Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.

Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

On Space-Time Trade-Off for Montgomery Multipliers over Finite Fields

La multiplication dans le corps de Galois à 2^m éléments (i.e. GF(2^m)) est une opérations très importante pour les applications de la théorie des correcteurs et de la cryptographie. Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux réalisations parallèles de multiplicateurs dans GF(2^m) lorsque ce dernier est généré par des trinômes irréductibles. Notre point de départ est le multiplicateur de Montgomery qui calcule A(x)B(x)x^(-u) efficacement, étant donné A(x), B(x) in GF(2^m) pour u choisi judicieusement. Nous étudions ensuite l'algorithme diviser pour régner PCHS qui permet de partitionner les multiplicandes d'un produit dans GF(2^m) lorsque m est impair. Nous l'appliquons pour la partitionnement de A(x) et de B(x) dans la multiplication de Montgomery A(x)B(x)x^(-u) pour GF(2^m) même si m est pair. Basé sur cette nouvelle approche, nous construisons un multiplicateur dans GF(2^m) généré par des trinôme irréductibles. Une nouvelle astuce de réutilisation des résultats intermédiaires nous permet d'éliminer plusieurs portes XOR redondantes. Les complexités de temps (i.e. le délais) et d'espace (i.e. le nombre de portes logiques) du nouveau multiplicateur sont ensuite analysées: 1. Le nouveau multiplicateur demande environ 25% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito lorsque GF(2^m) est généré par des trinômes irréductible et m est suffisamment grand. Le nombre de portes du nouveau multiplicateur est presque identique à celui du multiplicateur de Karatsuba proposé par Elia. 2. Le délai de calcul du nouveau multiplicateur excède celui des meilleurs multiplicateurs d'au plus deux évaluations de portes XOR. 3. Nous determinons le délai et le nombre de portes logiques du nouveau multiplicateur sur les deux corps de Galois recommandés par le National Institute of Standards and Technology (NIST). Nous montrons que notre multiplicateurs contient 15% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito au coût d'un délai d'au plus une porte XOR supplémentaire. De plus, notre multiplicateur a un délai d'une porte XOR moindre que celui du multiplicateur d'Elia au coût d'une augmentation de moins de 1% du nombre total de portes logiques.

Scoliosis curve type classification from 3D trunk image

Adolescent idiopathic scoliosis (AIS) is a deformity of the spine manifested by asymmetry and deformities of the external surface of the trunk. Classification of scoliosis deformities according to curve type is used to plan management of scoliosis patients. Currently, scoliosis curve type is determined based on X-ray exam. However, cumulative exposure to X-rays radiation significantly increases the risk for certain cancer. In this paper, we propose a robust system that can classify the scoliosis curve type from non invasive acquisition of 3D trunk surface of the patients. The 3D image of the trunk is divided into patches and local geometric descriptors characterizing the surface of the back are computed from each patch and forming the features. We perform the reduction of the dimensionality by using Principal Component Analysis and 53 components were retained. In this work a multi-class classifier is built with Least-squares support vector machine (LS-SVM) which is a kernel classifier. For this study, a new kernel was designed in order to achieve a robust classifier in comparison with polynomial and Gaussian kernel. The proposed system was validated using data of 103 patients with different scoliosis curve types diagnosed and classified by an orthopedic surgeon from the X-ray images. The average rate of successful classification was 93.3% with a better rate of prediction for the major thoracic and lumbar/thoracolumbar types.

Non invasive classification system of scoliosis curve types using least-squares support vector machines

Objective To determine scoliosis curve types using non invasive surface acquisition, without prior knowledge from X-ray data. Methods Classification of scoliosis deformities according to curve type is used in the clinical management of scoliotic patients. In this work, we propose a robust system that can determine the scoliosis curve type from non invasive acquisition of the 3D back surface of the patients. The 3D image of the surface of the trunk is divided into patches and local geometric descriptors characterizing the back surface are computed from each patch and constitute the features. We reduce the dimensionality by using principal component analysis and retain 53 components using an overlap criterion combined with the total variance in the observed variables. In this work, a multi-class classifier is built with least-squares support vector machines (LS-SVM). The original LS-SVM formulation was modified by weighting the positive and negative samples differently and a new kernel was designed in order to achieve a robust classifier. The proposed system is validated using data from 165 patients with different scoliosis curve types. The results of our non invasive classification were compared with those obtained by an expert using X-ray images. Results The average rate of successful classification was computed using a leave-one-out cross-validation procedure. The overall accuracy of the system was 95%. As for the correct classification rates per class, we obtained 96%, 84% and 97% for the thoracic, double major and lumbar/thoracolumbar curve types, respectively. Conclusion This study shows that it is possible to find a relationship between the internal deformity and the back surface deformity in scoliosis with machine learning methods. The proposed system uses non invasive surface acquisition, which is safe for the patient as it involves no radiation. Also, the design of a specific kernel improved classification performance.

Réduction des artéfacts de tuteur coronarien au moyen d’un algorithme de reconstruction avec renforcement des bords : étude prospective transversale en tomodensitométrie 256 coupes

Les artéfacts métalliques entraînent un épaississement artéfactuel de la paroi des tuteurs en tomodensitométrie (TDM) avec réduction apparente de leur lumière. Cette étude transversale prospective, devis mesures répétées et observateurs avec méthode en aveugle, chez 24 patients consécutifs/71 tuteurs coronariens a pour objectif de comparer l’épaisseur de paroi des tuteurs en TDM après reconstruction par un algorithme avec renforcement des bords et un algorithme standard. Une angiographie coronarienne par TDM 256 coupes a été réalisée, avec reconstruction par algorithmes avec renforcement des bords et standard. L’épaisseur de paroi des tuteurs était mesurée par méthodes orthogonale (diamètres) et circonférentielle (circonférences). La qualité d’image des tuteurs était évaluée par échelle ordinale, et les données analysées par modèles linéaire mixte et régression logistique des cotes proportionnelles. L’épaisseur de paroi des tuteurs était inférieure avec l’algorithme avec renforcement des bords comparé à l’algorithme standard, avec les méthodes orthogonale (0,97±0,02 vs 1,09±0,03 mm, respectivement; p<0,001) et circonférentielle (1,13±0,02 vs 1,21±0,02 mm, respectivement; p<0,001). Le premier causait moins de surestimation par rapport à l’épaisseur nominale comparé au second, avec méthodes orthogonale (0,89±0,19 vs 1,00±0,26 mm, respectivement; p<0,001) et circonférentielle (1,06±0,26 vs 1,13±0,31 mm, respectivement; p=0,005) et diminuait de 6 % la surestimation. Les scores de qualité étaient meilleurs avec l’algorithme avec renforcement des bords (OR 3,71; IC 95% 2,33–5,92; p<0,001). En conclusion, la reconstruction des images avec l’algorithme avec renforcement des bords génère des parois de tuteurs plus minces, moins de surestimation, et de meilleurs scores de qualité d’image que l’algorithme standard.