode von Lions als Spezialfall enthalten). Die Konvergenz bezüglich einer partitionierten $H^1$-Norm wird für beide Problemklassen gezeigt. Dabei werden keine über $H^1$ hinausgehende Regularitätsforderungen an die Lösungen gestellt und die Gebiete müssen keine zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen erfüllen. Im letzten Kapitel werden nichtmonotone koerzive quasilineare Probleme untersucht, wobei das Zugrunde liegende Gebiet nur in zwei Lipschitz-Teilgebiete zerlegt sein soll. Das zugehörige nichtlineare Transmissionsproblem wird durch Kirchhoff-Transformation in lineare Teilprobleme mit nichtlinearen Kopplungsbedingungen überführt. Ein optimierungsbasierter Lösungsansatz, welcher einen geeigneten Abstand der rücktransformierten Dirichlet-Daten der linearen Teilprobleme auf den Teilrändern minimiert, führt auf ein optimales Kontrollproblem. Die dabei entstehenden regularisierten freien Minimierungsprobleme werden mit Hilfe eines Gradientenverfahrens unter minimalen Glattheitsforderungen an die Nichtlinearitäten gelöst. Unter zusätzlichen Glattheitsvoraussetzungen an die Nichtlinearitäten und weiteren technischen Voraussetzungen an die Lösung des quasilinearen Ausgangsproblems, kann zudem die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens gesichert werden.

Stochastische Simulation von Zufallsexperimenten mit Fathom

In der Mathematikdidaktik gibt es die weit verbreitete Auffassung, durch die Verwendung von Simulationen Lernprozesse zu unterstützen. Dies hat mich im Rahmen meiner Dissertation dazu bewogen, erstens eine Werkzeuganalyse des Simulationspotentials der Software Fathom durchzuführen und zweitens exemplarische Analysen dazu, wie Lernende mit der Software arbeiten. Bei der Werkzeuganalyse standen vor allem folgende zwei Fragen im Mittelpunkt: Was bietet die Software an Simulationspotential? Wie gut und leicht lassen sich Zufallsexperimente in Fathom realisieren? Dieses Wissen ist für die praktische Anwendung der Software und die diagnostische Kompetenz der Lehrkräfte, die Schüler bei der Arbeit mit der Software unterstützen wollen, essentiell. Mit dieser Werkzeuganalyse wurde ein allgemeineres Instrument entwickelt, mit dem man das Simulationspotential auch anderer Werkzeugsoftware wie Excel, Tinkerplots oder den TI-Nspire systematisch analysieren könnte. Im zweiten Teil werden die Ergebnisse einer Fallstudie zur Kompetenz von Studierenden beim Bearbeiten von stochastischen Simulations- und Modellierungsproblemen vorgestellt. Die insgesamt aufwendige Analyse von Mikroprozessen macht sehr viel relevante und wichtige Details im Umgang von Studierenden mit Simulationsaufgaben erkennbar. Auch ist als Ergebnis der Studie nicht nur einfach ein differenziertes Bild der Kompetenzen von Studierenden anzusehen. Vielmehr liegt ein wesentlicher Beitrag auch in der Konzeptualisierung unterschiedlicher Kompetenzen und ihrer Wechselwirkung, wie sie bei der Bearbeitung von mathematischen Aufgaben mit dem Computer auftreten.

Algorithmic Computation of Formal Fourier Series

KAAD (Katholischer Akademischer Ausländer-Dienst)

