Una secuencia didáctica para un concepto unificador en un curso de álgebra lineal de un programa de formación a la ingeniería

L’introduction aux concepts unificateurs dans l’enseignement des mathématiques privilégie typiquement l’approche axiomatique. Il n’est pas surprenant de constater qu’une telle approche tend à une algorithmisation des tâches pour augmenter l’efficacité de leur résolution et favoriser la transparence du nouveau concept enseigné (Chevallard, 1991). Cette réponse classique fait néanmoins oublier le rôle unificateur du concept et n’encourage pas à l’utilisation de sa puissance. Afin d’améliorer l’apprentissage d’un concept unificateur, ce travail de thèse étudie la pertinence d’une séquence didactique dans la formation d’ingénieurs centrée sur un concept unificateur de l’algèbre linéaire: la transformation linéaire (TL). La notion d’unification et la question du sens de la linéarité sont abordées à travers l’acquisition de compétences en résolution de problèmes. La séquence des problèmes à résoudre a pour objet le processus de construction d’un concept abstrait (la TL) sur un domaine déjà mathématisé, avec l’intention de dégager l’aspect unificateur de la notion formelle (Astolfi y Drouin, 1992). À partir de résultats de travaux en didactique des sciences et des mathématiques (Dupin 1995; Sfard 1991), nous élaborons des situations didactiques sur la base d’éléments de modélisation, en cherchant à articuler deux façons de concevoir l’objet (« procédurale » et « structurale ») de façon à trouver une stratégie de résolution plus sûre, plus économique et réutilisable. En particulier, nous avons cherché à situer la notion dans différents domaines mathématiques où elle est applicable : arithmétique, géométrique, algébrique et analytique. La séquence vise à développer des liens entre différents cadres mathématiques, et entre différentes représentations de la TL dans les différents registres mathématiques, en s’inspirant notamment dans cette démarche du développement historique de la notion. De plus, la séquence didactique vise à maintenir un équilibre entre le côté applicable des tâches à la pratique professionnelle visée, et le côté théorique propice à la structuration des concepts. L’étude a été conduite avec des étudiants chiliens en formation au génie, dans le premier cours d’algèbre linéaire. Nous avons mené une analyse a priori détaillée afin de renforcer la robustesse de la séquence et de préparer à l’analyse des données. Par l’analyse des réponses au questionnaire d’entrée, des productions des équipes et des commentaires reçus en entrevus, nous avons pu identifier les compétences mathématiques et les niveaux d’explicitation (Caron, 2004) mis à contribution dans l’utilisation de la TL. Les résultats obtenus montrent l’émergence du rôle unificateur de la TL, même chez ceux dont les habitudes en résolution de problèmes mathématiques sont marquées par une orientation procédurale, tant dans l’apprentissage que dans l’enseignement. La séquence didactique a montré son efficacité pour la construction progressive chez les étudiants de la notion de transformation linéaire (TL), avec le sens et les propriétés qui lui sont propres : la TL apparaît ainsi comme un moyen économique de résoudre des problèmes extérieurs à l’algèbre linéaire, ce qui permet aux étudiants d’en abstraire les propriétés sous-jacentes. Par ailleurs, nous avons pu observer que certains concepts enseignés auparavant peuvent agir comme obstacles à l’unification visée. Cela peut ramener les étudiants à leur point de départ, et le rôle de la TL se résume dans ces conditions à révéler des connaissances partielles, plutôt qu’à guider la résolution.

Cinéma et sens de la ville : la ville idéelle

C’est principalement par le cinéma que nous connaissons et partageons le réel des villes, même celles dans lesquelles nous vivons. Par le cinéma, nous découvrons plus de villes que nous n’en visiterons jamais. Nous connaissons des villes que nous n'avons jamais vues. Nous apprenons à découvrir des villes que nous connaissons déjà. Nous avons en mémoire des villes qui n'existent pas. Que nous soyons spectateur ou créateur, les villes existent d'abord dans notre imaginaire. Percevoir, représenter et créer sont des actes complémentaires qui mobilisent des fonctions communes. Toute perception est conditionnée par le savoir et la mémoire, elle dépend de la culture. Toute représentation, si elle veut communiquer, doit connaître les mécanismes et les codes mémoriels et culturels du public auquel elle s’adresse. Le cinéma ne fait pas que reproduire, il crée et il a appris à utiliser ces codes et ces mécanismes, notamment pour représenter la ville. L’étude du cinéma peut ouvrir aux urbanistes et aux professionnels de l’aménagement, de nouveaux champs de scientificité sur le plan de la représentation et de la perception comme partage du réel de la ville. La ville et le cinéma doivent alors être vus comme un spectacle dans son acception herméneutique, et de ce spectacle il devient possible d’en faire émerger un paradigme; ou dit autrement, the basic belief system or worldview that guides the investigator, not only in choices of methods but in ontologically and episemologically fundamental ways. (Guba & Lincoln, 1994) Ce paradigme, que nous proposons de décrire, de modéliser et dont nous montrons les fonctions conceptuelles; nous le désignons comme la Ville idéelle.