Temps de Branchement du Mouvement Brownien Branchant Inhomogène

Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future.