Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

L'ésotérisme de la dramaturgie platonicienne : un regard sur le Banquet et le Phédon

Le présent mémoire se penche sur la dramaturgie que mettent en scène le Banquet et le Phédon de Platon. Dans le cas du premier dialogue, une étude de l'épilogue et du discours d'Alcibiade, assortie de parallèles ponctuels dans la République et la Lettre VII, permet de déceler un exemple de la rétention d'information platonicienne, telle que comprise sous l'égide des écoles platoniciennes de Tübingen et de Milan, de même qu'une attestation de l'existence de doctrines non-écrites qualitativement supérieures à celles que renferment les dialogues. L'épilogue du Banquet fait ensuite, à la lumière des conclusions susmentionnées, l'objet d'une interprétation qui distingue trois niveaux de lecture des dialogues platoniciens : l'extériorité, l'intériorité et l'oralité philosophique, symbolisées respectivement par le poète comique Aristophane, le poète tragique Agathon et le poète philosophique Socrate. Il va de soi que ce dernier renvoie sémantiquement au philosophe par excellence, titre que Platon endosse volontiers. L'essai exégétique touchant le Phédon se concentre pour sa part sur la dernière volonté de Socrate. Celle-ci survient au dénouement de la partie la plus « dramaturgique » du dialogue, c'est-à-dire après les discours proprement philosophiques sur l'immortalité de l'âme. En ciblant ces moments, de même que l'introduction, nous distinguons l'adjonction des tons tragique et comique, illustrant par là un procédé inhabituel dont le but, ultimement, est de soustraire le dialogue au registre tragique afin d'éviter la propagation d'émotions contraires à la philosophie. En exploitant l'oxymore comique-tragique sur un plan mimétique, nous montrerons que la dernière volonté de Socrate véhicule un dessein parénétique.