Étude comparative de la mémoire de source et des faux souvenirs dans la maladie d’Alzheimer et la maladie de Parkinson avec et sans démence

Dans les dernières années, les études sur les maladies neurodégénératives telles que la maladie d’Alzheimer (MA) et la maladie de Parkinson sans démence (MP) et avec démence (MPD) ont été nombreuses, mais la différenciation de ces patients sur la base de leur profil cognitif doit être encore améliorée. Effectivement, l’évaluation clinique peut s’avérer difficile en raison du peu de spécificité dans la présentation de leurs déficits neuropsychologiques. Ceci s’explique par la variabilité et le chevauchement des processus cliniques et pathologiques affectant essentiellement les mêmes régions/fonctions, soit celles liées aux lobes temporaux médians (LTM)/Mémoire (fonction LTM/Mémoire) et aux lobes frontaux (LF)/Fonctions exécutives (fonction LF/Exécutive). Toutefois, il existerait une distinction critique au niveau de l’intégrité relative de ces fonctions dans ces maladies neurodégénératives, ce qui permettrait d’identifier des déficits cognitifs spécifiques à la MA, la MP et la MPD. La présente thèse s’inscrit dans cette volonté de caractériser les profils cognitifs propres à la MA, la MP et la MPD, plus précisément par l’étude novatrice de la mémoire de source et des faux souvenirs. Les quatre chapitres qui composent cette thèse servent donc à documenter la nature de ces mécanismes mnésiques, leurs patrons de performance spécifiques dans la MA, la MP et la MPD, et leur sensibilité aux atteintes des fonctions LTM/Mémoire et LF/Exécutive. Ainsi, le Chapitre I démontre la pertinence d’étudier la mémoire de source et les faux souvenirs dans la MA, la MP et la MPD, en décrivant leurs interactions avec les fonctions LTM/Mémoire et LF/Exécutive, toutes les deux atteintes dans ces maladies. Le Chapitre II, présenté sous forme d’article, révèle des déficits en mémoire de source chez des patients MP, mais seulement dans l’une des tâches employées. Également, malgré des atteintes des fonctions LF/Exécutive et LTM/Mémoire, il est démontré que seule la fonction LTM/Mémoire est liée à l’altération de la mémoire de source chez les patients MP. Le Chapitre III, également sous forme d’article, illustre un taux anormal de faux souvenirs chez des patients MA, tandis que chez des patients MP et MPD, il est démontré qu’ils ont un taux de faux souvenirs comparable à celui des participants contrôles. Il est également rapporté que malgré l’atteinte de la fonction LF/Exécutive chez les patients MA, MP et MPD, elle est seulement liée à l’augmentation des faux souvenirs chez les patients MA. Finalement, dans le dernier Chapitre (IV), les résultats obtenus sont discutés dans leur ensemble à la lumière des prédictions et connaissances actuelles, tout en identifiant les limites afin d’orienter les perspectives de recherche.

Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture.

Efficient estimation using the characteristic function : theory and applications with high frequency data

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Searching for novel gene functions in yeast : identification of thousands of novel molecular interactions by protein-fragment complementation assay followed by automated gene function prediction and high-throughput lipidomics

