On some Density Theorems in Number Theory and Group Theory

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$.

Éclaircissement de l’association entre la relation enseignant-élève, le partenariat mère-enfant, et l’adaptation scolaire auprès d’une clientèle à risque.

Résumé L'association entre la relation mère-enfant, la relation enseignant-élève et l'adaptation scolaire (compétences cognitives et sociaux) a reçu ultérieurement une attention considérable dans la littérature scientifique. En dépit de la quantité de recherches effectuées, il subsiste un besoin afin de mieux connaître les processus sous-jacent qui jouent un rôle dans cette relation. L’objectif de la recherche actuelle consiste en l’éclaircissement de l’association entre la relation enseignant-élève, le partenariat mère-enfant, et l’adaptation scolaire. Les différentes hypothèses de recherche étaient : la qualité de la relation enseignant-élève servira de facteur de protection à l’adaptation scolaire (ou à une des composantes) chez les enfants nés de mères adolescentes dont le partenariat mère-enfant est de moindre qualité; la deuxième hypothèse était que le partenariat mère-enfant prédirait la qualité de la relation enseignant-élève, qui prédirait par la suite l’adaptation à la maternelle des enfants nés de mères adolescentes. Finalement, la troisième hypothèse de recherche est que les deux relations (partenariat mère-enfant et relation enseignant-élève) contribuent de façon unique à l’adaptation scolaire. Ainsi, trois modèles d’association possibles ont été testé (modération, médiation et contributions uniques et additives) auprès d’une population à risque, soit les enfants de 5 ans nés d’une mère adolescente. L’échantillon provient d’un projet longitudinal prospectif, la «Mère-Veille,» et est composé de 30 dyades mère-enfant (N=30). La qualité du partenariat mère-enfant, évalué en laboratoire lorsque les enfants avaient 4 ans, a été mesurée à l’aide des récits narratifs co-construits. La qualité de la relation enseignant-élève a été mesurée via l’adaptation française du student teacher relationship scale à 5 ans. Finalement, la mesure de l’adaptation scolaire (comme variable dépendante) comprenant les compétences en numération et les dimensions comportementales (comportements intériorisés, extériorisés et compétences sociales) ont été évalué respectivement par l’entremise de l’adaptation française du number knowledge test et du profil socioaffectif. Une série de régressions linéaires (avec et sans variables contrôles) ont été effectuées pour estimer les trois modèles. La réponse aux hypothèses varie en fonction des différentes composantes de l’adaptation scolaire. Sommes toutes, nos résultats ne suggèrent aucune relation significative ni processus intermédiaires.