Positive und konservative Verfahren höherer Ordnung

In der Anwendung treten häufig Differentialgleichungssysteme auf, deren Komponenten über das Lösen mit einer vorgegeben Genauigkeit hinaus Anforderungen an die, zur Näherung verwendeten, numerischen Verfahren stellen. Die Arbeit widmet sich hierbei den beiden Forderungen 1. Erhaltung der Positivität aller positiven Größen (z.B. Massen, Konzentrationen, Energie) und 2. Erhaltung der Masse in abgeschlossenen Systemen. Ausgehend von einem komplexen ökologischen 2D Modell zur Beschreibung von Algendynamiken in flachen Gewässern auf Grund der verfügbaren Phosphorvorkommen wird ein problemangepasstes Finite-Volumen-Verfahren entwickelt. Den in diesem Rahmen auftauchenden gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen wird spezielle Aufmerksamkeit geschenkt. Es werden die bestehenden Begriffe auf eine gemeinsame formale Basis gestellt und die bestehenden Verfahren (Bruggeman und modifizierte Patankar Ansätze) mit Hilfe dieser vereinheitlichten Basis formuliert. Anschließend werden die diesen Ansätzen jeweils eigenen Schwierigkeiten und Einschränkungen (Ordnungsschranke von zwei, Erhaltung der Konservativität nur für Gleichungen mit einfacher Struktur, nicht für steife Systeme geeignet) betrachtet. Danach werden zwei Verfahrensverallgemeinerungen des modifizierten Patankar Euler Verfahrens präsentiert, welche jeweils eine der bestehenden Schwächen aufhebt. 1. Das extrapolierte mod. Pat. Euler Verfahren ermöglicht in Abhängigkeit des zu Grunde liegenden Problems die Erzeugung von Näherungen beliebig hoher Ordnung. 2. Das verallgemeinerte mod. Pat. Euler Verfahren erlaubt den Erhalt der Masse auch für komplexe Strukturen. Anschließend befasst sich die Arbeit mit der Vorstellung des verwendeten FVV, einer angepassten Form der 2D DLR Taucodes. Im weiteren Verlauf werden sämtliche theoretischen Aussagen zu den Verfahren an Hand entsprechend gewählter praktischer Testfälle demonstriert. Abschließend wird die Wirksamkeit des Gesamtverfahrens in seiner Anwendung auf das Algendynamikmodell vorgeführt.

On the relationship between the Method of Least Squares and Gram-Schmidt orthogonalization

The method of Least Squares is due to Carl Friedrich Gauss. The Gram-Schmidt orthogonalization method is of much younger date. A method for solving Least Squares Problems is developed which automatically results in the appearance of the Gram-Schmidt orthogonalizers. Given these orthogonalizers an induction-proof is available for solving Least Squares Problems.

Estimators and Tests based on Likelihood-Depth with Application to Weibull Distribution, Gaussian and Gumbel Copula

In dieser Arbeit werden mithilfe der Likelihood-Tiefen, eingeführt von Mizera und Müller (2004), (ausreißer-)robuste Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter einer stetigen Dichtefunktion entwickelt. Die entwickelten Verfahren werden dann auf drei verschiedene Verteilungen angewandt. Für eindimensionale Parameter wird die Likelihood-Tiefe eines Parameters im Datensatz als das Minimum aus dem Anteil der Daten, für die die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, und dem Anteil der Daten, für die diese Ableitung nicht positiv ist, berechnet. Damit hat der Parameter die größte Tiefe, für den beide Anzahlen gleich groß sind. Dieser wird zunächst als Schätzer gewählt, da die Likelihood-Tiefe ein Maß dafür sein soll, wie gut ein Parameter zum Datensatz passt. Asymptotisch hat der Parameter die größte Tiefe, für den die Wahrscheinlichkeit, dass für eine Beobachtung die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nach dem Parameter nicht negativ ist, gleich einhalb ist. Wenn dies für den zu Grunde liegenden Parameter nicht der Fall ist, ist der Schätzer basierend auf der Likelihood-Tiefe verfälscht. In dieser Arbeit wird gezeigt, wie diese Verfälschung korrigiert werden kann sodass die korrigierten Schätzer konsistente Schätzungen bilden. Zur Entwicklung von Tests für den Parameter, wird die von Müller (2005) entwickelte Simplex Likelihood-Tiefe, die eine U-Statistik ist, benutzt. Es zeigt sich, dass für dieselben Verteilungen, für die die Likelihood-Tiefe verfälschte Schätzer liefert, die Simplex Likelihood-Tiefe eine unverfälschte U-Statistik ist. Damit ist insbesondere die asymptotische Verteilung bekannt und es lassen sich Tests für verschiedene Hypothesen formulieren. Die Verschiebung in der Tiefe führt aber für einige Hypothesen zu einer schlechten Güte des zugehörigen Tests. Es werden daher korrigierte Tests eingeführt und Voraussetzungen angegeben, unter denen diese dann konsistent sind. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil der Arbeit wird die allgemeine Theorie über die Schätzfunktionen und Tests dargestellt und zudem deren jeweiligen Konsistenz gezeigt. Im zweiten Teil wird die Theorie auf drei verschiedene Verteilungen angewandt: Die Weibull-Verteilung, die Gauß- und die Gumbel-Copula. Damit wird gezeigt, wie die Verfahren des ersten Teils genutzt werden können, um (robuste) konsistente Schätzfunktionen und Tests für den unbekannten Parameter der Verteilung herzuleiten. Insgesamt zeigt sich, dass für die drei Verteilungen mithilfe der Likelihood-Tiefen robuste Schätzfunktionen und Tests gefunden werden können. In unverfälschten Daten sind vorhandene Standardmethoden zum Teil überlegen, jedoch zeigt sich der Vorteil der neuen Methoden in kontaminierten Daten und Daten mit Ausreißern.

