Problème centre-foyer et application

Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies.

Caractérisation de l’ubiquitin-fold modifier (UFM1) dans un modèle C. elegans

L’ubiquitin-fold modifier (UFM1) fait partie de la classe 1 de la famille de protéine ubiquitin-like (Ubl). UFM1 et Ub ont très peu d’homologie de séquence, mais partagent des similarités remarquables au niveau de leur structure tertiaire. Tout comme l’Ub et la majorité des autres Ubls, UFM1 se lie de façon covalente à ses substrats par l’intermédiaire d’une cascade enzymatique. Il est de plus en plus fréquemment rapporté que les protéines Ubls sont impliquées dans des maladies humaines. Le gène Ufm1 est surexprimé chez des souris de type MCP développant une ischémie myocardique et dans les îlots de Langerhans de patients atteints du diabète de type 2. UFM1 et ses enzymes spécifiques, UBA5, UFL1 et UFC1, sont conservés chez les métazoaires et les plantes suggérant un rôle important pour les organismes multicellulaires. Le Caenorhabditis elegans est le modèle animal le plus simple utilisé en biologie. Sa morphologie, ses phénotypes visibles et ses lignées cellulaires ont été décrits de façon détaillée. De plus, son cycle de vie court permet de rapidement observer les effets de certains gènes sur la longévité. Ce modèle nous permet de facilement manipuler l’expression du gène Ufm1 et de mieux connaître ses fonctions. En diminuant l’expression du gène ufm-1 chez le C.elegans, par la technique de l’ARN interférence par alimentation, nous n’avons observé aucun problème morphologique grave. Les vers ressemblaient aux vers sauvages et possédaient un nombre de progéniture normal. Cependant, les vers sauvage exposés à l’ARNi d’ufm-1 vivent significativement moins longtemps que les contrôles et ce, de façon indépendante de la voie de signalisation de l’insuline/IGF. Chez le C. elegans la longévité et la résistance au stress cellulaire sont intimement liées. Nous n’avons remarqué aucun effet d’ufm-1 sur le stress thermal, osmotique ou oxydatif, mais il est requis pour la protection contre le stress protéotoxique. Il est également nécessaire au maintien de l’intégrité neuronale au cours du vieillissement des animaux. L’ensemble de nos données nous renseigne sur les fonctions putatives du gène Ufm1.

Unfolded singularities of analytic differential equations

La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans le plan complexe. L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités. Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre.