Bayes quadratic unbiased estimator of spatial covariance parameters

This work presents Bayes invariant quadratic unbiased estimator, for short BAIQUE. Bayesian approach is used here to estimate the covariance functions of the regionalized variables which appear in the spatial covariance structure in mixed linear model. Firstly a brief review of spatial process, variance covariance components structure and Bayesian inference is given, since this project deals with these concepts. Then the linear equations model corresponding to BAIQUE in the general case is formulated. That Bayes estimator of variance components with too many unknown parameters is complicated to be solved analytically. Hence, in order to facilitate the handling with this system, BAIQUE of spatial covariance model with two parameters is considered. Bayesian estimation arises as a solution of a linear equations system which requires the linearity of the covariance functions in the parameters. Here the availability of prior information on the parameters is assumed. This information includes apriori distribution functions which enable to find the first and the second moments matrix. The Bayesian estimation suggested here depends only on the second moment of the prior distribution. The estimation appears as a quadratic form y'Ay , where y is the vector of filtered data observations. This quadratic estimator is used to estimate the linear function of unknown variance components. The matrix A of BAIQUE plays an important role. If such a symmetrical matrix exists, then Bayes risk becomes minimal and the unbiasedness conditions are fulfilled. Therefore, the symmetry of this matrix is elaborated in this work. Through dealing with the infinite series of matrices, a representation of the matrix A is obtained which shows the symmetry of A. In this context, the largest singular value of the decomposed matrix of the infinite series is considered to deal with the convergence condition and also it is connected with Gerschgorin Discs and Poincare theorem. Then the BAIQUE model for some experimental designs is computed and compared. The comparison deals with different aspects, such as the influence of the position of the design points in a fixed interval. The designs that are considered are those with their points distributed in the interval [0, 1]. These experimental structures are compared with respect to the Bayes risk and norms of the matrices corresponding to distances, covariance structures and matrices which have to satisfy the convergence condition. Also different types of the regression functions and distance measurements are handled. The influence of scaling on the design points is studied, moreover, the influence of the covariance structure on the best design is investigated and different covariance structures are considered. Finally, BAIQUE is applied for real data. The corresponding outcomes are compared with the results of other methods for the same data. Thereby, the special BAIQUE, which estimates the general variance of the data, achieves a very close result to the classical empirical variance.

Characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices: The functional approach

Using the functional approach, we state and prove a characterization theorem for classical orthogonal polynomials on non-uniform lattices (quadratic lattices of a discrete or a q-discrete variable) including the Askey-Wilson polynomials. This theorem proves the equivalence between seven characterization properties, namely the Pearson equation for the linear functional, the second-order divided-difference equation, the orthogonality of the derivatives, the Rodrigues formula, two types of structure relations,and the Riccati equation for the formal Stieltjes function.

Aspekte der linearen Minimax-Schätzung

Es werde das lineare Regressionsmodell y = X b + e mit den ueblichen Bedingungen betrachtet. Weiter werde angenommen, dass der Parametervektor aus einem Ellipsoid stammt. Ein optimaler Schaetzer fuer den Parametervektor ist durch den Minimax-Schaetzer gegeben. Nach der entscheidungstheoretischen Formulierung des Minimax-Schaetzproblems werden mit dem Bayesschen Ansatz, Spektralen Methoden und der Darstellung von Hoffmann und Laeuter Wege zur Bestimmung des Minimax- Schaetzers dargestellt und in Beziehung gebracht. Eine Betrachtung von Modellen mit drei Einflussgroeßen und gemeinsamen Eigenvektor fuehrt zu einer Strukturierung des Problems nach der Vielfachheit des maximalen Eigenwerts. Die Bestimmung des Minimax-Schaetzers in einem noch nicht geloesten Fall kann auf die Bestimmung einer Nullstelle einer nichtlinearen reellwertigen Funktion gefuehrt werden. Es wird ein Beispiel gefunden, in dem die Nullstelle nicht durch Radikale angegeben werden kann. Durch das Intervallschachtelungs-Prinzip oder Newton-Verfahren ist die numerische Bestimmung der Nullstelle moeglich. Durch Entwicklung einer Fixpunktgleichung aus der Darstellung von Hoffmann und Laeuter war es in einer Simulation moeglich die angestrebten Loesungen zu finden.