On Solutions of Holonomic Divided-Difference Equations on Non-Uniform Lattices

The main aim of this paper is the development of suitable bases (replacing the power basis x^n (n\in\IN_\le 0) which enable the direct series representation of orthogonal polynomial systems on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable). We present two bases of this type, the first of which allows to write solutions of arbitrary divided-difference equations in terms of series representations extending results given in [16] for the q-case. Furthermore it enables the representation of the Stieltjes function which can be used to prove the equivalence between the Pearson equation for a given linear functional and the Riccati equation for the formal Stieltjes function. If the Askey-Wilson polynomials are written in terms of this basis, however, the coefficients turn out to be not q-hypergeometric. Therefore, we present a second basis, which shares several relevant properties with the first one. This basis enables to generate the defining representation of the Askey-Wilson polynomials directly from their divided-difference equation. For this purpose the divided-difference equation must be rewritten in terms of suitable divided-difference operators developed in [5], see also [6].

Characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices: The functional approach

Using the functional approach, we state and prove a characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable) including the Askey-Wilson polynomials. This theorem proves the equivalence between seven characterization properties, namely the Pearson equation for the linear functional, the second-order divided-difference equation, the orthogonality of the derivatives, the Rodrigues formula, two types of structure relations,and the Riccati equation for the formal Stieltjes function.

