L'enseignement des identités remarquables : un dispositif de formation initiale des maîtres

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Propriétés algébriques d'une algèbre de convolution

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.

Échantillonnage basé sur les Tuiles de Penrose et applications en infographie

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Surfaces de Riemann compactes et formule de trace d'Eichler

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes.

Développement et évaluation d’un environnement informatisé d’apprentissage pour faciliter l’intégration des sciences et de la technologie

Par cette recherche, nous voulons évaluer de manière exhaustive les bénéfices qu’apporte l’ExAO (Expérimentation Assistée par Ordinateur) dans les laboratoires scolaires de sciences et technologie au Liban. Nous aimerions aussi qu’elle contribue d’une manière tangible aux recherches du laboratoire de Robotique Pédagogique de l’Université de Montréal, notamment dans le développement du µlaboratoire ExAO. Nous avons voulu tester les capacités de l’ExAO, son utilisation en situation de classe comme : 1. Substitut d’un laboratoire traditionnel dans l’utilisation de la méthode expérimentale; 2. Outil d’investigation scientifique; 3. Outil d’intégration des sciences expérimentales et des mathématiques; 4. Outil d’intégration des sciences expérimentales, des mathématiques et de la technologie dans un apprentissage technoscientifique; Pour ce faire, nous avons mobilisé 13 groupe-classes de niveaux complémentaire et secondaire, provenant de 10 écoles libanaises. Nous avons désigné leurs enseignants pour expérimenter eux-mêmes avec leurs étudiants afin d’évaluer, de manière plus réaliste les avantages d’implanter ce micro laboratoire informatisé à l’école. Les différentes mise à l’essai, évaluées à l’aide des résultats des activités d’apprentissage réalisées par les étudiants, de leurs réponses à un questionnaire et des commentaires des enseignants, nous montrent que : 1. La substitution d’un laboratoire traditionnel par un µlaboratoire ExAO ne semble pas poser de problème; dix minutes ont suffi aux étudiants pour se familiariser avec cet environnement, mentionnant que la rapidité avec laquelle les données étaient représentées sous forme graphique était plus productive. 2. Pour l’investigation d’un phénomène physique, la convivialité du didacticiel associée à la capacité d’amplifier le phénomène avant de le représenter graphiquement a permis aux étudiants de concevoir et de mettre en œuvre rapidement et de manière autonome, une expérimentation permettant de vérifier leur prédiction. 3. L’intégration des mathématiques dans une démarche expérimentale permet d’appréhender plus rapidement le phénomène. De plus, elle donne un sens aux représentations graphiques et algébriques, à l’avis des enseignants, permettant d’utiliser celle-ci comme outil cognitif pour interpréter le phénomène. 4. La démarche réalisée par les étudiants pour concevoir et construire un objet technologique, nous a montré que cette activité a été réalisée facilement par l’utilisation des capteurs universels et des amplificateurs à décalage de l’outil de modélisation graphique ainsi que la capacité du didacticiel à transformer toute variable mesurée par une autre variable (par exemple la variation de résistance en variation de température, …). Cette activité didactique nous montre que les étudiants n’ont eu aucune difficulté à intégrer dans une même activité d’apprentissage les mathématiques, les sciences expérimentales et la technologie, afin de concevoir et réaliser un objet technologique fonctionnel. µlaboratoire ExAO, en offrant de nouvelles possibilités didactiques, comme la capacité de concevoir, réaliser et valider un objet technologique, de disposer pour ce faire, des capacités nouvelles pour amplifier les mesures, modéliser les phénomènes physiques, créer de nouveaux capteurs, est un ajout important aux expériences actuellement réalisées en ExAO.

Problème centre-foyer et application

Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies.

The relationship between product design and business models in the context of sustainability

Dans les sphères du développement durable, des modèles d’affaires et du design de produit, certains leviers rendent le croisement de ces trois sphères de plus en plus pertinent. Au croisement de ces trois sphères se trouve une opportunité de comprendre les relations existantes entre le design de produit et les modèles d’affaires afin d’aider les décideurs à développer des solutions davantage durables. L’approche méthodologique de cette recherche utilise un système complexe et est basée sur un paradigme pragmatique. En vue de répondre à la question « Dans quelle mesure des modèles d’affaires et le design de produit sont liés dans un contexte de développement durable? », cette recherche a soigneusement analysé trois cas: Better Place, une compagnie californienne ayant développé une infrastructure permettant le chargement des voitures électriques; Interface Inc., un manufacturier mondial de tuiles de tapis commerciales établi à Atlanta; et Métacycle, un concept d’entreprise développé par une équipe de chercheurs en design à Montréal. Chaque cas a été analysé en corrélant des aspects du design de produit à des éléments de leur modèle d’affaires. Les résultats montrent que dans le contexte du développement durable, le design de produit et les modèles d’affaires sont interdépendants. Les résultats peuvent être résumés en six points: il existe des relations applicables universellement; les innovations de design substantielles jouent un rôle important dans le développement durable; la « durabilité » peut être une qualité émergente d’un modèle d’affaires; les partenariats peuvent être vitaux pour l’intégration des systèmes; un modèle de services a des bénéfices et des limitations considérables; le design peut agir comme levier à l’utilisation d’énergies renouvelables. Pratiquer simultanément l’innovation du modèle d’affaires et du produit peut apporter une valeur ajoutée, susciter des opportunités et augmenter l’efficience sur plusieurs facettes. Toutefois, les risques et les coûts de tels procédés sont souvent très élevés. En aidant à comprendre et définir comment les trois sphères mentionnées plus tôt sont interdépendantes, cette recherche pourrait idéalement inspirer des recherches supplémentaires sur le sujet. L’application par des organisations de la méthodologie et des apprentissages résultant de cette recherche peut permettre à d’autres d’utiliser le croisement entre l’innovation de produit et l’innovation du modèle d’affaires afin de résoudre des enjeux sociaux et environnementaux complexes.

