5 resultados para Systems and Information Theory
em Université de Montréal, Canada
Resumo:
La thorie de l'information quantique tudie les limites fondamentales qu'imposent les lois de la physique sur les tches de traitement de donnes comme la compression et la transmission de donnes sur un canal bruit. Cette thse prsente des techniques gnrales permettant de rsoudre plusieurs problmes fondamentaux de la thorie de l'information quantique dans un seul et mme cadre. Le thorme central de cette thse nonce l'existence d'un protocole permettant de transmettre des donnes quantiques que le receveur connat dj partiellement l'aide d'une seule utilisation d'un canal quantique bruit. Ce thorme a de plus comme corollaires immdiats plusieurs thormes centraux de la thorie de l'information quantique. Les chapitres suivants utilisent ce thorme pour prouver l'existence de nouveaux protocoles pour deux autres types de canaux quantiques, soit les canaux de diffusion quantiques et les canaux quantiques avec information supplmentaire fournie au transmetteur. Ces protocoles traitent aussi de la transmission de donnes quantiques partiellement connues du receveur l'aide d'une seule utilisation du canal, et ont comme corollaires des versions asymptotiques avec et sans intrication auxiliaire. Les versions asymptotiques avec intrication auxiliaire peuvent, dans les deux cas, tre considres comme des versions quantiques des meilleurs thormes de codage connus pour les versions classiques de ces problmes. Le dernier chapitre traite d'un phnomne purement quantique appel verrouillage: il est possible d'encoder un message classique dans un tat quantique de sorte qu'en lui enlevant un sous-systme de taille logarithmique par rapport sa taille totale, on puisse s'assurer qu'aucune mesure ne puisse avoir de corrlation significative avec le message. Le message se trouve donc verrouill par une cl de taille logarithmique. Cette thse prsente le premier protocole de verrouillage dont le critre de succs est que la distance trace entre la distribution jointe du message et du rsultat de la mesure et le produit de leur marginales soit suffisamment petite.
Resumo:
Dans cette thse lancienne question philosophique tout vnement a-t-il une cause ? sera examine la lumire de la mcanique quantique et de la thorie des probabilits. Aussi bien en physique quen philosophie des sciences la position orthodoxe maintient que le monde physique est indterministe. Au niveau fondamental de la ralit physique au niveau quantique les vnements se passeraient sans causes, mais par chance, par hasard irrductible. Le thorme physique le plus prcis qui mne cette conclusion est le thorme de Bell. Ici les prmisses de ce thorme seront rexamines. Il sera rappel que dautres solutions au thorme que lindterminisme sont envisageables, dont certaines sont connues mais ngliges, comme le superdterminisme. Mais il sera argu que dautres solutions compatibles avec le dterminisme existent, notamment en tudiant des systmes physiques modles. Une des conclusions gnrales de cette thse est que linterprtation du thorme de Bell et de la mcanique quantique dpend crucialement des prmisses philosophiques desquelles on part. Par exemple, au sein de la vision dun Spinoza, le monde quantique peut bien tre compris comme tant dterministe. Mais il est argu quaussi un dterminisme nettement moins radical que celui de Spinoza nest pas limin par les expriences physiques. Si cela est vrai, le dbat dterminisme indterminisme nest pas dcid au laboratoire : il reste philosophique et ouvert contrairement ce que lon pense souvent. Dans la deuxime partie de cette thse un modle pour linterprtation de la probabilit sera propos. Une tude conceptuelle de la notion de probabilit indique que lhypothse du dterminisme aide mieux comprendre ce que cest quun systme probabiliste. Il semble que le dterminisme peut rpondre certaines questions pour lesquelles lindterminisme na pas de rponses. Pour cette raison nous conclurons que la conjecture de Laplace savoir que la thorie des probabilits prsuppose une ralit dterministe sous-jacente garde toute sa lgitimit. Dans cette thse aussi bien les mthodes de la philosophie que de la physique seront utilises. Il apparat que les deux domaines sont ici solidement relis, et quils offrent un vaste potentiel de fertilisation croise donc bidirectionnelle.