Beschreibende Statistik mit Fathom

Das vorliegende Dokument ist in einem Gemeinschaftsprojekt der Universität Kassel und der Elisabeth-Knipping-Schule Kassel entstanden. Im Rahmen der fachbezogenen schulpraktischen Stu-dien für das Fach Mathematik ist eine Unterrichtsreihe zur Beschreibenden Statistik mit Softwareein-satz für die Fachoberschule Klasse 11 entwickelt und umgesetzt worden. Dieses Dokument fasst Ideen, Materialien und didaktische Kommentare der durchgeführten Unterrichtsreihe in aufbereiteter Form zusammen. Viele der konzeptionellen Ansätze und Unterrichtsideen beruhen auf Vorarbeiten der Kassel-Paderborner Arbeitsgruppe „Interaktive Stochastik mit FATHOM“ von Prof. Dr. Rolf Biehler, Fakultät EIM, Universität Paderborn (bis 28.02.2009 Universität Kassel). Der Fokus dieser Arbeit liegt darin, Schülern der Fachoberschule die Erfahrung eines komplet-ten statistischen Untersuchungsprozesses mit Softwareeinsatz zu ermöglichen. Die Werkzeugsoftware FATHOM wurde 2006 ins Deutsche adaptiert. Seit 2008 ist eine multimediale Lernumgebung für diese Software verfügbar, die durch Tobias Hofmann, Mitglied der Arbeitsgruppe, entwickelt wurde. Im Vorfeld der Unterrichtsreihe erheben die Schüler Daten durch eine Online-Umfrage, für deren Inhalte sie mit verantwortlich sind. Zu Beginn der Unterrichtsreihe erwerben die Schüler über sechs Doppelstunden hinweg grundlegende Kenntnisse in der Datenanalyse mit der Werkzeugsoftware FATHOM anhand von Beispieldatensätzen. Dabei geht der Erwerb händischer Kompetenzen in der Datenanalyse einher mit dem Erlernen der Datendarstellung und Datenauswertung mit FATHOM. In der sich anschließenden Projektphase analysieren die Schüler in Gruppenarbeit die von ihnen erhobenen Daten. Sie lernen selbstständig Fragen zu formulieren und entsprechende Hypothesen aufzustellen sowie erhobene Daten sinnvoll darzustellen und geeignet auszuwerten. Aufgrund ihrer Analyse sollten Schüler in der Lage sein, eigenständig Antworten auf ihre eingangs gestellten Fragen und Hypothesen zu formulieren. Für das Vorstellen ihrer Datenanalyse erstellen die Schüler eine Präsentation mit einer dafür geeigneten Software. Sie lernen dabei auch das Kommunizieren und Argumentieren vor der eigenen Lerngruppe. Für jede Unterrichtseinheit in dieser Unterrichtsreihe gibt es einen Steckbrief, der den Inhalt des Unterrichts und die verfügbaren Materialien in Stichworten enthält. Desweiteren wird in jede Un-terrichtseinheit durch einen Didaktischen Kommentar eingeführt, der die grundlegende didaktische Idee charakterisiert und einen möglichen Ablauf der jeweiligen Unterrichtseinheit skizziert. Alle Mate-rialien, wie Arbeitsblätter, Folien, Übungen, Lösungen, Datensätze, Präsentationen, Projekte, Tests und Klausuren, sind im Ordner Materialien verfügbar.

Zur Approximation der Gleichungen von Navier-Stokes

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir die Strömung einer zähen, inkompressiblen, instationären Flüssigkeit in einem dreidimensionalen beschränkten Gebiet, deren Verhalten wird mit den instationären Gleichungen von Navier-Stokes beschrieben. Diese Gleichungen gelten für viele wichtige Strömungsprobleme, beispielsweise für Luftströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit, für Wasserströmungen, sowie für flüssige Metalle. Im zweidimensionalen Fall konnten für die Navier-Stokes-Gleichungen bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall, falls also die Daten keinen Kleinheitsannahmen unterliegen, hat man bisher lediglich Existenz und Eindeutigkeit zeitlich lokaler starker Lösungen nachgewiesen. Außerdem existieren zeitlich global so genannte schwache Lösungen, deren Regularität für den Nachweis der Eindeutigkeit im dreidimensionalen Fall allerdings nicht ausreicht. Somit bleibt die Lücke zwischen der zeitlich lokalen, eindeutigen starken Lösung und den zeitlich globalen, nicht eindeutigen schwachen Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen im dreidimensionalen Fall weiterhin offen. Das renommierte Clay Mathematics Institute hat dieses Problem zu einem von sieben Millenniumsproblemen erklärt und für seine Lösung eine Million US-Dollar ausgelobt. In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Approximationsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen entwickelt, das auf einer Kopplung der Eulerschen und Lagrangeschen Beschreibung zäher Strömungen beruht.

Algorithms for Tamagawa Number Conjectures

In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Untersuchung der äquivarianten Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach entwickelt. Zunächst werden Algorithmen angegeben mit denen die lokale Fundamentalklasse, die globale Fundamentalklasse und Tates kanonische Klasse berechnet werden können. Dies ermöglicht unter anderem Berechnungen in Brauergruppen von Zahlkörpererweiterungen. Anschließend werden diese Algorithmen auf die Tamagawazahlvermutung angewendet. Die Epsilonkonstantenvermutung kann dadurch für alle Galoiserweiterungen L|K bewiesen werden, bei denen L in einer Galoiserweiterung E|Q vom Grad kleiner gleich 15 eingebettet werden kann. Für die Tamagawazahlvermutung an der Stelle 1 wird ein Algorithmus angegeben, der die Vermutung für ein gegebenes Fallbeispiel L|Q numerischen verifizieren kann. Im Spezialfall, dass alle Charaktere rational oder abelsch sind, kann dieser Algorithmus die Vermutung für L|Q sogar beweisen.