A generalization of Student’s t-distribution from the viewpoint of special functions

Student’s t-distribution has found various applications in mathematical statistics. One of the main properties of the t-distribution is to converge to the normal distribution as the number of samples tends to infinity. In this paper, by using a Cauchy integral we introduce a generalization of the t-distribution function with four free parameters and show that it converges to the normal distribution again. We provide a comprehensive treatment of mathematical properties of this new distribution. Moreover, since the Fisher F-distribution has a close relationship with the t-distribution, we also introduce a generalization of the F-distribution and prove that it converges to the chi-square distribution as the number of samples tends to infinity. Finally some particular sub-cases of these distributions are considered.

Wem gehört das Rieselfeld?

Die Arbeit hat zum Ziel, die Beziehungen der Bewohnerinnen und Bewohner ihres neuen Stadtteils zu beobachten und zu erklären. Der Verfasser ist dabei teilnehmender Beobachter, da er seit über acht Jahren als Quartiersarbeiter in diesem Stadtteil tätig ist. Hintergrund der Tätigkeit des Verfassers und seiner Arbeit ist die Kritik an den Trabantenstädten der 1970er Jahre in Deutschland. Im weiteren Verlauf verfolgt die Arbeit einem soziologisch theoretischen Ansatz. Handlungen, Zeichen, Symbole, Konflikte, Distanzen und Prozesse der sozialen Durchmischungen werden in Bezug zu einzelnen Theorem gesehen. Der Handlungsansatz, der Milieuansatz, die Raumtheorien, Integration und Exklusion sind die fünf theoretischen Perspektiven. Diese werden jeweils zunächst auf Grundlage der wissenschaftlichen Literatur dargestellt, um dann einzelne Beobachtungen diesen jeweiligen Rahmen zuzuordnen. Neue Stadtteile sind in den letzten Jahren in Deutschland nicht viele entstanden. Zu viele negative Erfahrungen machten die Städte, die in 60er und 70er Jahren des 20 Jahrhunderts Trabenten- oder Satellitenstädte am Stadtrand errichteten. Die Stadt Freiburg war eine der ersten Städte, die Anfang der 90er Jahre wieder versucht einen neuen urbanen Stadtteil für 10 – 12 000 Einwohner auf der grünen Wiese zu planen und zu bauen. Die Leitfrage war darum, wie kann eine ähnlich problematische Entwicklung, wie sie die vielen anderen Neubaustadtteile genommen haben, im Stadtteil Rieselfeld verhindert werden. Vor diesem Hintergrund beauftragte die Stadt Freiburg ein Konzept zu unterstützen, dass neben dem Bau der Häuser und der Infrastruktur auch die Entsehung des sozialen und kulturellen Lebens fördern sollte. Die Trägerschaft für dieses Projekt „Quartiersaufbau Rieselfeld“ wurde der Kontaktstelle für praxisorientierte Forschung e. V., der Forschungsstelle der Evangelischen Fachhochschule Freiburg für Sozialwesen, für den Zeitraum von 1996 bis 2003 übertragen. Dieses Stadtentwicklungsprojekt war auch Arbeitgeber für den Verfasser dieser Arbeit. In den vorliegenden Text fliesen daher auch viele Alltagserfahrungen und auch biographische Anteile ein. Diese Arbeit will als eine sozialtheoretische Reflektion verstanden werden, die als Rahmen für lokalisierte empirische Beobachtungen dienen soll. Dies gewährleistete die absolute Nähe zu den Geschehnissen vor Ort, die Entwicklung im alltäglichen Leben mit den BewohnerInnen zu erleben, erschwerte aber die Distanz zur Reflexion dieses Prozesses. Aus dieser Nähe entwickelte sich im Lauf der Zeit, die Frage wie eigen sich die Bewohnerinnen und Bewohner ihren Stadtteil an. Dieses Interesse steht quasi über den alltäglichen sozialarbeiterischen Aufgaben und Herausforderungen. Die Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich die Aneignung des neuen Stadtteils durch einen ständigen Machtkampf, der auf den unterschiedlichsten Ebenen ausgetragen wird, vollzieht. Der Kern der Argumentation besteht neben theoretischen Überlegungen aus alltagstypischen Beobachtungen, die der Verfasser du Zusammenfassend orientiert sich die vorliegende Arbeit als machtsoziologischer Versuch an der genau verorteten Lokalisierung ihrer Produzenten, die sich im Laufe der letzten sieben Jahre herausgebildet und räumlich lokalisiert haben.