La compréhension de processus biologiques complexes requiert des approches expérimentales et informatiques sophistiquées. Les récents progrès dans le domaine des stratégies génomiques fonctionnelles mettent dorénavant à notre disposition de puissants outils de collecte de données sur l’interconnectivité des gènes, des protéines et des petites molécules, dans le but d’étudier les principes organisationnels de leurs réseaux cellulaires. L’intégration de ces connaissances au sein d’un cadre de référence en biologie systémique permettrait la prédiction de nouvelles fonctions de gènes qui demeurent non caractérisées à ce jour. Afin de réaliser de telles prédictions à l’échelle génomique chez la levure Saccharomyces cerevisiae, nous avons développé une stratégie innovatrice qui combine le criblage interactomique à haut débit des interactions protéines-protéines, la prédiction de la fonction des gènes in silico ainsi que la validation de ces prédictions avec la lipidomique à haut débit. D’abord, nous avons exécuté un dépistage à grande échelle des interactions protéines-protéines à l’aide de la complémentation de fragments protéiques. Cette méthode a permis de déceler des interactions in vivo entre les protéines exprimées par leurs promoteurs naturels. De plus, aucun biais lié aux interactions des membranes n’a pu être mis en évidence avec cette méthode, comparativement aux autres techniques existantes qui décèlent les interactions protéines-protéines. Conséquemment, nous avons découvert plusieurs nouvelles interactions et nous avons augmenté la couverture d’un interactome d’homéostasie lipidique dont la compréhension demeure encore incomplète à ce jour. Par la suite, nous avons appliqué un algorithme d’apprentissage afin d’identifier huit gènes non caractérisés ayant un rôle potentiel dans le métabolisme des lipides. Finalement, nous avons étudié si ces gènes et un groupe de régulateurs transcriptionnels distincts, non préalablement impliqués avec les lipides, avaient un rôle dans l’homéostasie des lipides. Dans ce but, nous avons analysé les lipidomes des délétions mutantes de gènes sélectionnés. Afin d’examiner une grande quantité de souches, nous avons développé une plateforme à haut débit pour le criblage lipidomique à contenu élevé des bibliothèques de levures mutantes. Cette plateforme consiste en la spectrométrie de masse à haute resolution Orbitrap et en un cadre de traitement des données dédié et supportant le phénotypage des lipides de centaines de mutations de Saccharomyces cerevisiae. Les méthodes expérimentales en lipidomiques ont confirmé les prédictions fonctionnelles en démontrant certaines différences au sein des phénotypes métaboliques lipidiques des délétions mutantes ayant une absence des gènes YBR141C et YJR015W, connus pour leur implication dans le métabolisme des lipides. Une altération du phénotype lipidique a également été observé pour une délétion mutante du facteur de transcription KAR4 qui n’avait pas été auparavant lié au métabolisme lipidique. Tous ces résultats démontrent qu’un processus qui intègre l’acquisition de nouvelles interactions moléculaires, la prédiction informatique des fonctions des gènes et une plateforme lipidomique innovatrice à haut débit , constitue un ajout important aux méthodologies existantes en biologie systémique. Les développements en méthodologies génomiques fonctionnelles et en technologies lipidomiques fournissent donc de nouveaux moyens pour étudier les réseaux biologiques des eucaryotes supérieurs, incluant les mammifères. Par conséquent, le stratégie présenté ici détient un potentiel d’application au sein d’organismes plus complexes.

Rationalizability of Choice Functions on General Domains without Full Transitivity

The rationalizability of a choice function by means of a transitive relation has been analyzed thoroughly in the literature. However, not much seems to be known when transitivity is weakened to quasi-transitivity or acyclicity. We describe the logical relationships between the different notions of rationalizability involving, for example, the transitivity, quasi-transitivity, or acyclicity of the rationalizing relation. Furthermore, we discuss sufficient conditions and necessary conditions for rational choice on arbitrary domains. Transitive, quasi-transitive, and acyclical rationalizability are fully characterized for domains that contain all singletons and all two-element subsets of the universal set.

Efficient Strategy-Proof Allocation Functions in Linear Production Economies

In a linear production model, we characterize the class of efficient and strategy-proof allocation functions, and the class of efficient and coalition strategy-proof allocation functions. In the former class, requiring equal treatment of equals allows us to identify a unique allocation function. This function is also the unique member of the latter class which satisfies uniform treatment of uniforms.

Self-Selective Social Choice Functions

It is not uncommon that a society facing a choice problem has also to choose the choice rule itself. In such situation voters’ preferences on alternatives induce preferences over the voting rules. Such a setting immediately gives rise to a natural question concerning consistency between these two levels of choice. If a choice rule employed to resolve the society’s original choice problem does not choose itself when it is also used in choosing the choice rule, then this phenomenon can be regarded as inconsistency of this choice rule as it rejects itself according to its own rationale. Koray (2000) proved that the only neutral, unanimous universally self-selective social choice functions are the dictatorial ones. Here we in troduce to our society a constitution, which rules out inefficient social choice rules. When inefficient social choice rules become unavailable for comparison, the property of self-selectivity becomes weaker and we show that some non-trivial self-selective social choice functions do exist. Under certain assumptions on the constitution we describe all of them.

