4 resultados para Conformal eld theory
em Université de Montréal, Canada
Resumo:
Mmoire numris par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Universit de Montral
Resumo:
Les modles sur rseau comme ceux de la percolation, dIsing et de Potts servent dcrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de thories des champs conformes rationnelles, limites continues des modles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des thories des champs conformes rationnelles peut tre largi pour inclure les modles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modles seraient alors dcrits, dans la limite dchelle, par des thories des champs logarithmiques et les reprsentations de lalgbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indcomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(, u), un lment de lalgbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les thories physiques laide des reprsentations de connectivits (link modules). Lespace vectoriel sur lequel agit cette reprsentation se dcompose en secteurs tiquets par un paramtre physique, le nombre d de dfauts. Laction de cette reprsentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thse est consacre lidentification de la structure de Jordan de D_N(, u) dans ces reprsentations. Le paramtre = 2 cos = (q + 1/q) fixe la thorie : = 1 pour la percolation et 2 pour le modle dIsing, par exemple. Sur la gomtrie du ruban, nous montrons que D_N(, u) possde les mmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous tudions la non diagonalisabilit de F_N laide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de . Nous prouvons dans (D_N(, u)) lexistence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d lorsque certaines contraintes sur , d, d et N sont satisfaites. Pour le modle de polymres denses critique ( = 0) sur le ruban, les valeurs propres de (D_N(, u)) taient connues, mais les dgnrescences conjectures. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivits et un sous-espace des modules de spins du modle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de lhamiltonien de boucles un secteur donn est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de lhamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous tudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(, ) pour des conditions aux frontires priodiques. La matrice T_N(, ) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque = a/b, et a, b Z. Lapproche par F_N admet une gnralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excde 2 dans certains cas et peut crotre indfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les reprsentations de connectivits sur le cylindre et celles du modle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs prcises de q et du paramtre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs gnraliss de Jordan de rang 2 et discutons lexistence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang.
Resumo:
Cette thse porte sur les phnomnes critiques survenant dans les modles bidimensionnels sur rseau. Les rsultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques dcrivant des objets gomtriques du rseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indcomposables de l'algbre de Temperley-Lieb pour la chane de spins XXZ. Le premier article prsente des expriences numriques Monte Carlo effectues pour une famille de modles de boucles en phase dilue. Baptiss "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirs du modle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est tiquete par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramtre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modle DLM(p,p') soit dcrit par une thorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), o \kappa=p/p' est li la fugacit du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramtre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques reprsentant la loi d'chelle des objets gomtriques suivants : l'interface, le primtre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employ, pour lequel nous avons introduit de nombreuses amliorations spcifiques aux modles dilus, est dtaill. Un traitement statistique rigoureux des donnes permet des extrapolations concidant avec les prdictions thoriques trois ou quatre chiffres significatifs, malgr des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxime article porte sur la dcomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chane XXZ de n spins 1/2 agit. La version tudie ici (Pasquier et Saleur (1990)) est dcrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dpendant d'un paramtre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'lments de l'algbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modles dilus, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble reli aux thories des champs conformes, le paramtre q dterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'lments de l'algbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualit de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indcomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irrductibles, sauf si q est une racine de l'unit. Cette exception est traite sparment du cas o q est gnrique. Les problmes rsolus par ces articles ncessitent une grande varit de rsultats et d'outils. Pour cette raison, la thse comporte plusieurs chapitres prparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phnomnes critiques et de la thorie des champs conformes. Le deuxime chapitre aborde brivement la question des champs logarithmiques, l'volution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont ncessaires la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrime chapitre prsente les outils algbriques utiliss dans le deuxime article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thse conclut par un rsum des rsultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en dcoulent.
Resumo:
Les algbres de Temperley-Lieb originales, aussi dites rgulires, apparaissent dans de nombreux modles statistiques sur rseau en deux dimensions: les modles d'Ising, de Potts, des dimres, celui de Fortuin-Kasteleyn, etc. L'espace d'Hilbert de l'hamiltonien quantique correspondant chacun de ces modles est un module pour cette algbre et la thorie de ses reprsentations peut tre utilise afin de faciliter la dcomposition de l'espace en blocs; la diagonalisation de l'hamiltonien s'en trouve alors grandement simplifie. L'algbre de Temperley-Lieb dilue joue un rle similaire pour des modles statistiques dilus, par exemple un modle sur rseau o certains sites peuvent tre vides; ses reprsentations peuvent alors tre utilises pour simplifier l'analyse du modle comme pour le cas original. Or ceci requiert une connaissance des modules de cette algbre et de leur structure; un premier article donne une liste complte des modules projectifs indcomposables de l'algbre dilue et un second les utilise afin de construire une liste complte de tous les modules indcomposables des algbres originale et dilue. La structure des modules est dcrite en termes de facteurs de composition et par leurs groupes d'homomorphismes. Le produit de fusion sur l'algbre de Temperley-Lieb originale permet de multiplier ensemble deux modules sur cette algbre pour en obtenir un autre. Il a t montr que ce produit pouvait servir dans la diagonalisation d'hamiltoniens et, selon certaines conjectures, il pourrait galement tre utilis pour tudier le comportement de modles sur rseaux dans la limite continue. Un troisime article construit une gnralisation du produit de fusion pour les algbres dilues, puis prsente une mthode pour le calculer. Le produit de fusion est alors calcul pour les classes de modules indcomposables les plus communes pour les deux familles, originale et dilue, ce qui vient ajouter la liste incomplte des produits de fusion dj calculs par d'autres chercheurs pour la famille originale. Finalement, il s'avre que les algbres de Temperley-Lieb peuvent tre associes une catgorie monodale tresse, dont la structure est compatible avec le produit de fusion dcrit ci-dessus. Le quatrime article calcule explicitement ce tressage, d'abord sur la catgorie des algbres, puis sur la catgorie des modules sur ces algbres. Il montre galement comment ce tressage permet d'obtenir des solutions aux quations de Yang-Baxter, qui peuvent alors tre utilises afin de construire des modles intgrables sur rseaux.