Sur la répartition des unités dans les corps quadratiques réels

Ce mémoire s'emploie à étudier les corps quadratiques réels ainsi qu'un élément particulier de tels corps quadratiques réels : l'unité fondamentale. Pour ce faire, le mémoire commence par présenter le plus clairement possible les connaissances sur différents sujets qui sont essentiels à la compréhension des calculs et des résultats de ma recherche. On introduit d'abord les corps quadratiques ainsi que l'anneau de ses entiers algébriques et on décrit ses unités. On parle ensuite des fractions continues puisqu'elles se retrouvent dans un algorithme de calcul de l'unité fondamentale. On traite ensuite des formes binaires quadratiques et de la formule du nombre de classes de Dirichlet, laquelle fait intervenir l'unité fondamentale en fonction d'autres variables. Une fois cette tâche accomplie, on présente nos calculs et nos résultats. Notre recherche concerne la répartition des unités fondamentales des corps quadratiques réels, la répartition des unités des corps quadratiques réels et les moments du logarithme de l'unité fondamentale. (Le logarithme de l'unité fondamentale est appelé le régulateur.)

Complexité raffinée du problème d'intersection d'automates

Le problème d'intersection d'automates consiste à vérifier si plusieurs automates finis déterministes acceptent un mot en commun. Celui-ci est connu PSPACE-complet (resp. NL-complet) lorsque le nombre d'automates n'est pas borné (resp. borné par une constante). Dans ce mémoire, nous étudions la complexité du problème d'intersection d'automates pour plusieurs types de langages et d'automates tels les langages unaires, les automates à groupe (abélien), les langages commutatifs et les langages finis. Nous considérons plus particulièrement le cas où chacun des automates possède au plus un ou deux états finaux. Ces restrictions permettent d'établir des liens avec certains problèmes algébriques et d'obtenir une classification intéressante de problèmes d'intersection d'automates à l'intérieur de la classe P. Nous terminons notre étude en considérant brièvement le cas où le nombre d'automates est fixé.

Complexité des homomorphismes de graphes avec listes

Les problèmes de satisfaction de contraintes, qui consistent à attribuer des valeurs à des variables en respectant un ensemble de contraintes, constituent une large classe de problèmes naturels. Pour étudier la complexité de ces problèmes, il est commode de les voir comme des problèmes d'homomorphismes vers des structures relationnelles. Un axe de recherche actuel est la caractérisation des classes de complexité auxquelles appartient le problème d'homomorphisme, ceci dans la perspective de confirmer des conjectures reliant les propriétés algébriques des structures relationelles à la complexité du problème d'homomorphisme. Cette thèse propose dans un premier temps la caractérisation des digraphes pour lesquels le problème d'homomorphisme avec listes appartient à FO. On montre également que dans le cas du problèmes d'homomorphisme avec listes sur les digraphes télescopiques, les conjectures reliant algèbre et complexité sont confirmées. Dans un deuxième temps, on caractérise les graphes pour lesquels le problème d'homomorphisme avec listes est résoluble par cohérence d'arc. On introduit la notion de polymorphisme monochromatique et on propose un algorithme simple qui résoud le problème d'homomorphisme avec listes si le graphe cible admet un polymorphisme monochromatique TSI d'arité k pour tout k ≥ 2.

A Categorical Framework for the Specification and the Verification of Aspect Oriented Systems

