Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation

La méthode de factorisation est appliquée sur les données initiales d'un problème de mécanique quantique déja résolu. Les solutions (états propres et fonctions propres) sont presque tous retrouvés.

Propriétés géométriques des surfaces associées aux solutions des modèles sigma grassmanniens en deux dimensions

Dans cette thèse, nous analysons les propriétés géométriques des surfaces obtenues des solutions classiques des modèles sigma bosoniques et supersymétriques en deux dimensions ayant pour espace cible des variétés grassmanniennes G(m,n). Plus particulièrement, nous considérons la métrique, les formes fondamentales et la courbure gaussienne induites par ces surfaces naturellement plongées dans l'algèbre de Lie su(n). Le premier chapitre présente des outils préliminaires pour comprendre les éléments des chapitres suivants. Nous y présentons les théories de jauge non-abéliennes et les modèles sigma grassmanniens bosoniques ainsi que supersymétriques. Nous nous intéressons aussi à la construction de surfaces dans l'algèbre de Lie su(n) à partir des solutions des modèles sigma bosoniques. Les trois prochains chapitres, formant cette thèse, présentent les contraintes devant être imposées sur les solutions de ces modèles afin d'obtenir des surfaces à courbure gaussienne constante. Ces contraintes permettent d'obtenir une classification des solutions en fonction des valeurs possibles de la courbure. Les chapitres 2 et 3 de cette thèse présentent une analyse de ces surfaces et de leurs solutions classiques pour les modèles sigma grassmanniens bosoniques. Le quatrième consiste en une analyse analogue pour une extension supersymétrique N=2 des modèles sigma bosoniques G(1,n)=CP^(n-1) incluant quelques résultats sur les modèles grassmanniens. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les propriétés géométriques des surfaces associées aux solutions holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Nous donnons une classification complète de ces solutions à courbure gaussienne constante pour les modèles G(2,n) pour n=3,4,5. De plus, nous établissons deux conjectures sur les valeurs constantes possibles de la courbure gaussienne pour G(m,n). Nous donnons aussi des éléments de preuve de ces conjectures en nous appuyant sur les immersions et les coordonnées de Plücker ainsi que la séquence de Veronese. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Le troisième chapitre présente une analyse des surfaces à courbure gaussienne constante associées aux solutions non-holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Ce travail généralise les résultats du premier article et donne un algorithme systématique pour l'obtention de telles surfaces issues des solutions connues des modèles. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Dans le dernier chapitre, nous considérons une extension supersymétrique N=2 du modèle sigma bosonique ayant pour espace cible G(1,n)=CP^(n-1). Ce chapitre décrit la géométrie des surfaces obtenues des solutions du modèle et démontre, dans le cas holomorphe, qu'elles ont une courbure gaussienne constante si et seulement si la solution holomorphe consiste en une généralisation de la séquence de Veronese. De plus, en utilisant une version invariante de jauge du modèle en termes de projecteurs orthogonaux, nous obtenons des solutions non-holomorphes et étudions la géométrie des surfaces associées à ces nouvelles solutions. Ces résultats sont soumis dans la revue Communications in Mathematical Physics.

Indices de condition corporelle chez le béluga du Saint-Laurent : utilisation rétrospective de données morphologiques recueillies lors de nécropsies

L’évaluation de la condition corporelle des carcasses des bélugas du Saint-Laurent contribue au diagnostic de cause de mortalité du pathologiste. La méthode actuelle repose sur une évaluation visuelle subjective. Notre projet visait à chercher un outil objectif d’évaluation de la condition corporelle. L’indice de masse mise à l’échelle (M̂ i) est objectif puisqu’il est calculé à partir de la masse et de la taille de chaque individu. M̂ i doit être calculé avec des constantes différentes pour les bélugas mesurant plus ou moins de 290 cm. Il produit des résultats en accord avec l’évaluation visuelle. Comme il est parfois logistiquement impossible de peser un béluga, nous avons évalué des indices basés sur d’autres mesures morphométriques. Les indices basés sur la circonférence à hauteur de l’anus pour les bélugas de moins de 290 cm et la circonférence maximale pour ceux de plus de 290 cm représentent des indices de condition corporelle alternatifs intéressants.