On Solution Sets of Information Inequalities

We investigate solution sets of a special kind of linear inequality systems. In particular, we derive characterizations of these sets in terms of minimal solution sets. The studied inequalities emerge as information inequalities in the context of Bayesian networks. This allows to deduce important properties of Bayesian networks, which is important within causal inference.

Elterliche Geschlechtsstereotype und deren Einfluss auf das mathematische Selbstkonzept von Grundschulkindern

Ausgangspunkt dieser Dissertation ist die Überlegung, warum Mädchen und Frauen in mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächern und Berufen unterrepräsentiert sind. Irrtümlicherweise werden als Erklärung hierfür häufig Geschlechterdifferenzen in der Mathematikleistung herangezogen. Diese bieten jedoch aufgrund nicht einheitlicher Forschungsbefunde keinen zufriedenstellenden Erklärungsansatz. Naheliegender ist es, das mangelnde Selbstvertrauen von Mädchen in Mathematik (als mathematisches Selbstkonzept bezeichnet) als Ursache heranzuziehen, denn verschiedene Studien kamen zu dem Ergebnis, dass Mädchen, auch bei vergleichbarer Leistung, ein geringeres mathematisches Selbstkonzept aufweisen als Jungen (Dickhäuser & Stiensmeier-Pelster, 2003; Frome & Eccles, 1998; Rustemeyer & Jubel, 1996; Skaalvik & Skaalvik, 2004). Die Rolle der Eltern als primäre Sozialisationsinstanz wird als bedeutsamer Einflussfaktor auf das mathematische Selbstkonzept von Kindern beschrieben. Besonders für den Bereich Mathematik besteht die Gefahr, dass Eltern durch geschlechtsstereotype Einstellungen und Erwartungen ihre Tochter ungünstig beeinflussen (Jacobs, 1991; Tiedemann, 2000). In dieser Arbeit wird untersucht, inwiefern Eltern Geschlechtsstereotype zuungunsten der Mädchen in Mathematik äußern und inwiefern sich diese – schon zur Grundschulzeit – in den elterlichen Einschätzungen (elterliche Leistungs- und Fähigkeitseinschätzungen sowie elterliche Ursachenerklärungen) des eigenen Kindes widerspiegeln. Es wird angenommen, dass Mädchen entsprechend dem klassischen Geschlechtsstereotyp weniger talentiert und weniger leistungsstark in Mathematik eingeschätzt werden als Jungen. Für die Einschätzungen des eigenen Kindes wird erwartet, dass diese geschlechtsspezifische Verzerrungen zuungunsten der Mädchen aufweisen. Anhand von Pfadmodellen wird in dieser Arbeit der Einfluss elterlicher Geschlechtsstereotype und Einschätzungen, unter Kontrolle der vorangegangenen Mathematikleistung und des vorangegangenen mathematischen Selbstkonzeptes des Kindes, auf das aktuelle mathematische Selbstkonzept des Kindes am Ende des dritten Schuljahres analysiert. Als Grundlage dienen Daten von circa 900 Schülern und 400 Eltern aus dem Projekt Persönlichkeits- und Lernentwicklung von Grundschulkindern (PERLE). Die Befunde der vorliegenden Arbeit können bisherige Forschungsbefunde aus dem Sekundarbereich für den Grundschulbereich replizieren und weitere erstmalige Befunde ergänzen. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass knapp zwei Drittel der Eltern Geschlechtsstereotype zuungunsten der Mädchen in Mathematik äußern. Die Pfadanalysen ergeben, dass nicht das Geschlecht des Kindes, sondern Wechselwirkungen zwischen Geschlecht und elterlichen Geschlechtsstereotypen die elterlichen Einschätzungen des eigenen Kindes beeinflussen. Wenn Eltern Geschlechtsstereotype vertreten, schätzen sie eine Tochter ungünstiger ein als einen Sohn (unabhängig von der tatsächlichen Mathematikleistung des Kindes). Die elterlichen Einschätzungen haben wiederum einen signifikanten Einfluss auf das mathematische Selbstkonzept des Kindes. Die Ergebnisse dieser Arbeit werden abschließend diskutiert und Ansätze für Interventionen aufgezeigt.