Resumo:
La thorie de l'information quantique s'est dveloppe une vitesse fulgurante au cours des vingt dernires annes, avec des analogues et extensions des thormes de codage de source et de codage sur canal bruit pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexit de la communication a t dvelopp, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impratif d'utiliser les ressources quantiques leur plein potentiel. Dans cette thse, nous tudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la thorie de l'information et tudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruit. Le cadre considr est celui de la complexit de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantit de communication change, sans gard au cot des calculs locaux. Nos rsultats sont spars en trois chapitres distincts, qui sont organiss de sorte ce que chacun puisse tre lu indpendamment. tant donn le rle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est ddi l'tude de la tche de la redistribution d'tat quantique. Nous prouvons des bornes infrieures sur les cots de communication ncessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons galement des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subsquent, nous dfinissons une nouvelle notion de complexit de l'information quantique. Celle-ci caractrise la quantit d'information, plutt que de communication, qu'Alice et Bob doivent changer pour calculer une tche bipartie. Nous prouvons beaucoup de proprits structurelles pour cette quantit, et nous lui donnons une interprtation oprationnelle en tant que complexit de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entres classiques, nous donnons une autre caractrisation permettant de quantifier le cot encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont prsentes: le premier rsultat gnral de somme directe pour la complexit de la communication quantique plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, un terme polylogarithmique prs, pour la complexit de la communication quantique avec un nombre de rondes limit pour la fonction ensembles disjoints . Dans un chapitre final, nous initions l'tude de la capacit interactive quantique pour les canaux bruits. tant donn que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien tudies, nous nous concentrons sur un modle avec intrication pralable parfaite et communication classique bruite. Nous dmontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolrer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit alatoire ayant une capacit positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacit positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos rsultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une thorie de l'information quantique interactive.
Resumo:
Gowers, dans son article sur les matrices quasi-alatoires, tudie la question, pose par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possde un sous-ensemble sans produit de taille suprieure ou gale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre not $n$) ne possde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y rpond par la ngative. Nous allons considrer le problme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particulirement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premire partie de cette thse est ddie l'obtention de bornes infrieures et suprieures exponentielles pour la mesure suprmale des ensembles sans produit. La preuve ncessite d'tablir pralablement une borne infrieure sur la dimension des reprsentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre thorme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considrent le degr minimal des reprsentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thse trait la thorie algbrique des nombres. Un polynome monogne $f$ est un polynome unitaire irrductible coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogne. Pour un nombre premier $q$ donn, nous allons montrer, en utilisant le thorme de densit de Tchebotariov, que la densit des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogne est suprieure ou gale $(q-1)/q$. Nous allons galement dmontrer que, quand $q=3$, la densit des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogne est suprieure ou gale $1/9$.
Resumo:
Dans cette thse, nous tudions quelques problmes fondamentaux en mathmatiques financires et actuarielles, ainsi que leurs applications. Cette thse est constitue de trois contributions portant principalement sur la thorie de la mesure de risques, le problme de lallocation du capital et la thorie des fluctuations. Dans le chapitre 2, nous construisons de nouvelles mesures de risque cohrentes et tudions lallocation de capital dans le cadre de la thorie des risques collectifs. Pour ce faire, nous introduisons la famille des "mesures de risque entropique cumulatifs" (Cumulative Entropic Risk Measures). Le chapitre 3 tudie le problme du portefeuille optimal pour le Entropic Value at Risk dans le cas o les rendements sont modliss par un processus de diffusion sauts (Jump-Diffusion). Dans le chapitre 4, nous gnralisons la notion de "statistiques naturelles de risque" (natural risk statistics) au cadre multivari. Cette extension non-triviale produit des mesures de risque multivaries construites partir des donnes financires et de donnes dassurance. Le chapitre 5 introduit les concepts de "drawdown" et de la "vitesse dpuisement" (speed of depletion) dans la thorie de la ruine. Nous tudions ces concepts pour des modeles de risque dcrits par une famille de processus de Lvy spectrallement ngatifs.
