Croissance des fonctions propres du laplacien sur un domaine circulaire

Ce mémoire a pour but d'étudier les propriétés des solutions à l'équation aux valeurs propres de l'opérateur de Laplace sur le disque lorsque les valeurs propres tendent vers l'in ni. En particulier, on s'intéresse au taux de croissance des normes ponctuelle et L1. Soit D le disque unitaire et @D sa frontière (le cercle unitaire). On s'inté- resse aux solutions de l'équation aux valeurs propres f = f avec soit des conditions frontières de Dirichlet (fj@D = 0), soit des conditions frontières de Neumann ( @f @nj@D = 0 ; notons que sur le disque, la dérivée normale est simplement la dérivée par rapport à la variable radiale : @ @n = @ @r ). Les fonctions propres correspondantes sont données par : f (r; ) = fn;m(r; ) = Jn(kn;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Dirichlet) fN (r; ) = fN n;m(r; ) = Jn(k0 n;mr)(Acos(n ) + B sin(n )) (Neumann) où Jn est la fonction de Bessel de premier type d'ordre n, kn;m est son m- ième zéro et k0 n;m est le m-ième zéro de sa dérivée (ici on dénote les fonctions propres pour le problème de Dirichlet par f et celles pour le problème de Neumann par fN). Dans ce cas, on obtient que le spectre SpD( ) du laplacien sur D, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres, est donné par : SpD( ) = f : f = fg = fk2 n;m : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Dirichlet) SpN D( ) = f : fN = fNg = fk0 n;m 2 : n = 0; 1; 2; : : :m = 1; 2; : : :g (Neumann) En n, on impose que nos fonctions propres soient normalisées par rapport à la norme L2 sur D, c'est-à-dire : R D F2 da = 1 (à partir de maintenant on utilise F pour noter les fonctions propres normalisées et f pour les fonctions propres quelconques). Sous ces conditions, on s'intéresse à déterminer le taux de croissance de la norme L1 des fonctions propres normalisées, notée jjF jj1, selon . Il est vi important de mentionner que la norme L1 d'une fonction sur un domaine correspond au maximum de sa valeur absolue sur le domaine. Notons que dépend de deux paramètres, m et n et que la dépendance entre et la norme L1 dépendra du rapport entre leurs taux de croissance. L'étude du comportement de la norme L1 est étroitement liée à l'étude de l'ensemble E(D) qui est l'ensemble des points d'accumulation de log(jjF jj1)= log : Notre principal résultat sera de montrer que [7=36; 1=4] E(B2) [1=18; 1=4]: Le mémoire est organisé comme suit. L'introdution et les résultats principaux sont présentés au chapitre 1. Au chapitre 2, on rappelle quelques faits biens connus concernant les fonctions propres du laplacien sur le disque et sur les fonctions de Bessel. Au chapitre 3, on prouve des résultats concernant la croissance de la norme ponctuelle des fonctions propres. On montre notamment que, si m=n ! 0, alors pour tout point donné (r; ) du disque, la valeur de F (r; ) décroit exponentiellement lorsque ! 1. Au chapitre 4, on montre plusieurs résultats sur la croissance de la norme L1. Le probl ème avec conditions frontières de Neumann est discuté au chapitre 5 et on présente quelques résultats numériques au chapitre 6. Une brève discussion et un sommaire de notre travail se trouve au chapitre 7.

Lien entre les matrices de transfert de spins et de boucles du modèle de Potts sur le tore

Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée.

Disease, Disparities and Decision Making: Mandatory HIV Testing of Prospective Immigrants to Canada

Étude de cas / Case study

Méthode de simulation avec les variables antithétiques

Les fichiers qui accompagnent mon document ont été réalisés avec le logiciel Latex et les simulations ont été réalisés par Splus(R).

The interest rates and performance of MFIs in the MENA region: is there a moral issue?

Full Text / Article complet

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Systematic construction of models for the exchange hole of density functional theory.

Dans ce travail, nous étendons le nombre de conditions physiques actuellement con- nues du trou d’échange exact avec la dérivation de l’expansion de quatrième ordre du trou d’échange sphérique moyenne exacte. Nous comparons les expansions de deux- ième et de quatrième ordre avec le trou d’échange exact pour des systèmes atomiques et moléculaires. Nous avons constaté que, en général, l’expansion du quatrième ordre reproduit plus fidèlement le trou d’échange exact pour les petites valeurs de la distance interélectronique. Nous démontrons que les ensembles de base de type gaussiennes ont une influence significative sur les termes de cette nouvelle condition, en étudiant com- ment les oscillations causées par ces ensembles de bases affectent son premier terme. Aussi, nous proposons quatre modèles de trous d’échange analytiques auxquels nous imposons toutes les conditions actuellement connues du trou d’échange exact et la nou- velle présentée dans ce travail. Nous évaluons la performance des modèles en calculant des énergies d’échange et ses contributions à des énergies d’atomisation. On constate que les oscillations causeés par les bases de type gaussiennes peuvent compromettre la précision et la solution des modèles.