Vues imprenables ; suivi de Paradoxes du voir et de l'aveuglement dans Ceux d'à côté de Laurent Mauvignier

Vues imprenables est un récit où se succèdent les monologues de six personnages se trouvant dans un hôtel de luxe le temps d’une fin de semaine. À travers les détours discursifs que chaque personnage emprunte, les mécanismes textuels qu’il ou elle utilise pour éviter de dire et de se confronter aux réminiscences de ses fautes passées, la question du voir et de l’aveuglement se lie étroitement à celle du passage à l’acte. Quels forfaits ces hommes et ces femmes ont-ils commis ? Sont-ils capables de « se voir » réellement ? Quelle est la portée du regard sur le geste qu’ils ont antérieurement posé ? S’inspirant, entre autres, du jeu de société Clue, des Dix Commandements et de l’esthétique du film The Shining, Vues imprenables interroge la notion de repentir, cherchant à savoir jusqu’où le « voile » de la parole peut dissimuler certains actes, jusqu’à quel point le voir peut se révéler insaisissable. L’essai intitulé « Paradoxes du voir et de l’aveuglement dans Ceux d’à côté de Laurent Mauvignier » tisse également des liens avec Vues imprenables : en questionnant les limites et les possibilités du voir dans le roman de Mauvignier, il s’agit en effet d’analyser comment l’avènement de la vue, dans ce récit, laisse en tout temps présager sa possible perte, mais aussi de quelles façons le geste criminel devient « aveugle » au moment même où il est perpétré. En revisitant certains des plus grands mythes grecs, tels ceux d’Œdipe, de Tirésias et de Gorgô, cet essai étudie plus particulièrement la figure de l’alter ego, ce « moi à côté », tantôt coupable tantôt témoin, qui hante le récit de Mauvignier et il propose une réflexion sur les paradoxes du rapport au vu à partir des travaux d’Hélène Cixous, de Georges Didi-Huberman, de J.-B. Pontalis et de Maurice Merleau-Ponty.

Écologie et implications trophiques de la cyanobactérie Lyngbya wollei dans le fleuve Saint-Laurent

