Wittgenstein And Labyrinth Of ‘Actual Infinity’: The Critique Of Transfinite Set Theory

In order to explain Wittgenstein’s account of the reality of completed infinity in mathematics, a brief overview of Cantor’s initial injection of the idea into set- theory, its trajectory (including the Diagonal Argument, the Continuum Hypothesis and Cantor’s Theorem) and the philosophic implications he attributed to it will be presented. Subsequently, we will first expound Wittgenstein’s grammatical critique of the use of the term ‘infinity’ in common parlance and its conversion into a notion of an actually existing (completed) infinite ‘set’. Secondly, we will delve into Wittgenstein’s technical critique of the concept of ‘denumerability’ as it is presented in set theory as well as his philosophic refutation of Cantor’s Diagonal Argument and the implications of such a refutation onto the problems of the Continuum Hypothesis and Cantor’s Theorem. Throughout, the discussion will be placed within the historical and philosophical framework of the Grundlagenkrise der Mathematik and Hilbert’s problems.

Efficient estimation using the characteristic function : theory and applications with high frequency data

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Le rapport de l'Un et de l'intellect dans la centurie de Calliste Cataphygiotes

La présente étude est une analyse et une reconstruction interprétative de la centurie de Calliste Cataphygiotès, intitulée De l'union avec Dieu et de la vie contemplative, chapitres syllogistiques et hauts. Notre approche à ce texte pluridisciplinaire est prioritairement philosophique. Dans le but de mettre en valeur l'intérêt philosophique qu'il représente, nous avons concentré notre analyse sur les problèmes liés au rapport de l'intellect avec l'Un, sur l'étude du concept de l'infini, sur son rôle dans la contemplation et sur la méthode dialectique dont Calliste Cataphygiotès s'en sert. Nous avons reconstruit la doctrine de la contemplation, implicite au texte de Calliste et nous avons tenté une reconstruction globale de la centurie qui permettra au lecteur d'apprécier les qualités spéculatives et l'esprit synthétique de ce mystique byzantin presque inconnu.

Le primat de l’éthique sur l’ontologie dans l’œuvre d’Emmanuel Levinas

Ce mémoire analysera une des thèses majeures de l’œuvre d’Emmanuel Levinas, à savoir le primat de l’éthique sur l’ontologie. L’argumentation se penchera surtout sur la description phénoménologique de l’approche de l’altérité, incarnée dans la concrétude du visage du prochain et dans laquelle se retrouve l’idée de l’infini, inspirée dans sa formulation de Descartes. Cette idée, n’étant pas qu’un simple concept mais plutôt une réalité phénoménale transcendante, amène Levinas à questionner le rôle de la conscience thématisante dans l’expérience morale, caractérisée par son immédiateté et par la présence d’un Autre. Est-ce que l’essentiel de la conscience se comprend comme liberté et savoir ? Y aurait-il un autre aspect, oublié par la rationalité que Levinas qualifie de grecque, qui serait plus propre à décrire la conscience ? L’ontologie ne repose-t-elle pas sur une conception de l’homme comme un sujet autonome et en contrôle ? Par ses fines analyses plutôt ontologiques dans Totalité et infini, et par sa prose plus déconstructrice d’Autrement qu’être, ou au-delà de l’essence, Levinas ébranle les fondations du sujet moderne tout en ramenant au centre des préoccupations philosophiques une idée que la tradition occidentale a eu tendance à évacuer, c’est-à-dire l’altérité. Et cette altérité, irréductible aux concepts immanents de la conscience d’un sujet, est ce qui justifie le primat de l’éthique, posant devant le je un tu qui appelle et demande une responsabilité absolue. Plusieurs auteurs et commentateurs seront mis à contribution, dont surtout Husserl et Heidegger, ainsi que S. Critchley, B. Bergo, J.-M. Salanskis et Jacques Roland.

Figures de l'infini : du panthéisme, de Schelling à Mallarmé

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Une Fantasy roubaldienne, ou, Nouvelle exploration ludique des potentialités littéraires : essai ; suivi de La Quête du Vortex (création littéraire)

