Représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique et chaînes additives

Un circuit arithmétique dont les entrées sont des entiers ou une variable x et dont les portes calculent la somme ou le produit représente un polynôme univarié. On assimile la complexité de représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique au nombre de portes multiplicatives minimal requis pour cette modélisation. Et l'on cherche à obtenir une borne inférieure à cette complexité, et cela en fonction du degré d du polynôme. A une chaîne additive pour d, correspond un circuit arithmétique pour le monôme de degré d. La conjecture de Strassen prétend que le nombre minimal de portes multiplicatives requis pour représenter un polynôme de degré d est au moins la longueur minimale d'une chaîne additive pour d. La conjecture de Strassen généralisée correspondrait à la même proposition lorsque les portes du circuit arithmétique ont degré entrant g au lieu de 2. Le mémoire consiste d'une part en une généralisation du concept de chaînes additives, et une étude approfondie de leur construction. On s'y intéresse d'autre part aux polynômes qui peuvent être représentés avec très peu de portes multiplicatives (les d-gems). On combine enfin les deux études en lien avec la conjecture de Strassen. On obtient en particulier de nouveaux cas de circuits vérifiant la conjecture.

Shari'a Commercial Law : "old wine in new bottles?"

Suite à la crise financière globale de 2008, ainsi qu’aux différents facteurs qui y ont mené, il est étonnant qu’une alternative éthique et juste pour une finance lucrative et stable n’existe toujours pas (ou du moins, demeure oubliée). Ayant décidé de contribuer au domaine pluri-centenaire du Droit Commercial de la Chari’a, nous avons été surpris par la découverte d’une problématique à l’origine de cette thèse. En France, nous avons suivi des débats doctrinaux intéressants dont les conclusions se rapprochent de la perception générale Occidentale quand à la nature de la finance Islamique, que ce soit au niveau de la finance basée sur le Droit de la Chari’a ou encore les exigences de sa pleine introduction dans le système juridique français de l’époque. Cet intérêt initial dans la finance islamique a ensuite mené à un intérêt dans la question des avantages d’éthique et de justice du Droit Commercial de la Chari’a dans son ensemble, qui est au coeur de cette thèse. Dans le monde moderne du commerce et de la finance d’aujourd’hui, les transactions sont marquées par une prise de risque excessive et un esprit de spéculation qui s’apparente aux jeux de hasard, et menant à des pertes colossales. Pire encore, ces pertes sont ensuite transférées à la collectivité. Par conséquent, y at-il des préceptes, des principes ou des règles éthiques et juridiques qui peuvent fournir une certaine forme de sécurité et de protection dans les marchés financiers d'aujourd'hui? Est-ce réalisable? Cette thèse soutient que la richesse de la jurisprudence islamique ainsi que ses règles dont les avantages n’ont pas encore été pleinement saisis et régénérés en réponse aux nouveaux défis d’aujourd'hui, peuvent encore fournir continuellement des solutions, et réformer des produits financiers de façon à refléter des principes de justice et d'équité. Dans ce processus, un éclairage nouveau sera apporté à certains sujets déjà connus dans le cadre de la contribution prévue de cette thèse, mais ne sera pas le principal objectif de la thèse.