Les proliférations nuisibles de la cyanobactérie filamenteuse benthique Lyngbya wollei qui forme des tapis déposés sur les sédiments ont augmenté en fréquence au cours des 30 dernières années dans les rivières, lacs et sources de l'Amérique du Nord. Lyngbya wollei produit des neurotoxines et des composés organiques volatils (géosmin, 2-méthylisobornéol) qui ont des répercussions sur la santé publique de même que des impacts d'ordre socioéconomiques. Cette cyanobactérie est considérée comme un habitat et une source de nourriture de piètre qualité pour les invertébrés en raison de sa gaine robuste et de sa production de toxines. Les proliférations de L. wollei ont été observées pour la première fois en 2005 dans le fleuve Saint-Laurent (SLR; Québec, Canada). Nous avons jugé important de déterminer sa distribution sur un tronçon de 250 km afin d'élaborer des modèles prédictifs de sa présence et biomasse en se basant sur les caractéristiques chimiques et physiques de l'eau. Lyngbya wollei était généralement observé en aval de la confluence de petits tributaires qui irriguent des terres agricoles. L’écoulement d’eaux enrichies à travers la végétation submergée se traduisait par une diminution de la concentration d’azote inorganique dissous (DIN), alors que les concentrations de carbone organique dissous (DOC) et de phosphore total dissous (TDP) demeuraient élevées, produisant un faible rapport DIN :TDP. Selon nos modèles, DOC (effet positif), TP (effet négatif) et DIN :TDP (effet négatif) sont les variables les plus importantes pour expliquer la répartition de cette cyanobactérie. La probabilité que L. wollei soit présent dans le SLR a été prédite avec exactitude dans 72 % à 92 % des cas pour un ensemble de données indépendantes. Nous avons ensuite examiné si les conditions hydrodynamiques, c'est-à-dire le courant généré par les vagues et l'écoulement du fleuve, contrôlent les variations spatiales et temporelles de biomasse de L. wollei dans un grand système fluvial. Nous avons mesuré la biomasse de L. wollei ainsi que les variables chimiques, physiques et météorologiques durant trois ans à 10 sites le long d'un gradient d'exposition au courant et au vent dans un grand (148 km2) lac fluvial du SLR. L'exposition aux vagues et la vitesse du courant contrôlaient les variations de biomasses spatiales et temporelles. La biomasse augmentait de mai à novembre et persistait durant l'hiver. Les variations interannuelles étaient contrôlées par l'écoulement de la rivière (niveau d'eau) avec la crue printanière qui délogeait les tapis de l'année précédente. Les baisses du niveau d'eau et l'augmentation de l'intensité des tempêtes anticipées par les scénarios de changements climatiques pourraient accroître la superficie colonisée par L. wollei de même que son accumulation sur les berges. Par la suite, nous avons évalué l'importance relative de L. wollei par rapport aux macrophytes et aux épiphytes. Nous avons examiné l'influence structurante de l'échelle spatiale sur les variables environnementales et la biomasse de ces producteurs primaires (PP) benthiques. Nous avons testé si leur biomasse reflétait la nature des agrégats d'habitat basées sur l'écogéomorphologie ou plutôt le continuum fluvial. Pour répondre à ces deux questions, nous avons utilisé un design à 3 échelles spatiales dans le SLR: 1) le long d'un tronçon de 250 km, 2) entre les lacs fluviaux localisés dans ce tronçon, 3) à l'intérieur de chaque lac fluvial. Les facteurs environnementaux (conductivité et TP) et la structure spatiale expliquent 59% de la variation de biomasse des trois PP benthiques. Spécifiquement, les variations de biomasses étaient le mieux expliquées par la conductivité (+) pour les macrophytes, par le ratio DIN:TDP (+) et le coefficient d'extinction lumineuse (+) pour les épiphytes et par le DOC (+) et le NH4+ (-) pour L. wollei. La structure spatiale à l'intérieur des lacs fluviaux était la plus importante composante spatiale pour tous les PP benthiques, suggérant que les effets locaux tels que l'enrichissement par les tributaire plutôt que les gradients amont-aval déterminent la biomasse de PP benthiques. Donc, la dynamique des agrégats d'habitat représente un cadre général adéquat pour expliquer les variations spatiales et la grande variété de conditions environnementales supportant des organismes aquatiques dans les grands fleuves. Enfin, nous avons étudié le rôle écologique des tapis de L. wollei dans les écosystèmes aquatiques, en particulier comme source de nourriture et refuge pour l'amphipode Gammarus fasciatus. Nous avons offert aux amphipodes un choix entre des tapis de L. wollei et soit des chlorophytes filamenteuses ou un tapis artificiel de laine acrylique lors d'expériences en laboratoire. Nous avons aussi reconstitué la diète in situ des amphipodes à l'aide du mixing model (d13C et δ15N). Gammarus fasciatus choisissait le substrat offrant le meilleur refuge face à la lumière (Acrylique>Lyngbya=Rhizoclonium>Spirogyra). La présence de saxitoxines, la composition élémentaire des tissus et l'abondance des épiphytes n'ont eu aucun effet sur le choix de substrat. Lyngbya wollei et ses épiphytes constituaient 36 et 24 % de l'alimentation in situ de G. fasciatus alors que les chlorophytes, les macrophytes et les épiphytes associées représentaient une fraction moins importante de son alimentation. Les tapis de cyanobactéries benthiques devraient être considérés comme un bon refuge et une source de nourriture pour les petits invertébrés omnivores tels que les amphipodes.