Förderung Bayesianischen Denkens - Kognitionspsychologische Grundlagen und didaktische Analysen

Der in dieser Arbeit wesentliche Fokus ist die Realisierung eines anwendungsbezogenen Konzeptes zur Förderung stochastischer Kompetenzen im Mathematikunterricht, die sich auf Entscheiden und Urteilen unter Unsicherheit beziehen. Von zentraler Bedeutung ist hierbei die alltagsrelevante Kompetenz, mit Problemen um bedingte Wahrscheinlichkeiten und Anwendungen des Satzes von Bayes umgehen zu können, die i.w.S. mit „Bayesianischem Denken“ bezeichnet wird. Die historische und theoretische Grundlage der Arbeit sind kognitionspsychologische Erkenntnisse zum menschlichen Urteilen unter Unsicherheit: Intuitive Formen probabilistischen Denkens basieren auf Häufigkeitsanschauungen (z.B. Piaget & Inhelder, 1975; Gigerenzer, 1991). Meine didaktischen Analysen ergaben aber, dass der Umgang mit Unsicherheit im üblichen Stochastikunterricht nach einer häufigkeitsbasierten Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes (der ja bekanntlich vielfältige Interpretationsmöglichkeiten aufweist) nur noch auf Basis der numerischen Formate für Wahrscheinlichkeiten (z.B. Prozentwerte, Dezimalbrüche) und entsprechenden Regeln gelehrt wird. Damit werden m.E. grundlegende Intuitionen von Schülern leider nur unzureichend beachtet. Das in dieser Arbeit detailliert entwickelte „Didaktische Konzept der natürlichen Häufigkeiten“ schlägt somit die konsequente Modellierung probabilistischer Probleme mit Häufigkeitsrepräsentationen vor. Auf Grundlage empirischer Laborbefunde und didaktischer Analysen wurde im Rahmen der Arbeit eine Unterrichtsreihe „Authentisches Bewerten und Urteilen unter Unsicherheit“ für die Sekundarstufe I entwickelt (Wassner, Biehler, Schweynoch & Martignon, 2004 auch als Band 5 der KaDiSto-Reihe veröffentlicht). Zum einen erfolgte eine Umsetzung des „Didaktischen Konzeptes der natürlichen Häufigkeiten“, zum anderen wurde ein Zugang mit hohem Realitätsbezug verwirklicht, in dem so genannte „allgemeinere Bildungsaspekte“ wie Lebensvorbereitung, eigenständige Problemlösefähigkeit, kritischer Vernunftgebrauch, Sinnstiftung, motivationale Faktoren etc. wesentliche Beachtung fanden. Die Reihe wurde auch im Rahmen dieser Arbeit in der Sekundarstufe I (fünf 9. Klassen, Gymnasium) implementiert und daraufhin der Unterrichtsgang detailliert bewertet und analysiert. Diese Arbeit stellt die Dissertation des Verfassers dar, die an der Universität Kassel von Rolf Biehler betreut wurde. Sie ist identisch mit der Erstveröffentlichung 2004 im Franzbecker Verlag, Hildesheim, der der elektronischen Veröffentlichung im Rahmen von KaDiSto zugestimmt hat.

Authentisches Bewerten und Urteilen unter Unsicherheit - Arbeitsmaterialien und didaktische Kommentare für den Themenbereich "Bayessche Regel" für den Stochastikunterricht der Sekundarstufe I

Die vorliegende Unterrichtsreihe basiert auf zwei grundlegenden Vorstellungen zum Lernen und Lehren von Wahrscheinlichkeitsrechnung für Anfänger in der Sekundarstufe I. Zum einen ist die grundsätzliche Überzeugung der Autoren, dass ein sinnvoller und gewinnbringender Unterricht in Stochastik über den aufwendigeren Weg möglichst authentischer und konkreter Anwendungen im täglichen Leben gehen sollte. Demzufolge reicht eine Einkleidung stochastischer Probleme in realistisch wirkende Kontexte nicht, sondern es sollte eine intensive Erarbeitung authentischer Problemstellungen, z.B. mit Hilfe von realen Medientexten, erfolgen. Die Schüler sollen vor allem lernen, reale Probleme mathematisch zu modellieren und gefundene mathematische Ergebnisse für die reale Situation zu interpretieren und kritisch zu diskutieren. Eine weitere Besonderheit gegenüber traditionellen Zugängen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert auf kognitionspsychologischen Ergebnissen zur menschlichen Informationsverarbeitung. Durch eine Serie von Studien wurde gezeigt, dass Menschen – und natürlich auch Schüler – große Probleme haben, mit Wahrscheinlichkeiten (also auf 1 normierte Maße) umzugehen. Als viel einfacher und verständnisfördernder stellte sich die kognitive Verarbeitung von Häufigkeiten (bzw. Verhältnissen von natürlichen Zahlen) heraus. In dieser Reihe wird deshalb auf eine traditionelle formale Einführung der Bayesschen Regel verzichtet und es werden spezielle, auf Häufigkeiten basierende Hilfsmittel zur Lösungsfindung verwendet. Die erwähnten Studien belegen den Vorteil dieser Häufigkeitsdarstellungen gegenüber traditionellen Methoden im Hinblick auf den sofortigen und insbesondere den längerfristigen Lernerfolg (vgl. umfassend zu diesem Thema C. Wassner (2004). Förderung Bayesianischen Denkens, Hildesheim: Franzbecker, http://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hebis:34-2006092214705). Die vorliegende Schrift wurde zuerst im Jahre 2004 als Anhang zur o.g. Schrift bei Franzbecker Hildesheim veröffentlicht. Der Verlag hat einer elektronischen Veröffentlichung in der KaDiSto-Reihe zugestimmt.

On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

The Parity of the Number of Irreducible Factors for Some Pentanomials

It is well known that Stickelberger-Swan theorem is very important for determining reducibility of polynomials over a binary field. Using this theorem it was determined the parity of the number of irreducible factors for some kinds of polynomials over a binary field, for instance, trinomials, tetranomials, self-reciprocal polynomials and so on. We discuss this problem for type II pentanomials namely x^m +x^{n+2} +x^{n+1} +x^n +1 \in\ IF_2 [x]. Such pentanomials can be used for efficient implementing multiplication in finite fields of characteristic two. Based on the computation of discriminant of these pentanomials with integer coefficients, it will be characterized the parity of the number of irreducible factors over IF_2 and be established the necessary conditions for the existence of this kind of irreducible pentanomials.

Parity of the Number of Irreducible Factors for Composite Polynomials

Various results on parity of the number of irreducible factors of given polynomials over finite fields have been obtained in the recent literature. Those are mainly based on Swan’s theorem in which discriminants of polynomials over a finite field or the integral ring Z play an important role. In this paper we consider discriminants of the composition of some polynomials over finite fields. The relation between the discriminants of composed polynomial and the original ones will be established. We apply this to obtain some results concerning the parity of the number of irreducible factors for several special polynomials over finite fields.

Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen

Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können. ________________________________________________________________________________________________________________

On the relationship between the Method of Least Squares and Gram-Schmidt orthogonalization

The method of Least Squares is due to Carl Friedrich Gauss. The Gram-Schmidt orthogonalization method is of much younger date. A method for solving Least Squares Problems is developed which automatically results in the appearance of the Gram-Schmidt orthogonalizers. Given these orthogonalizers an induction-proof is available for solving Least Squares Problems.

