Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Interactive quantum information theory

La théorie de l'information quantique s'est développée à une vitesse fulgurante au cours des vingt dernières années, avec des analogues et extensions des théorèmes de codage de source et de codage sur canal bruité pour la communication unidirectionnelle. Pour la communication interactive, un analogue quantique de la complexité de la communication a été développé, pour lequel les protocoles quantiques peuvent performer exponentiellement mieux que les meilleurs protocoles classiques pour certaines tâches classiques. Cependant, l'information quantique est beaucoup plus sensible au bruit que l'information classique. Il est donc impératif d'utiliser les ressources quantiques à leur plein potentiel. Dans cette thèse, nous étudions les protocoles quantiques interactifs du point de vue de la théorie de l'information et étudions les analogues du codage de source et du codage sur canal bruité. Le cadre considéré est celui de la complexité de la communication: Alice et Bob veulent faire un calcul quantique biparti tout en minimisant la quantité de communication échangée, sans égard au coût des calculs locaux. Nos résultats sont séparés en trois chapitres distincts, qui sont organisés de sorte à ce que chacun puisse être lu indépendamment. Étant donné le rôle central qu'elle occupe dans le contexte de la compression interactive, un chapitre est dédié à l'étude de la tâche de la redistribution d'état quantique. Nous prouvons des bornes inférieures sur les coûts de communication nécessaires dans un contexte interactif. Nous prouvons également des bornes atteignables avec un seul message, dans un contexte d'usage unique. Dans un chapitre subséquent, nous définissons une nouvelle notion de complexité de l'information quantique. Celle-ci caractérise la quantité d'information, plutôt que de communication, qu'Alice et Bob doivent échanger pour calculer une tâche bipartie. Nous prouvons beaucoup de propriétés structurelles pour cette quantité, et nous lui donnons une interprétation opérationnelle en tant que complexité de la communication quantique amortie. Dans le cas particulier d'entrées classiques, nous donnons une autre caractérisation permettant de quantifier le coût encouru par un protocole quantique qui oublie de l'information classique. Deux applications sont présentées: le premier résultat général de somme directe pour la complexité de la communication quantique à plus d'une ronde, ainsi qu'une borne optimale, à un terme polylogarithmique près, pour la complexité de la communication quantique avec un nombre de rondes limité pour la fonction « ensembles disjoints ». Dans un chapitre final, nous initions l'étude de la capacité interactive quantique pour les canaux bruités. Étant donné que les techniques pour distribuer de l'intrication sont bien étudiées, nous nous concentrons sur un modèle avec intrication préalable parfaite et communication classique bruitée. Nous démontrons que dans le cadre plus ardu des erreurs adversarielles, nous pouvons tolérer un taux d'erreur maximal de une demie moins epsilon, avec epsilon plus grand que zéro arbitrairement petit, et ce avec un taux de communication positif. Il s'ensuit que les canaux avec bruit aléatoire ayant une capacité positive pour la transmission unidirectionnelle ont une capacité positive pour la communication interactive quantique. Nous concluons avec une discussion de nos résultats et des directions futures pour ce programme de recherche sur une théorie de l'information quantique interactive.

Dodecyltrimethylammonium chloride adsorption at the silica/water interface studied by Sum Frequency Generation

La génération des fréquences somme (SFG), une technique spectroscopique spécifique aux interfaces, a été utilisée pour caractériser les changements de la structure macromoléculaire du surfactant cationique chlorure de dodécyltriméthylammonium (DTAC) à l’interface silice/eau dans une plage de pH variant entre 3 et 11. Les conditions expérimentales ont été choisies pour imiter les conditions les plus communes trouvées pendant les opérations de récupération assistée du pétrole. Particulièrement, la silice a été étudiée, car elle est un des composantes des surfaces minérales des réservoirs de grès, et l’adsorption du surfactant a été étudiée avec une force ionique pertinente pour les fluides de la fracturation hydraulique. Les spectres SFG ont présenté des pics détectables avec une amplitude croissante dans la région des étirements des groupes méthylène et méthyle lorsque le pH est diminué jusqu’à 3 ou augmenté jusqu’à 11, ce qui suggère des changements de la structure des agrégats de surfactant à l’interface silice/eau à une concentration de DTAC au-delà de la concentration micellaire critique. De plus, des changements dans l’intensité SFG ont été observés pour le spectre de l’eau quand la concentration de DTAC augmente de 0,2 à 50 mM dans les conditions acide, neutre et alcaline. À pH 3, près du point de charge zéro de la surface de silice, l’excès de charge positive en raison de l’adsorption du surfactant cationique crée un champ électrostatique qui oriente les molécules d’eau à l’interface. À pH 7 et 11, ce qui sont des valeurs au-dessus du point de charge zéro de la surface de silice, le champ électrostatique négatif à l’interface silice/eau diminue par un ordre de grandeur avec l’adsorption du surfactant comme résultat de la compensation de la charge négative à la surface par la charge positive du DTAC. Les résultats SFG ont été corrélés avec des mesures de l’angle de contact et de la tension interfaciale à pH 3, 7 et 11.