Structures algébriques, systèmes superintégrables et polynômes orthogonaux

Cette thèse est divisée en cinq parties portant sur les thèmes suivants: l’interprétation physique et algébrique de familles de fonctions orthogonales multivariées et leurs applications, les systèmes quantiques superintégrables en deux et trois dimensions faisant intervenir des opérateurs de réflexion, la caractérisation de familles de polynômes orthogonaux appartenant au tableau de Bannai-Ito et l’examen des structures algébriques qui leurs sont associées, l’étude de la relation entre le recouplage de représentations irréductibles d’algèbres et de superalgèbres et les systèmes superintégrables, ainsi que l’interprétation algébrique de familles de polynômes multi-orthogonaux matriciels. Dans la première partie, on développe l’interprétation physico-algébrique des familles de polynômes orthogonaux multivariés de Krawtchouk, de Meixner et de Charlier en tant qu’éléments de matrice des représentations unitaires des groupes SO(d+1), SO(d,1) et E(d) sur les états d’oscillateurs. On détermine les amplitudes de transition entre les états de l’oscillateur singulier associés aux bases cartésienne et polysphérique en termes des polynômes multivariés de Hahn. On examine les coefficients 9j de su(1,1) par le biais du système superintégrable générique sur la 3-sphère. On caractérise les polynômes de q-Krawtchouk comme éléments de matrices des «q-rotations» de U_q(sl_2). On conçoit un réseau de spin bidimensionnel qui permet le transfert parfait d’états quantiques à l’aide des polynômes de Krawtchouk à deux variables et on construit un modèle discret de l’oscillateur quantique dans le plan à l’aide des polynômes de Meixner bivariés. Dans la seconde partie, on étudie les systèmes superintégrables de type Dunkl, qui font intervenir des opérateurs de réflexion. On examine l’oscillateur de Dunkl en deux et trois dimensions, l’oscillateur singulier de Dunkl dans le plan et le système générique sur la 2-sphère avec réflexions. On démontre la superintégrabilité de chacun de ces systèmes. On obtient leurs constantes du mouvement, on détermine leurs algèbres de symétrie et leurs représentations, on donne leurs solutions exactes et on détaille leurs liens avec les polynômes orthogonaux du tableau de Bannai-Ito. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes du tableau de Bannai-Ito: les polynômes de Bannai-Ito complémentaires et les polynômes de Chihara. On montre également que les polynômes de Bannai-Ito sont les coefficients de Racah de la superalgèbre osp(1,2). On détermine l’algèbre de symétrie des polynômes duaux -1 de Hahn dans le cadre du problème de Clebsch-Gordan de osp(1,2). On propose une q - généralisation des polynômes de Bannai-Ito en examinant le problème de Racah pour la superalgèbre quantique osp_q(1,2). Finalement, on montre que la q -algèbre de Bannai-Ito sert d’algèbre de covariance à osp_q(1,2). Dans la quatrième partie, on détermine le lien entre le recouplage de représentations des algèbres su(1,1) et osp(1,2) et les systèmes superintégrables du deuxième ordre avec ou sans réflexions. On étudie également les représentations des algèbres de Racah-Wilson et de Bannai-Ito. On montre aussi que l’algèbre de Racah-Wilson sert d’algèbre de covariance quadratique à l’algèbre de Lie sl(2). Dans la cinquième partie, on construit deux familles explicites de polynômes d-orthogonaux basées sur su(2). On étudie les états cohérents et comprimés de l’oscillateur fini et on caractérise une famille de polynômes multi-orthogonaux matriciels.

