On some Density Theorems in Number Theory and Group Theory

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$.

Physical therapy for urinary incontinence in postmenopausal women with osteoporosis or low bone density : a randomized controlled trial

Objective: To assess the effectiveness of 12 weekly physical therapy sessions for urinary incontinence (UI) compared with a control intervention, for reducing the number of UI episodes measured with the 7-day bladder diary, at 3 months and 1 year postrandomization. Methods: A single parallel-group randomized controlled trial was conducted at one outpatient public health center, in postmenopausal women aged 55 years and over with osteoporosis or low bone density and UI. Women were randomized to physical therapy (PT) for UI or osteoporosis education. The primary outcome measure was number of leakage episodes on the 7-day bladder diary, assessed at baseline, after treatment and at 1 year. The secondary outcome measures included the pad test and disease-specific quality of life and self-efficacy questionnaires assessed at the same timepoints. Results: Forty-eight women participated (24 per group). Two participants dropped out of each group and one participant was deceased before 3-month follow-up. Intention-to-treat analysis was undertaken. At 3 months and 1 year, there was a statistically significant difference in the number of leakage episodes on the 7-day bladder diary (3 mo: P = 0.04; 1 y: P = 0.01) in favor of the PT group. The effect size was 0.34 at 1 year. There were no harms reported. Conclusions: After a 12-week course of PT once per week for UI, PT group participants had a 75% reduction in weekly median number of leakage episodes, whereas the control group's condition had no improvement. At 1 year, the PT group participants maintained this improvement, whereas the control group's incontinence worsened.