Uniformisierbarkeit in Familien von abelschen t-Moduln höheren Ranges

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie sich in einer Familie von abelschen t-Moduln die Teilfamilie der uniformisierbaren t-Moduln beschreiben lässt. Abelsche t-Moduln sind höherdimensionale Verallgemeinerungen von Drinfeld-Moduln über algebraischen Funktionenkörpern. Bekanntermaßen lassen sich Drinfeld-Moduln in allgemeiner Charakteristik durch analytische Tori parametrisieren. Diese Tatsache überträgt sich allerdings nur auf manche t-Moduln, die man als uniformisierbar bezeichnet. Die Situation hat eine gewisse Analogie zur Theorie von elliptischen Kurven, Tori und abelschen Varietäten über den komplexen Zahlen. Um zu entscheiden, ob ein t-Modul in diesem Sinne uniformisierbar ist, wendet man ein Kriterium von Anderson an, das die rigide analytische Trivialität der zugehörigen t-Motive zum Inhalt hat. Wir wenden dieses Kriterium auf eine Familie von zweidimensionalen t-Moduln vom Rang vier an, die von Koeffizienten a,b,c,d abhängen, und gelangen dabei zur äquivalenten Fragestellung nach der Konvergenz von gewissen rekursiv definierten Folgen. Das Konvergenzverhalten dieser Folgen lässt sich mit Hilfe von Newtonpolygonen gut untersuchen. Schließlich erhält man durch dieses Vorgehen einfach formulierte Bedingungen an die Koeffizienten a,b,c,d, die einerseits die Uniformisierbarkeit garantieren oder andererseits diese ausschließen.

Professionswissen von Lehrkräften der Naturwissenschaften im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung

Die Ergebnisse internationaler Schulleistungsstudien wie TIMMS und PISA haben eine umfassende Diskussion zur Qualität, Struktur und Effizienz der Ausbildung und berufsbegleitenden Qualifizierung im deutschen Bildungssystem angestoßen. Die Kultusministerkonferenz der Länder (KMK) hat mit ihren Beschlüssen zu fachbezogenen Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss erstmalig ein funktionales und länderübergreifendes Konzept vorgelegt, in dem Bildung durch Kompetenzen beschrieben wird. Die von den Schülerinnen und Schülern zu erreichenden Kenntnisse und Fertigkeiten werden in Standards konkretisiert, die in den Bereichen Fachwissen, Erkenntnisgewinnung, Kommunikation und Bewertung als Regelstandards organisiert sind. Die ländergemeinsamen Anforderungen für die Fachwissenschaften und Fachdidaktiken und die Standards für die Lehrerbildung beschreiben ein auf die Bildungsstandards bezugnehmendes Anforderungsprofil auf Seiten der Lehrkräfte zur Sicherung der Qualität in der Aus-, Fort- und Weiterbildung in allen drei Phasen der Lehrerbildung, mit dem Ziel eine kompetente Berufsausübung zu gewährleisten. Durch die Einführung des Kompetenzbegriffs werden somit auch die Kenntnisse und Fertigkeiten von Lehrkräften der Naturwissenschaften beschrieben, die auf Lehr- und Lernsituationen im Kompetenzbereich Fachwissen und Erkenntnisgewinnung ausgerichtet sind. Diese Standards markieren den Einstieg in ein Qualitätsmanagement, in dem normativen Standards konkretisiert und fachbezogen operationalisiert werden. Deren Evaluation ermöglicht eine empirisch fundiertere Darstellung der Lehrerbildung, die somit auch einen Beitrag zu einer weitergehenden Beschreibung des Professionswissens von Lehrkräften leistet. Allerdings ist im deutschsprachigen Raum bislang noch kein umfassendes Modell zum Professionswissen von Lehrkräften der Naturwissenschaften und einer niveaubezogenen Differenzierung ausgewiesener Kompetenzen verfügbar. Erste Strukturierungsansätze weisen auf die besondere Bedeutung der Bereiche Fachwissen, Fachdidaktisches Wissen und Pädagogisches Wissen hin. Insbesondere das in diesen Bereichen organisierte Wissen und Können von Lehrkräften ist für eine professionelle Handlungskompetenz von besonderer Bedeutung, die einen bedeutsamen Prädiktor für die Unterrichtsqualität darstellt und den Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten im naturwissenschaftlichen Unterricht maßgeblich beeinflusst. Wesentliche Elemente einer umfassenden naturwissenschaftlichen Grundbildung werden in den Standards der Kompetenzbereiche Fachwissen und Erkenntnisgewinnung konkretisiert, die auch im Focus der Standards der Lehrerbildung in den naturwissenschaftlichen Fächern stehen. Die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung systematisieren prozessbezogen zentrale Kompetenzen Fachmethodischen Wissens im Kontext einer naturwissenschaftlichen Untersuchung. Das Rahmenkonzept wissenschaftsmethodischer Kompetenzen von Mayer (2007) weist die Standards der Erkenntnisgewinnung in den Teilkompetenzen, bezogen auf die Phasen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung, aus. Die vorliegende Untersuchung ist auf die Erhebung und Beschreibung von Kenntnissen und Fertigkeiten von Lehrkräften in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung ausgerichtet. Es wird untersucht, in welcher Weise die in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung beschriebenen wissenschaftsmethodischen Kompetenzen bei der Anlage fachdidaktisch begründeter Lernprozesse von den Lehrkräften berücksichtigt werden. Zudem wird der Frage nachgegangen, welche Erwartungen die Lehrkräfte an die Wirksamkeit ihrer Unterrichtsgestaltung in Bezug auf den intendierten Kompetenzerwerb wissenschaftsmethodischer Kompetenzen im naturwissenschaftlichen Unterricht haben. Im Anschluss wird das auf Seiten der Lehrkräfte verfügbare Fachmethodische Wissen beschrieben, auf das bei der Konkretisierung der Standards der Erkenntnisgewinnung im naturwissenschaftlichen Fachunterricht zurückgegriffen werden kann. Begleitend werden die Fächerkombination und das Lehramt als relevante Prädiktorvariablen im Hinblick auf die ausgewiesenen Fragestellungen betrachtet. Als Instrument wurde ein Erhebungsbogen entwickelt, der im Kooperationsprojekt „Kompetenzorientiert unterrichten in Mathematik und Naturwissenschaften“ der Universitäten Kassel und Gießen mit dem Amt für