Un objectif principal du génie logiciel est de pouvoir produire des logiciels complexes, de grande taille et fiables en un temps raisonnable. La technologie orientée objet (OO) a fourni de bons concepts et des techniques de modélisation et de programmation qui ont permis de développer des applications complexes tant dans le monde académique que dans le monde industriel. Cette expérience a cependant permis de découvrir les faiblesses du paradigme objet (par exemples, la dispersion de code et le problème de traçabilité). La programmation orientée aspect (OA) apporte une solution simple aux limitations de la programmation OO, telle que le problème des préoccupations transversales. Ces préoccupations transversales se traduisent par la dispersion du même code dans plusieurs modules du système ou l’emmêlement de plusieurs morceaux de code dans un même module. Cette nouvelle méthode de programmer permet d’implémenter chaque problématique indépendamment des autres, puis de les assembler selon des règles bien définies. La programmation OA promet donc une meilleure productivité, une meilleure réutilisation du code et une meilleure adaptation du code aux changements. Très vite, cette nouvelle façon de faire s’est vue s’étendre sur tout le processus de développement de logiciel en ayant pour but de préserver la modularité et la traçabilité, qui sont deux propriétés importantes des logiciels de bonne qualité. Cependant, la technologie OA présente de nombreux défis. Le raisonnement, la spécification, et la vérification des programmes OA présentent des difficultés d’autant plus que ces programmes évoluent dans le temps. Par conséquent, le raisonnement modulaire de ces programmes est requis sinon ils nécessiteraient d’être réexaminés au complet chaque fois qu’un composant est changé ou ajouté. Il est cependant bien connu dans la littérature que le raisonnement modulaire sur les programmes OA est difficile vu que les aspects appliqués changent souvent le comportement de leurs composantes de base [47]. Ces mêmes difficultés sont présentes au niveau des phases de spécification et de vérification du processus de développement des logiciels. Au meilleur de nos connaissances, la spécification modulaire et la vérification modulaire sont faiblement couvertes et constituent un champ de recherche très intéressant. De même, les interactions entre aspects est un sérieux problème dans la communauté des aspects. Pour faire face à ces problèmes, nous avons choisi d’utiliser la théorie des catégories et les techniques des spécifications algébriques. Pour apporter une solution aux problèmes ci-dessus cités, nous avons utilisé les travaux de Wiels [110] et d’autres contributions telles que celles décrites dans le livre [25]. Nous supposons que le système en développement est déjà décomposé en aspects et classes. La première contribution de notre thèse est l’extension des techniques des spécifications algébriques à la notion d’aspect. Deuxièmement, nous avons défini une logique, LA , qui est utilisée dans le corps des spécifications pour décrire le comportement de ces composantes. La troisième contribution consiste en la définition de l’opérateur de tissage qui correspond à la relation d’interconnexion entre les modules d’aspect et les modules de classe. La quatrième contribution concerne le développement d’un mécanisme de prévention qui permet de prévenir les interactions indésirables dans les systèmes orientés aspect.

Exposants géométriques des modèles de boucles dilués et idempotents des TL-modules de la chaîne de spins XXZ

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent.

Automates à contraintes semilinéaires = Automata with a semilinear constraint

Cette thèse présente une étude dans divers domaines de l'informatique théorique de modèles de calculs combinant automates finis et contraintes arithmétiques. Nous nous intéressons aux questions de décidabilité, d'expressivité et de clôture, tout en ouvrant l'étude à la complexité, la logique, l'algèbre et aux applications. Cette étude est présentée au travers de quatre articles de recherche. Le premier article, Affine Parikh Automata, poursuit l'étude de Klaedtke et Ruess des automates de Parikh et en définit des généralisations et restrictions. L'automate de Parikh est un point de départ de cette thèse; nous montrons que ce modèle de calcul est équivalent à l'automate contraint que nous définissons comme un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque transition est empruntée répond à une contrainte arithmétique. Ce modèle est naturellement étendu à l'automate de Parikh affine qui effectue une opération affine sur un ensemble de registres lors du franchissement d'une transition. Nous étudions aussi l'automate de Parikh sur lettres: un automate qui n'accepte un mot que si le nombre de fois que chaque lettre y apparaît répond à une contrainte arithmétique. Le deuxième article, Bounded Parikh Automata, étudie les langages bornés des automates de Parikh. Un langage est borné s'il existe des mots w_1, w_2, ..., w_k tels que chaque mot du langage peut s'écrire w_1...w_1w_2...w_2...w_k...w_k. Ces langages sont importants dans des domaines applicatifs et présentent usuellement de bonnes propriétés théoriques. Nous montrons que dans le contexte des langages bornés, le déterminisme n'influence pas l'expressivité des automates de Parikh. Le troisième article, Unambiguous Constrained Automata, introduit les automates contraints non ambigus, c'est-à-dire pour lesquels il n'existe qu'un chemin acceptant par mot reconnu par l'automate. Nous montrons qu'il s'agit d'un modèle combinant une meilleure expressivité et de meilleures propriétés de clôture que l'automate contraint déterministe. Le problème de déterminer si le langage d'un automate contraint non ambigu est régulier est montré décidable. Le quatrième article, Algebra and Complexity Meet Contrained Automata, présente une étude des représentations algébriques qu'admettent les automates contraints et les automates de Parikh affines. Nous déduisons de ces caractérisations des résultats d'expressivité et de complexité. Nous montrons aussi que certaines hypothèses classiques en complexité computationelle sont reliées à des résultats de séparation et de non clôture dans les automates de Parikh affines. La thèse est conclue par une ouverture à un possible approfondissement, au travers d'un certain nombre de problèmes ouverts.

Analyse de groupe d’un modèle de la plasticité idéale planaire et sur les solutions en termes d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite.