Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Drug-loaded nanocarriers : passive targeting and crossing of biological barriers

Poor bioavailability and poor pharmacokinetic characteristics are some of the leading causes of drug development failure. Therefore, poorly-soluble drugs, fragile proteins or nucleic acid products may benefit from their encapsulation in nanosized vehicles, providing enhanced solubilisation, protection against degradation, and increased access to pathological compartments. A key element for the success of drug-loaded nanocarriers (NC) is their ability to either cross biological barriers themselves or allow loaded drugs to traverse them to achieve optimal pharmacological action at pathological sites. Depending on the mode of administration, NC may have to cross different physiological barriers in their journey towards their target. In this review, the crossing of biological barriers by passive targeting strategies will be presented for intravenous delivery (vascular endothelial lining, particularly for tumour vasculature and blood-brain barrier targeting), oral administration (gastrointestinal lining) and upper airway administration (pulmonary epithelium). For each specific barrier, background information will be provided on the structure and biology of the tissues involved as well as available pathways for nano-objects or loaded drugs (diffusion and convection through fenestration, transcytosis, tight junction crossing, etc.). The determinants of passive targeting − size, shape, surface chemistry, surface patterning of nanovectors − will be discussed in light of current results. Perspectives on each mode of administration will be presented. The focus will be on polymeric nanoparticles and dendrimers although advances in liposome technology will be also reported as they represent the largest body in the drug delivery literature.