Réponse de la communauté de mollusques aux perturbations physiques et chimiques dans un grand lac fluvial (Lac Saint-Pierre, Fleuve Saint-Laurent, QC)

Les mollusques sont des indicateurs de perturbations anthropiques et environnementales. Ce groupe de macroinvertébrés représente en outre une source importante de nourriture pour les poissons et les oiseaux aquatiques du littoral. Les hypothèses de cette étude sont que la communauté de mollusques est influencée indirectement par les tributaires agricoles et/ou par des variables environnementales (comme la dessiccation et l'exposition aux vagues) puisque ces perturbations sont susceptibles de modifier leurs sources alimentaires et leur habitat. Les indicateurs de la réponse des mollusques aux agents perturbateurs sont la composition, la diversité, la densité, ainsi que la biomasse des espèces. En septembre 2013, des mesures de paramètres physico-chimiques de l'eau ont été réalisées, et des échantillons de mollusques et de végétation aquatique ont été prélevés à 14 sites le long des rives du lac Saint-Pierre (Fleuve Saint-Laurent, Québec, Canada). Le long de la rive nord, les sites fortement exposés à l'action du vent, situés à de plus grandes élévations, affichaient une plus faible densité, biomasse et richesse spécifique de mollusques que les sites de la rive sud, en milieu plus abrité et profond. Les sites physiquement perturbés étaient caractérisés par de faibles biomasses en macrophytes submergés. Les sphaeriidae apparaissent comme des exceptions à ces patrons, montrant une abondance plus élevée aux sites presque dépourvus de macrophytes. Bien que les variables physiques et l'habitat exercent une influence déterminante sur les communautés de mollusques, les gastéropodes et les moules unionidés étaient également affectés par la dégradation de la qualité de l'eau dans le panache des tributaires agricoles. La richesse, la densité et la biomasse des gastéropodes étaient négativement influencées par des teneurs élevées de matières en suspension et de fer dissous. Les résultats de notre étude montrent que la communauté de mollusques du lac Saint-Pierre est directement affectée par l'émersion périodique, l'exposition au vent, et indirectement par l'effet de ces variables physiques sur les macrophytes qui constituent leur habitat.

Évolution et transmission des savoir-faire céramiques au cours du Sylvicole (-1000 à 1550 de notre ère) : la station 3-avant de Pointe-du-Buisson (BhFl-1d), Haut-Saint-Laurent, Québec.

La station 3-avant de Pointe-du-Buisson (Beauharnois, Haut-Saint-Laurent, Québec) représente la plus importante collection de récipients de terre cuite datant du Sylvicole moyen ancien (-400 à 500 de notre ère) dans le Nord-Est américain. De plus, on trouve sur ce site une série continue d’occupations couvrant l’ensemble de la période Sylvicole. En dépit de complications d’ordre stratigraphique (terreau homogène et pédoturbations), des concepts et des méthodes évolutionnaires tirés de la théorie de l’hérédité duelle sont appliqués à l’étude de cet assemblage. D’un point de vue anthropologique, que nous apprend l’étude de l’évolution et de la transmission des savoir-faire d’une technologie que nous assumons exclusivement féminine au cours de la période Sylvicole? L’auteur défend que l’archéologie évolutionnaire permet de détecter le contexte de la transmission, c’est-à-dire l’organisation socioéconomique des populations du passé. L’examen des traits stylistiques suggère que la sédentarisation estivale des bandes amérindiennes à partir du Sylvicole moyen tardif favorise une homogénéisation des productions céramiques dans un contexte virilocal qui est la conséquence d’une transmission de type conformiste opérant sur un axe horizontal (entre pairs). Cependant, le passage probable des tribus iroquoiennes à l’uxorilocalité et à la matrilinéarité à la fin du Sylvicole se traduit par une saisissante hétérogénéisation des pots, qui s’explique possiblement par une sélection de marqueurs identitaire d’ordre clanique (transmission verticale entre parents et descendants). L’étude des traits techno-fonctionnels indique une diversification de la vaisselle de terre cuite à mesure que les populations intensifient leurs expériences sur les cultigènes. Dans l’ensemble, cette évolution trahit une attention accrue conférée à la performance des pots en tant que récipients culinaires. Par ailleurs, le concours de la sériation et de datations AMS permet la reconnaisance d’un taxon « Sylvicole moyen moyen » caractérisé par une modification morphologique et décorative des vases. Une enquête comparative portant sur un échantillon de 27 sites archéologiques de l’horizon Pseudo-scallop-shell démontre que la variation populationnelle est structurée en fonction de la localisation des communautés dans un bassin hydrographique spécifique. Par conséquent, l’auteur soumet des pistes en vue de l’élaboration d’une taxonomie robuste et propre au Sylvicole moyen ancien et au Sylvicole moyen moyen. Enfin, des indices de natures diverses (archéologiques, paléoethnobotaniques, ethnolinguistiques, paléoanthropologiques, et d’autres issus de la génétique des populations) suggèrent une identité proto-algonquienne des bandes des deux sous-périodes susmentionnées.