Lehrerbildung in Frankfurt zur Datenerhebung eingesetzt wurde. Den an der hessenweiten Qualifizierung teilnehmenden Lehrkräften (N = 282) wurde ein Erhebungsbogen mit 3 Instrumenten zu Beginn der Qualifizierung vorgelegt. Im ersten Instrument wurden die Ziele des naturwissenschaftlichen Arbeitens durch 24 Items abgebildet, die eine Selbstauskunft der Lehrkräfte durch eine sechsstufige Likert Skala erheben. Acht offene Testaufgaben haben im zweiten Instrument die wissenschaftsmethodischen Kenntnisse der Lehrkräfte in den Kompetenzkonstrukten und Standards der Erkenntnisgewinnung erhoben. Im dritten Instrument konnten die Lehrkräfte in drei freien Antwortformaten ihre Erwartungen an eine Qualifizierung im Kooperationsprojekt angeben. Wie die statistische Bearbeitung der Daten ausweist, berücksichtigen die Lehrkräfte die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung in der Facette „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und ihrer Dimensionen durchgängig „oft“. Lehrkräfte mit zwei naturwissenschaftlichen Fächern berücksichtigen die Kompetenzkonstrukte zudem häufiger bei der Anlage fachbezogenen Lernens. Im Hinblick auf die Erwartungen an die Lernprogression der Schülerinnen und Schüler werden die kompetenzbezogenen Ziele im naturwissenschaftlichen Unterricht nach Selbstauskunft der Lehrkräfte in der Facette „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und ihrer Dimensionen „oft“ erreicht. Nach der Selbstauskunft der Lehrkräfte gehen diese davon aus, dass die intendierte Lernprogression wissenschaftsmethodischer Kenntnisse und Fertigkeiten von den Lernenden „oft“ erreicht wird. Insbesondere der Dimension Arbeitstechniken wird von den Lehrkräften in beiden Facetten ein gleichermaßen hoher Stellenwert im naturwissenschaftlichen Unterricht beigemessen. Ein Vergleich der Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und ihrer Dimensionen zeigt allerdings auch, dass die Lehrkräfte die intendierte Lernprogression der Lernenden im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung schwächer einschätzen. Des Weiteren besteht ein belastbarer Zusammenhang zwischen der Planung von Lernprozessen und dem Erwerb von Kenntnissen und Fertigkeiten im Kompetenzbereich Erkenntnisgewinnung. Die mittleren bis hohen Korrelationen zwischen den Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ deuten darauf hin, dass die seitens der Lehrkräfte eingesetzten fachmethodischen Kenntnisse in einem unmittelbaren Zusammenhang mit der Lernprogression im naturwissenschaftlichen Unterricht gesehen werden. Die Kompetenzkonstrukte und Standards der Erkenntnisgewinnung werden von den Lehrkräften durchgängig berücksichtigt und als bedeutsam im naturwissenschaftlichen Fachunterricht erachtet. Bezüglich der Prädiktorvariablen Lehramt und Alter liegen keine statistisch bedeutsamen Befunde vor. Die Standards der KMK werden von den Lehrkräften im Bereich Fachwissen und Fachdidaktischem Wissen gleichermaßen, unabhängig von ihrer Berufspraxis, umgesetzt. Die von den Lehrkräften angegebenen Lösungen der offenen Aufgaben in den Teilkompetenzen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung lassen sich weitgehend der Niveaustufe 1 zuordnen. Lehrkräfte mit dem Lehramt für Gymnasien lösen die Aufgaben auf einem höheren Niveau, das allerdings die Niveaustufe 2 noch nicht erreicht. Offenbar gelingt es diesen Lehrkräften umfassender Kenntnisse und Fertigkeiten in den Teilkompetenzen einer naturwissenschaftlichen Untersuchung zu aktivieren. Allerdings werden die mittleren Anforderungen, die national und international der Niveaustufe 3 zugeordnet werden, von den Lehrkräften durchgängig nicht erreicht. Zudem besteht zwischen den beiden Facetten „Kompetenzorientiert Unterrichten“ und „Kompetenzbezogene Ziele erreichen“ und den offenen Aufgaben kein statistisch bedeutsamer Zusammenhang. Die Lehrkräfte setzen ihre Kenntnisse und Fertigkeiten mit den Anforderungen eines kompetenzorientierten naturwissenschaftlichen Fachunterrichts nur unzureichend in Beziehung. Wie die Befunde der im dritten Instrument erhobenen Erwartungen und Ziele einer Qualifizierung zeigen, bringen die Lehrkräfte die Bereitschaft mit, sich aktiv in die Qualitätsentwicklung einzubringen. Sie erwarten von dem kumulativen Kompetenzerwerb in den Bereichen Fachwissen und Fachmethodisches Wissen einen wesentlichen Beitrag zur Gestaltung standardorientierter Lehr- und Lernsituationen.