Klassifikationsgestützte on-line Adaption eines robusten beobachterbasierten Fehlerdiagnoseansatzes für nichtlineare Systeme

Diese Arbeit behandelt die Problemstellung der modellbasierten Fehlerdiagnose für Lipschitz-stetige nichtlineare Systeme mit Unsicherheiten. Es wird eine neue adaptive Fehlerdiagnosemethode vorgestellt. Erkenntnisse und Verfahren aus dem Bereich der Takagi-Sugeno (TS) Fuzzy-Modellbildung und des Beobachterentwurfs sowie der Sliding-Mode (SM) Theorie werden genutzt, um einen neuartigen robusten und nichtlinearen TS-SM-Beobachter zu entwickeln. Durch diese Zusammenführung lassen sich die jeweiligen Vorteile beider Ansätze miteinander kombinieren. Bedingungen zur Konvergenz des Beobachters werden als lineare Matrizenungleichungen (LMIs) abgeleitet. Diese Bedingungen garantieren zum einen die Stabilität und liefern zum anderen ein direktes Entwurfsverfahren für den Beobachter. Der Beobachterentwurf wird für die Fälle messbarer und nicht messbarer Prämissenvariablen angegeben. Durch die TS-Erweiterung des in dieser Arbeit verwendeten SM-Beobachters ist es möglich, den diskontinuierlichen Rückführterm mithilfe einer geeigneten kontinuierlichen Funktion zu approximieren und dieses Signal daraufhin zur Fehlerdiagnose auszuwerten. Dies liefert eine Methodik zur Aktor- und Sensorfehlerdiagnose nichtlinearer unsicherer Systeme. Gegenüber anderen Ansätzen erlaubt das Vorgehen eine quantitative Bestimmung und teilweise sogar exakte Rekonstruktion des Fehlersignalverlaufs. Darüber hinaus ermöglicht der Ansatz die Berechnung konstanter Fehlerschwellen direkt aus dem physikalischen Vorwissen über das betrachtete System. Durch eine Erweiterung um eine Betriebsphasenerkennung wird es möglich, die Schwellenwerte des Fehlerdiagnoseansatzes online an die aktuelle Betriebsphase anzupassen. Hierdurch ergibt sich in Betriebsphasen mit geringen Modellunsicherheiten eine deutlich erhöhte Fehlersensitivität. Zudem werden in Betriebsphasen mit großen Modellunsicherheiten Falschalarme vermieden. Die Kernidee besteht darin, die aktuelle Betriebsphase mittels eines Bayes-Klassikators in Echtzeit zu ermitteln und darüber die Fehlerschwellen an die a-priori de nierten Unsicherheiten der unterschiedlichen Betriebsphasen anzupassen. Die E ffektivität und Übertragbarkeit der vorgeschlagenen Ansätze werden einerseits am akademischen Beispiel des Pendelwagens und anderseits am Beispiel der Sensorfehlerdiagnose hydrostatisch angetriebener Radlader als praxisnahe Anwendung demonstriert.

Time Discretization of the SST-generalized Navier-Stokes Equations: Positive and Negative Results

In the theory of the Navier-Stokes equations, the proofs of some basic known results, like for example the uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations under smallness assumptions on the data or the stability of certain time discretization schemes, actually only use a small range of properties and are therefore valid in a more general context. This observation leads us to introduce the concept of SST spaces, a generalization of the functional setting for the Navier-Stokes equations. It allows us to prove (by means of counterexamples) that several uniqueness and stability conjectures that are still open in the case of the Navier-Stokes equations have a negative answer in the larger class of SST spaces, thereby showing that proof strategies used for a number of classical results are not sufficient to affirmatively answer these open questions. More precisely, in the larger class of SST spaces, non-uniqueness phenomena can be observed for the implicit Euler scheme, for two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, for the fractional step theta scheme, and for the SST-generalized stationary Navier-Stokes equations. As far as stability is concerned, a linear version of the Euler scheme, a nonlinear version of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme turn out to be non-stable in the class of SST spaces. The positive results established in this thesis include the generalization of classical uniqueness and stability results to SST spaces, the uniqueness of solutions (under smallness assumptions) to two nonlinear versions of the Euler scheme, two nonlinear versions of the Crank-Nicolson scheme, and the fractional step theta scheme for general SST spaces, the second order convergence of a version of the Crank-Nicolson scheme, and a new proof of the first order convergence of the implicit Euler scheme for the Navier-Stokes equations. For each convergence result, we provide conditions on the data that guarantee the existence of nonstationary solutions satisfying the regularity assumptions needed for the corresponding convergence theorem. In the case of the Crank-Nicolson scheme, this involves a compatibility condition at the corner of the space-time cylinder, which can be satisfied via a suitable prescription of the initial acceleration.