Hydrogen peroxide enhances the expression and function of Giα proteins in aortic vascular smooth muscle cells from Sprague-Dawley rats : role of growth factor receptors transactivation

Nous avons récemment démontré que les espèces réactives oxygénées induisent une augmentation de l’expression des protéines Giα dans les cellules du muscle lisse vasculaire (CMLV) provenant d’aortes de rats spontanément hypertendus (SHR, de l’anglais spontaneously hypertensive rats). La présente étude a pour but d’étudier les effets du peroxyde d’hydrogène (H2O2), un oxydant qui induit le stress oxydatif, sur l’expression de Giα et sur l’activité de l’adénylate cyclase, et d’explorer les voies de signalisation sous-jacentes responsables de cette réponse. Nos résultats montrent que H2O2 induit une augmentation de l’expression des protéines Giα-2 et Giα-3 de manière dose- et temps-dépendante avec une augmentation maximale de 40-50% à 100 µM après 1 heure, sans affecter l’expression de Gsα. L’expression des protéines Giα a été maintenue au niveau normal en presence de AG 1478, AG1295, PD98059 et la wortmannine, des inhibiteurs d’EGF-R (de l’anglais epidermal growth factor receptor), PDGFR-β (de l’anglais platelet-derived growth factor receptor β), de la voie de signalisation ras-ERK1/2 (de l’anglais extracellular regulated kinase1/2), et de la voie de la PI3Kinase-AKT (de l’anglais phosphatidyl inositol-3 kinase), respectivement. En outre, le traitement des CMLV avec H2O2 a induit une augmentation du degré de phosphorylation d’EGF-R, PDGF-R, ERK1/2 et AKT; et cette expression a été maintenue au niveau témoin par leurs inhibiteurs respectifs. Les inhibiteurs d’EGF-R et PDGF-R ont aussi induit une diminution du degré de phosphorylation de ERK1/2, et AKT/PKB. En outre, la transfection des cellules avec le siRNA (de l’anglais, small interfering ribonucleic acid) de EGF-R et PDGFR-β a atténué la surexpression des protéines Giα-2 et Giα-3 induite par le traitement au H2O2. La surexpression des protéines Giα induite par H2O2 a été corrélée avec une augmentation de la fonction de la protéine Giα. L’inhibition de l’activité de l’adénylate cyclase par de faibles concentrations de GTPγS après stimulation par la forskoline a augmenté de 20% dans les cellules traitées au H2O2. En outre, le traitement des CMLV au H2O2 a aussi accru l’inhibition de l’activité de l’adénylate cyclase par les hormones inhibitrices telles que l’angiotensine II, oxotrémorine et C-ANP4-23. D’autre part, la stimulation de l’adénylate cyclase induite par GTPγS, glucagon, isoprotérénol, forskoline, et le fluorure de sodium (NaF) a été atténuée de façon significative dans les cellules traitées au H2O2. Ces résultats suggèrent que H2O2 induit la surexpression des protéines Giα-2 and Giα-3 via la transactivation des récepteurs des facteurs de croissance EGF-R, PDGFR-β et l’activation des voies de signalisation ras-ERK1/2 et PI3K-AKT Mot-cles: Protéines Giα, peroxyde d’hydrogène, stress oxydant, récepteurs des facteurs de croissance, MAP kinases, adénylate cyclase, hypertension

Bcl-xL regulation and function in cell cycle checkpoints and progression

Quelques évidences suggèrent que Bcl-xL, un membre anti-apoptotique de la famille Bcl-2, possède également des fonctions au niveau du cycle cellulaire et de ses points-contrôle. Pour étudier la régulation et fonction de Bcl-xL au cours du cycle cellulaire, nous avons généré et exprimé dans des cellules humaines une série de mutants de phosphorylation incluant Thr41Ala, Ser43Ala, Thr47Ala, Ser49Ala, Ser56Ala, Ser62Ala et Thr115Ala. L'analyse de cette série de mutants révèle que les cellules exprimant Bcl-xL(Ser62Ala) sont moins stables au point-contrôle G2 du cycle cellulaire comparées aux cellules exprimant le type sauvage ou les autres mutants de phosphorylation incluant Thr41Ala, Ser43Ala, Thr47Ala, Ser56Ala et Thr115Ala. Les études de cinétiques de phosphorylation et de localisation de phospho-Bcl-xL(Ser62) dans des cellules synchronisées et suite à l'activation du point-contrôle en G2 médié par l'étoposide (VP16), nous indiquent que phospho-Bcl-xL(Ser62) migre dans les corps nucléolaires durant l'arrêt en G2 dans les cellules exposées au VP16. Une série d'expériences incluant des essais kinase in vitro, l'utilisation d'inhibiteurs pharmacologiques et d'ARN interférant, nous révèlent que Polo kinase 1 (PLK1) et MAPK9/JNK2 sont les protéines kinase impliquées dans la phosphorylation de Bcl-xL(Ser62), et pour son accumulation dans les corps nucléolaires pendant le point-contrôle en G2. Nos résultats indiquent que durant le point-contrôle en G2, phospho-Bcl-xL(Ser62) se lie et se co-localise avec CDK1(CDC2), le complexe cycline-kinase qui contrôle l'entrée en mitose. Nos résultats suggèrent que dans les corps nucléolaires, phospho-Bcl-xL(Ser62) stabilise l'arrêt en G2 en séquestrant CDK1(CDC2) pour retarder l'entrée en mitose. Ces résultats soulignent également que les dommages à l'ADN influencent la composition des corps nucléolaires, structure nucléaire qui émerge maintenant comme une composante importante de la réponse aux dommages à l'ADN. Dans une deuxième étude, nous décrivons que les cellules exprimant le mutant de phosphorylation Bcl-xL(Ser62Ala) sont également plus stables au point-contrôle de l'assemblage du fuseau de la chromatine (SAC) suite à une exposition au taxol, comparées aux cellules exprimant le type sauvage ou d'autres mutants de phosphorylation de Bcl-xL, incluant Thr41Ala, Ser43Ala, Thr47Ala, Ser56Ala. Cet effet est indépendent de la fonction anti-apoptotique de Bcl-xL. Bcl-xL(Ser62) est fortement phosphorylé par PLK1 et MAPK14/SAPKp38α à la prométaphase, la métaphase et à la frontière de l'anaphase, et déphosphorylé à la télophase et la cytokinèse. Phospho-Bcl-xL(Ser62) se trouve dans les centrosomes avec γ-tubuline, le long du fuseau mitotique avec la protéine moteure dynéine et dans le cytosol mitotique avec des composantes du SAC. Dans des cellules exposées au taxol, phospho-Bcl-xL(Ser62) se lie au complexe inhibiteur CDC20/MAD2/BUBR1/BUB3, alors que le mutant Bcl-xL(Ser62Ala) ne se lie pas à ce complexe. Ces résultats indiquent que durant le SAC, la phosphorylation de Bcl-xL(Ser62) accélère la résolution du SAC et l'entrée des cellules en anaphase. Des expériences bloquant l'expression de Bcl-xL révèlent ègalement un taux très élevé de cellules tétraploïdes et binuclées après un traitement au nocodazole, consistant avec une fonction de Bcl-xL durant la mitose et dans la stabilité génomique. Dans la troisième étude, l'analyse fonctionnelle de cette série de mutants de phosphorylation indique également que les cellules exprimant Bcl-xL(Ser49Ala) sont moins stables durant le point-contrôle G2 et entre en cytokinèse plus lentement dans des cellules exposées aux inhibiteurs de la polymérisation/dépolymérisation des tubulines, composantes des microtubules. Ces effets de Bcl-xL(Ser49Ala) sont indépendents de sa fonction anti-apoptotique. La phosphorylation de Bcl-xL(Ser49) est dynamique au cours du cycle cellulaire. Dans des cellules synchronisées, Bcl-xL(Ser49) est phosphorylé en phase S et G2, déphosphorylé à la prométaphase, la métaphase et à la frontière de l'anaphase, et re-phosphorylé durant la télophase et la cytokinèse. Au cours du point-contrôle G2 induit par les dommages à l'ADN, un pool important de phospho-Bcl-xL(Ser49) se trouve aux centrosomes, un site important pour la régulation de l'entrée en mitose. Durant la télophase et la cytokinèse, phospho-Bcl-xL(Ser49) se trouve le long des microtubules avec la protéine moteure dynéine et dans le cytosol mitotique. Finalement, nos résultats suggèrent que PLK3 est responsable de la phosphorylation de Bcl-xL(Ser49), une protéine kinase impliquée pour l'entrée des cellules en mitose et pour la progression de la mitose jusqu'à la division cellulaire.

Structural aspects of the ribosome evolution and function

Les résultats ont été obtenus avec le logiciel "Insight-2" de Accelris (San Diego, CA)

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.