Le Jeu, un phénomène difficile à définir, se manifeste en littérature de différentes manières. Le présent travail en considère deux : l’écriture à contrainte, telle que la pratique l’Oulipo, et l’écriture de l’imaginaire, en particulier les romans de Fantasy française. La première partie de cette étude présente donc, sous forme d’essai, les origines et les visées des deux groupes d’écrivains, mettant en lumière les similitudes pouvant être établies entre eux malgré leurs apparentes différences. Tandis que l’Oulipo cherche des contraintes capables de générer un nombre infini de textes et explore la langue par ce moyen, la Fantasy se veut créatrice de mondes imaginaires en puisant généralement à la source de Tolkien et des jeux de rôle. Il en résulte que le jeu, dans les deux cas, se révèle un puissant moteur de création, que le récit appelle un lecteur-explorateur et qu’il crée une infinité de mondes possibles. Malgré tout, des divergences demeurent quant à leurs critiques, leurs rapports avec le jeu et les domaines extralittéraires, et leurs visées. Considérant ce fait, je propose de combiner les deux styles d’écriture en me servant du cycle des Hortense de Jacques Roubaud (structuré au moyen de la sextine) et des Chroniques des Crépusculaires de Mathieu Gaborit (figure de proue en fantasy « pure »). Ce projet a pour but de combler le fossé restant encore entre les deux groupes. Ainsi, la seconde partie de mon travail constitue une première tentative de réunion des deux techniques d’écriture (à contrainte et de l’imaginaire). Six héros (trois aventuriers et trois mercenaires) partent à la recherche d’un objet magique dérobé à la Reine du Désert et capable de bouleverser l’ordre du monde. Le récit, divisé en six chapitres, rapporte les aventures de ce groupe jusqu’à leur rencontre avec l’ennemi juré de la Reine, un puissant sorcier elfe noir. Chaque chapitre comporte six sections plus petites où sont permutés – selon le mouvement de la sextine – six éléments caractéristiques des jeux de rôles : 1-Une description du MJ (Maître du Jeu) ; 2-Un combat ; 3-Une énigme à résoudre ou un piège à désarmer ; 4-Une discussion entre les joueurs à propos de leurs avatars ; 5-L’acquisition d’un nouvel objet ; 6-Une interaction avec un PNJ (Personnage Non Joueur). Tout au long du texte, des références aux Chroniques des Crépusculaires de Mathieu Gaborit apparaissent, suivant également un ordre sextinien. D’autres allusions, à Tolkien, Queneau, Perec ou Roubaud, agrémentent le roman.

Énergie des vortex dans un modèle abélien de Higgs en 2+1 dimensions avec un potentiel d’ordre six

Dans ce travail, j’étudierai principalement un modèle abélien de Higgs en 2+1 dimensions, dans lequel un champ scalaire interagit avec un champ de jauge. Des défauts topologiques, nommés vortex, sont créés lorsque le potentiel possède un minimum brisant spontanément la symétrie U(1). En 3+1 dimensions, ces vortex deviennent des défauts à une dimension. Ils ap- paraissent par exemple en matière condensée dans les supraconducteurs de type II comme des lignes de flux magnétique. J’analyserai comment l’énergie des solutions statiques dépend des paramètres du modèle et en particulier du nombre d’enroulement du vortex. Pour le choix habituel de potentiel (un poly- nôme quartique dit « BPS »), la relation entre les masses des deux champs mène à deux types de comportements : type I si la masse du champ de jauge est plus grande que celle du champ sca- laire et type II inversement. Selon le cas, la dépendance de l’énergie au nombre d’enroulement, n, indiquera si les vortex auront tendance à s’attirer ou à se repousser, respectivement. Lorsque le flux emprisonné est grand, les vortex présentent un profil où la paroi est mince, permettant certaines simplifications dans l’analyse. Le potentiel, un polynôme d’ordre six (« non-BPS »), est choisi tel que le centre du vortex se trouve dans le vrai vide (minimum absolu du potentiel) alors qu’à l’infini le champ scalaire se retrouve dans le faux vide (minimum relatif du potentiel). Le taux de désintégration a déjà été estimé par une approximation semi-classique pour montrer l’impact des défauts topologiques sur la stabilité du faux vide. Le projet consiste d’abord à établir l’existence de vortex classi- quement stables de façon numérique. Puis, ma contribution fut une analyse des paramètres du modèle révélant le comportement énergétique de ceux-ci en fonction du nombre d’enroulement. Ce comportement s’avèrera être différent du cas « BPS » : le ratio des masses ne réussit pas à décrire le comportement observé numériquement.

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

A non reductionist logicism with explicit definitions

This paper introduces and examines the logicist construction of Peano Arithmetic that can be performed into Leśniewski’s logical calculus of names called Ontology. Against neo-Fregeans, it is argued that a logicist program cannot be based on implicit definitions of the mathematical concepts. Using only explicit definitions, the construction to be presented here constitutes a real reduction of arithmetic to Leśniewski’s logic with the addition of an axiom of infinity. I argue however that such a program is not reductionist, for it only provides what I will call a picture of arithmetic, that is to say a specific interpretation of arithmetic in which purely logical entities play the role of natural numbers. The reduction does not show that arithmetic is simply a part of logic. The process is not of ontological significance, for numbers are not shown to be logical entities. This neo-logicist program nevertheless shows the existence of a purely analytical route to the knowledge of arithmetical laws.