L’identité chez les Iroquoiens du Saint-Laurent : analyse du mobilier céramique du site McDonald, Saint-Anicet

Ce mémoire porte sur la variabilité stylistique présente dans l’assemblage céramique du site McDonald, dans la région de Saint-Anicet, et a pour principal objectif de déterminer comment s’exprime cette variabilité à travers les différents niveaux identitaires auxquels appartiennent les Iroquoiens du Saint-Laurent, soit la famille linguistique iroquoienne, la sphère d’interaction des Iroquoiens du Saint-Laurent, les provinces culturelles, les villages, les clans et les maisonnées. Cette étude abordera également la distribution spatiale des vases retrouvés sur le site à l’aide d’un travail de remontage effectué à l’échelle du site. Cette méthode permettra également d’aborder le mode d’occupation du site McDonald, notamment par l’étude de la relation existant entre le contenu des habitations et celui présent dans chacun des dépotoirs. Une fois ce travail effectué, l’étude de la variabilité stylistique sera abordée par une étude comparative des unités décoratives observées sur les différents registres de décoration des vases à l’intérieur d’un site, c’est-à-dire entre les différentes maisons-longues qui le composent, mais également avec d’autres sites iroquoiens de la vallée du Saint-Laurent. Une étude simultanée des résultats de ces comparaisons intra et intersites aura pour objectif d’identifier la variabilité présente dans les différents niveaux identitaires auxquels appartiennent les habitants du site McDonald et plus précisément la maisonnée, le clan, le village et la province iroquoienne.

Logements insalubres en contexte pluriethnique : étude de cas et pistes d'intervention pour le quartier Norgate dans l'arrondissement Saint-Laurent à Montréal

Ce mémoire explore le rôle du logement dans l'expérience migratoire des nouveaux et nouvelles arrivantes à Montréal et l'impact de celui-ci sur les premières années d'installation, en fonction des caractéristiques socioculturelles des individus. Pour ce faire, une étude collaborative a été menée sur le cas spécifique du quartier de Norgate, situé en plein cœur de l'arrondissement Saint-Laurent. Norgate est un quartier où se produit un renouvellement constant de locataires d'origine immigrante en provenance des quatre coins du monde, et où subsistent d'importants problèmes de pauvreté. En se penchant sur ce milieu de vie et sur les conditions d'habitat de ses résident-e-s, nous avons constaté à quel point un nombre important de locataires vivaient dans des logements en mauvais état, et parfois même dans de graves conditions d'insalubrité. Nous avons cherché à comprendre comment un tel espace urbain pouvait en venir à être aussi dégradé et quels étaient les rôles et responsabilités des différents paliers étatiques face à une telle situation. À travers ce processus, nous avons exploré l'ensemble des possibilités d'action proposées par les différents acteurs (institutionnels, communautaires, résidentiels) ayant un potentiel pouvoir d'agir dans le quartier. Ce mémoire montre comment la problématique des logements dans l'espace urbain est liée à une multitude de facteurs interreliés et qui s'influencent mutuellement, d'où la nécessité d'une approche systémique dans l'analyse du champ de l'anthropologie urbaine. Il cherche également à montrer en quoi un mouvement urbain efficient nécessite un partenariat rigoureux entre les différents acteurs agissant sur le territoire, dans une logique de compréhension et de respect de la diversité des tactiques.