Role of EFNBs and EphB4 in T cell development and function

Eph kinases are the largest family of cell surface receptor tyrosine kinases. The ligands of Ephs, ephrins (EFNs), are also cell surface molecules. Ephs interact with EFNs and the receptors and ligands transmit signals in both directions, i.e., from Ephs to EFNs and from EFNs to Ephs. Ephs and EFNs are widely involved in various developmental, physiological pathophysiological processes. Our group and others have reported the roles of Ephs/EFNs in the immune system. To further investigate the function of EphBs/EFNBs in T cell development and responses, we generated EFNB1, EFNB2, EphB4 conditional gene knockout (KO) mice and EFNB1/2 double KO mice. In the projects using EFNB1 and EFNB2 knockout mice, we specifically deleted EFNB1 or EFNB2 in T cells. The mice had normal size and cellularity of the thymus and spleen as well as normal T cell subpopulations in these organs. The bone marrow progenitors from KO mice and WT mice repopulated the host lymphoid organs to similar extents. The activation and proliferation of KO T cells was comparable to that of control mice. Naïve KO CD4 cells differentiated into Th1, Th2, Th17 and Treg cells similar to naïve control CD4 cells. In EFNB2 KO mice, we observed a significant relative increase of CD4CD8 double negative thymocytes in the thymus. Flowcytometry analysis revealed that there was a moderate increase in the DN3 subpopulation in the thymus. This suggests that EFNB2 is involved in thymocyte development. Our results indicate that the functions of EFNB1 and EFNB2 in the T cell compartment could be compensated by each other or by other members of the EFN family, and that such redundancy safeguards the pivotal roles of EFNB1 and EFNB2 in T cell development and function. In the project using EFNB1/B2 double knockout (dKO) model, we revealed a novel regulatory function of EFNb1 and EFNb2 in stabilizing IL-7Rα expression on the T cell surface. IL-7 plays important roles in thymocyte development, T cell homeostasis and survival. IL-7Rα undergoes internalization upon IL-7 binding. In the dKO mice, we observed reduced IL-7Rα expression in thymocytes and T cells. Moreover, the IL-7Rα internalization was accelerated in dKO CD4 cells upon IL-7 stimulation. In T cell lymphoma cell line, EL4, over-expression of either EFNB1 or EFNB2 retarded the internalization of IL-7Rα. We further demonstrated compromised IL-7 signaling and homeostatic proliferation of dKO T cells. Mechanism study using fluorescence resonance energy transfer and immunoprecipitation demonstrated that physical interaction of EFNB1 and EFNB2 with IL-7Rα was likely responsible for the retarded IL-7Rα internalization. In the last project, using medullary thymic epithelial cell (mTEC)-specific EphB4 knockout mice, we investigated T cell development and function after EphB4 deletion in mTEC. EphB4 KO mice demonstrated normal thymic weight and cellularity. T cell development and function were not influenced by the EphB4 deletion. Lastly, the KO mice developed normal delayed type hypersensitivity. Overall, our results suggest that comprehensive cross interaction between Eph and EFN family members could compensate function of a given deleted member in the T cell development, and only simultaneous deletion of multiple EFNBs will reveal their true function in the immune system. In fact, such redundancy signifies vital roles of Ephs and EFNs in the immune system.

Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Sur une classe de structures kählériennes généralisées toriques

Cette thèse concerne le problème de trouver une notion naturelle de «courbure scalaire» en géométrie kählérienne généralisée. L'approche utilisée consiste à calculer l'application moment pour l'action du groupe des difféomorphismes hamiltoniens sur l'espace des structures kählériennes généralisées de type symplectique. En effet, il est bien connu que l'application moment pour la restriction de cette action aux structures kählériennes s'identifie à la courbure scalaire riemannienne. On se limite à une certaine classe de structure kählériennes généralisées sur les variétés toriques notée $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ que l'on reconnaît comme étant classifiées par la donnée d'une matrice antisymétrique $C$ et d'une fonction réelle strictement convexe $\tau$ (ayant un comportement adéquat au voisinage de la frontière du polytope moment). Ce point de vue rend évident le fait que toute structure kählérienne torique peut être déformée en un élément non kählérien de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$, et on note que cette déformation à lieu le long d'une des classes que R. Goto a démontré comme étant libre d'obstruction. On identifie des conditions suffisantes sur une paire $(\tau,C)$ pour qu'elle donne lieu à un élément de $DGK_{\omega}^{\mathbb{T}}(M)$ et on montre qu'en dimension 4, ces conditions sont également nécessaires. Suivant l'adage «l'application moment est la courbure» mentionné ci-haut, des formules pour des notions de «courbure scalaire hermitienne généralisée» et de «courbure scalaire riemannienne généralisée» (en dimension 4) sont obtenues en termes de la fonction $\tau$. Enfin, une expression de la courbure scalaire riemannienne généralisée en termes de la structure bihermitienne sous-jacente est dégagée en dimension 4. Lorsque comparée avec le résultat des physiciens Coimbra et al., notre formule suggère un choix canonique pour le dilaton de leur théorie.

Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.