Partitions spectrales optimales pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet et de Neumann

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

Stratégies intermédiales et autoreprésentation dans l'oeuvre littéraire et les dessins-partitions d'Unica Zürn

Par son recours à diverses formes d’expression, Unica Zürn (1916-1970) redynamise l’espace de la feuille en le faisant activement participer à l’écriture de soi. Le « je » semble en effet se démultiplier grâce à des jeux « anagrammatiques » sur les divers signes mobilisés, qu’ils soient alphabétiques, picturaux ou musicaux. L’autoreprésentation s’inscrit alors au sein d’une œuvre pluridisciplinaire inusitée, qui renouvelle l’esthétique quelque peu « essoufflée » du mouvement surréaliste. Cette attitude vis-à-vis de la feuille, où plusieurs signes « décomposables » et « recomposables » se partagent l’espace, est observable tant dans l’œuvre littéraire que picturale d’Unica Zürn. Le processus de création par la lettre, le trait et la note de musique, tend à revaloriser le support matériel utilisé par l’effacement des frontières entre les disciplines artistiques, qui appelle un regard distancié du lecteur/spectateur sur l’œuvre. Afin d’interpréter les travaux de Zürn dans la pluralité des moyens artistiques qui y sont déployés, l’approche intermédiale sera favorisée. Dans le premier chapitre de ce mémoire, il s’agira d’abord de voir comment s’articule un certain dialogue entre le discours des chercheurs de l’intermédialité et l’œuvre d’Unica Zürn. Le rapport à l’objet sera notre porte d’entrée dans la matière intermédiale. Par un retour à la matérialité de l’expérience médiatique, nous constaterons que Zürn met à l’avant-scène les instruments et supports de la création, ce qui mène à une représentation distorsionnée de soi, de l’espace et du temps. Une fois le parallèle établi entre les concepts de l’intermédialité et les travaux de Zürn, nous nous concentrerons sur le pan musical de l’œuvre pluridisciplinaire de l’auteure-artiste. Le second chapitre traitera de l’intrusion du sonore dans l’univers textuel, qui se fera notamment par la réappropriation de l’opéra Norma, de Vincenzo Bellini. Cette réécriture s’intitule Les jeux à deux et prend une distance considérable par rapport au texte originel. Elle s’accompagne de dessins effectués par l’auteure-artiste à même les partitions de l’opéra. Le regard multiple posé sur l’œuvre zürnienne permettra de comprendre que l’écriture palimpseste participe du processus d’autoreprésentation, tout en élaborant un discours sur la rencontre entre littérature, dessin et musique, ainsi que sur l’influence de cette juxtaposition sur le débordement des frontières médiatiques traditionnelles.

Some Applications of Markov Additive Processes as Models in Insurance and Financial Mathematics

Cette thèse est principalement constituée de trois articles traitant des processus markoviens additifs, des processus de Lévy et d'applications en finance et en assurance. Le premier chapitre est une introduction aux processus markoviens additifs (PMA), et une présentation du problème de ruine et de notions fondamentales des mathématiques financières. Le deuxième chapitre est essentiellement l'article "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" écrit en collaboration avec Manuel Morales et publié dans la revue European Actuarial Journal. Cet article étudie le problème de ruine pour un processus de risque markovien additif. Une identification de systèmes de Lévy est obtenue et utilisée pour donner une expression de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée lorsque le PMA est un processus de Lévy avec changement de régimes. Celle-ci est une généralisation des résultats existant dans la littérature pour les processus de risque de Lévy et les processus de risque markoviens additifs avec sauts "phase-type". Le troisième chapitre contient l'article "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" qui est soumis pour publication. Cet article présente une extension de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée pour un processus subordinateur de risque perturbé par un mouvement brownien. Cette extension contient une série de fonctions escomptée éspérée des minima successives dus aux sauts du processus de risque après la ruine. Celle-ci a des applications importantes en gestion de risque et est utilisée pour déterminer la valeur espérée du capital d'injection actualisé. Finallement, le quatrième chapitre contient l'article "The Minimal entropy martingale measure (MEMM) for a Markov-modulated exponential Lévy model" écrit en collaboration avec Romuald Hervé Momeya et publié dans la revue Asia-Pacific Financial Market. Cet article présente de nouveaux résultats en lien avec le problème de l'incomplétude dans un marché financier où le processus de prix de l'actif risqué est décrit par un modèle exponentiel markovien additif. Ces résultats consistent à charactériser la mesure martingale satisfaisant le critère de l'entropie. Cette mesure est utilisée pour calculer le prix d'une option, ainsi que des portefeuilles de couverture dans un modèle exponentiel de Lévy avec changement de régimes.

Embracing the Crisis in the Foundations of Mathematics

The crisis in the foundations of mathematics is a conceptual crisis. I suggest that we embrace the crisis and adopt a pluralist position towards foundations. There are many foundations in mathematics. However, ‘many foundations’ (for one building) is an oxymoron. Therefore, we shift vocabulary to say that mathematics, as one discipline, is composed of many different theories. This entails that there are no absolute mathematical truths, only truths within a theory. There is no unified, consistent ontology, only ontology within a theory.