Las visiones y los mundos: depredación, transformación y equilibrio en discursos de la Amazonía occidental

Ce travail se veut d’un rapprochement aux pratiques et savoirs des peuples amazoniens à partir de discours produits par ces nations. Nous y interpréterons des chants sacrés, des narrations ancestrales et des textes académiques de penseurs autochtones. Ce travail indique que les pratiques amazoniennes s’inscrivent dans un contexte de significations qui considèrent que tout être vivant possède des pensées et un esprit; qu’il existe des êtres spirituels qui défendent ces êtres vivants contre les abus possibles. Les êtres humains doivent transcender leur état de conscience, se déplacer vers les mondes invisibles et initier la communication avec ces esprits, pour ainsi maintenir l’équilibre existentiel. Selon les pensées de l’Amazonie, les communautés humaines ne peuvent pas se concevoir comme autosuffisantes; elles doivent plutôt maintenir de constantes relations avec les multiples êtres qui peuplent leur environnement visible et les mondes invisibles. Les trois concepts clés qui permettent de rendre compte des pratiques des peuples amazoniens sont la déprédation, la transformation et l’équilibre. Par déprédation, nous entendons les pratiques amazoniennes qui impliquent une destruction des autres êtres afin de sustenter la vie de la communauté. Selon les pensées de l’Amazonie, cette déprédation devrait être mesurée, dans le but de ne pas tuer plus que nécessaire à la survie. La déprédation est régulée par les êtres spirituels. Les pratiques amazoniennes de transformation sont destinées à la sauvegarde des liens de la communauté, en transfigurant tout ce qui entre ou sort de cette dernière, de manière à ce qu’aucun agent externe ne mette en péril les liens affectifs. Les pratiques de déprédation et de transformation sont complémentaires et elles requièrent toutes les deux de se produire de manière équilibrée, en respectant les savoirs ancestraux et les lois cosmiques établies par les esprits supérieurs. En ce qui a trait à la méthode d’analyse, nous aborderons les discours de l’Amazonie à partir leur propre logique culturelle, sans imposer des méthodologies préétablies, ce qui donne comme résultat un travail académique qui approfondie la production intellectuelle interculturelle, puisque ce sont les voix indigènes qui expriment elles-mêmes leurs conceptions et le sens de leurs pratiques. Dans son ensemble, le travail engage un dialogue critique avec son champ d’étude en discutant ou en approfondissant certaines conceptions forgées par la littérature anthropologique consacrée à l’étude de la région, à partir des savoirs ancestraux amazoniens qui nourrissent les pratiques de ces nations.

Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.