L'effet des enrochements sur l'utilisation de l'espace par les communautés de poissons dans les Basses-Terres du Saint-Laurent.

Ce mémoire a été effectué dans le cadre d'une étude pour le Ministère des Transports.

Sur les tests lisses d'ajustement dans le context des series chronologiques

La plupart des modèles en statistique classique repose sur une hypothèse sur la distribution des données ou sur une distribution sous-jacente aux données. La validité de cette hypothèse permet de faire de l’inférence, de construire des intervalles de confiance ou encore de tester la fiabilité du modèle. La problématique des tests d’ajustement vise à s’assurer de la conformité ou de la cohérence de l’hypothèse avec les données disponibles. Dans la présente thèse, nous proposons des tests d’ajustement à la loi normale dans le cadre des séries chronologiques univariées et vectorielles. Nous nous sommes limités à une classe de séries chronologiques linéaires, à savoir les modèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA ou VARMA dans le cas vectoriel). Dans un premier temps, au cas univarié, nous proposons une généralisation du travail de Ducharme et Lafaye de Micheaux (2004) dans le cas où la moyenne est inconnue et estimée. Nous avons estimé les paramètres par une méthode rarement utilisée dans la littérature et pourtant asymptotiquement efficace. En effet, nous avons rigoureusement montré que l’estimateur proposé par Brockwell et Davis (1991, section 10.8) converge presque sûrement vers la vraie valeur inconnue du paramètre. De plus, nous fournissons une preuve rigoureuse de l’inversibilité de la matrice des variances et des covariances de la statistique de test à partir de certaines propriétés d’algèbre linéaire. Le résultat s’applique aussi au cas où la moyenne est supposée connue et égale à zéro. Enfin, nous proposons une méthode de sélection de la dimension de la famille d’alternatives de type AIC, et nous étudions les propriétés asymptotiques de cette méthode. L’outil proposé ici est basé sur une famille spécifique de polynômes orthogonaux, à savoir les polynômes de Legendre. Dans un second temps, dans le cas vectoriel, nous proposons un test d’ajustement pour les modèles autorégressifs à moyenne mobile avec une paramétrisation structurée. La paramétrisation structurée permet de réduire le nombre élevé de paramètres dans ces modèles ou encore de tenir compte de certaines contraintes particulières. Ce projet inclut le cas standard d’absence de paramétrisation. Le test que nous proposons s’applique à une famille quelconque de fonctions orthogonales. Nous illustrons cela dans le cas particulier des polynômes de Legendre et d’Hermite. Dans le cas particulier des polynômes d’Hermite, nous montrons que le test obtenu est invariant aux transformations affines et qu’il est en fait une généralisation de nombreux tests existants dans la littérature. Ce projet peut être vu comme une généralisation du premier dans trois directions, notamment le passage de l’univarié au multivarié ; le choix d’une famille quelconque de fonctions orthogonales ; et enfin la possibilité de spécifier des relations ou des contraintes dans la formulation VARMA. Nous avons procédé dans chacun des projets à une étude de simulation afin d’évaluer le niveau et la puissance des tests proposés ainsi que de les comparer aux tests existants. De plus des applications aux données réelles sont fournies. Nous avons appliqué les tests à la prévision de la température moyenne annuelle du globe terrestre (univarié), ainsi qu’aux données relatives au marché du travail canadien (bivarié). Ces travaux ont été exposés à plusieurs congrès (voir par exemple Tagne, Duchesne et Lafaye de Micheaux (2013a, 2013b, 2014) pour plus de détails). Un article basé sur le premier projet est également soumis dans une revue avec comité de lecture (Voir Duchesne, Lafaye de Micheaux et Tagne (2016)).