A Representation of Risk Measures

We provide a representation theorem for risk measures satisfying (i) monotonicity; (ii) positive homogeneity; and (iii) translation invariance. As a simple corollary to our theorem, we obtain the usual representation of coherent risk measures (i.e., risk measures that are, in addition, sub-additive; see Artzner et al. [2]).

Size invariant measures of association: characterization and difficulties

A measure of association is row-size invariant if it is unaffected by the multiplication of all entries in a row of a cross-classification table by a same positive number. It is class-size invariant if it is unaffected by the multiplication of all entries in a class (i.e., a row or a column). We prove that every class-size invariant measure of association as-signs to each m x n cross-classification table a number which depends only on the cross-product ratios of its 2 x 2 subtables. We propose a monotonicity axiom requiring that the degree of association should increase after shifting mass from cells of a table where this mass is below its expected value to cells where it is above .provided that total mass in each class remains constant. We prove that no continuous row-size invariant measure of association is monotonic if m ≥ 4. Keywords: association, contingency tables, margin-free measures, size invariance, monotonicity, transfer principle.

Partitions spectrales optimales pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet et de Neumann

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

Object allocation via deferred-acceptance: strategy-proofness and comparative statics

We study the problem of assigning indivisible and heterogenous objects (e.g., houses, jobs, offices, school or university admissions etc.) to agents. Each agent receives at most one object and monetary compensations are not possible. We consider mechanisms satisfying a set of basic properties (unavailable-type-invariance, individual-rationality, weak non-wastefulness, or truncation-invariance). In the house allocation problem, where at most one copy of each object is available, deferred-acceptance (DA)-mechanisms allocate objects based on exogenously fixed objects' priorities over agents and the agent-proposing deferred-acceptance-algorithm. For house allocation we show that DA-mechanisms are characterized by our basic properties and (i) strategy-proofness and population-monotonicity or (ii) strategy-proofness and resource-monotonicity. Once we allow for multiple identical copies of objects, on the one hand the first characterization breaks down and there are unstable mechanisms satisfying our basic properties and (i) strategy-proofness and population-monotonicity. On the other hand, our basic properties and (ii) strategy-proofness and resource-monotonicity characterize (the most general) class of DA-mechanisms based on objects' fixed choice functions that are acceptant, monotonic, substitutable, and consistent. These choice functions are used by objects to reject agents in the agent-proposing deferred-acceptance-algorithm. Therefore, in the general model resource-monotonicity is the «stronger» comparative statics requirement because it characterizes (together with our basic requirements and strategy-proofness) choice-based DA-mechanisms whereas population-monotonicity (together with our basic properties and strategy-proofness) does not.

Fixed point results for multivalued contractions on graphs and their applications

Nous présentons dans cette thèse des théorèmes de point fixe pour des contractions multivoques définies sur des espaces métriques, et, sur des espaces de jauges munis d’un graphe. Nous illustrons également les applications de ces résultats à des inclusions intégrales et à la théorie des fractales. Cette thèse est composée de quatre articles qui sont présentés dans quatre chapitres. Dans le chapitre 1, nous établissons des résultats de point fixe pour des fonctions multivoques, appelées G-contractions faibles. Celles-ci envoient des points connexes dans des points connexes et contractent la longueur des chemins. Les ensembles de points fixes sont étudiés. La propriété d’invariance homotopique d’existence d’un point fixe est également établie pour une famille de Gcontractions multivoques faibles. Dans le chapitre 2, nous établissons l’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions intégrales de Hammerstein sous des conditions de type de monotonie mixte. L’existence de solutions pour des systèmes d’inclusions différentielles avec conditions initiales ou conditions aux limites périodiques est également obtenue. Nos résultats s’appuient sur nos théorèmes de point fixe pour des G-contractions multivoques faibles établis au chapitre 1. Dans le chapitre 3, nous appliquons ces mêmes résultats de point fixe aux systèmes de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté. Plus précisément, nous construisons un espace métrique muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés. En utilisant les points fixes de cette G-contraction, nous obtenons plus d’information sur les attracteurs de ces systèmes de fonctions itérées. Dans le chapitre 4, nous considérons des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe. Nous prouvons un résultat de point fixe pour des fonctions multivoques qui envoient des points connexes dans des points connexes et qui satisfont une condition de contraction généralisée. Ensuite, nous étudions des systèmes infinis de fonctions itérées assujettis à un graphe orienté (H-IIFS). Nous donnons des conditions assurant l’existence d’un attracteur unique à un H-IIFS. Enfin, nous appliquons notre résultat de point fixe pour des contractions multivoques définies sur un espace de jauges muni d’un graphe pour obtenir plus d’information sur l’attracteur d’un H-IIFS. Plus précisément, nous construisons un espace de jauges muni d’un graphe G et une G-contraction appropriés tels que ses points fixes sont des sous-attracteurs du H-IIFS.

Ambiguity on the insurer's side: the demand for insurance

Empirical evidence suggests that ambiguity is prevalent in insurance pricing and underwriting, and that often insurers tend to exhibit more ambiguity than the insured individuals (e.g., [23]). Motivated by these findings, we consider a problem of demand for insurance indemnity schedules, where the insurer has ambiguous beliefs about the realizations of the insurable loss, whereas the insured is an expected-utility maximizer. We show that if the ambiguous beliefs of the insurer satisfy a property of compatibility with the non-ambiguous beliefs of the insured, then there exist optimal monotonic indemnity schedules. By virtue of monotonicity, no ex-post moral hazard issues arise at our solutions (e.g., [25]). In addition, in the case where the insurer is either ambiguity-seeking or ambiguity-averse, we show that the problem of determining the optimal indemnity schedule reduces to that of solving an auxiliary problem that is simpler than the original one in that it does not involve ambiguity. Finally, under additional assumptions, we give an explicit characterization of the optimal indemnity schedule for the insured, and we show how our results naturally extend the classical result of Arrow [5] on the optimality of the deductible indemnity schedule.

Ambiguity on the insurer's side: the demand for insurance

Empirical evidence suggests that ambiguity is prevalent in insurance pricing and underwriting, and that often insurers tend to exhibit more ambiguity than the insured individuals (e.g., [23]). Motivated by these findings, we consider a problem of demand for insurance indemnity schedules, where the insurer has ambiguous beliefs about the realizations of the insurable loss, whereas the insured is an expected-utility maximizer. We show that if the ambiguous beliefs of the insurer satisfy a property of compatibility with the non-ambiguous beliefs of the insured, then there exist optimal monotonic indemnity schedules. By virtue of monotonicity, no ex-post moral hazard issues arise at our solutions (e.g., [25]). In addition, in the case where the insurer is either ambiguity-seeking or ambiguity-averse, we show that the problem of determining the optimal indemnity schedule reduces to that of solving an auxiliary problem that is simpler than the original one in that it does not involve ambiguity. Finally, under additional assumptions, we give an explicit characterization of the optimal indemnity schedule for the insured, and we show how our results naturally extend the classical result of Arrow [5] on the optimality of the deductible indemnity schedule.