Some Applications of Markov Additive Processes as Models in Insurance and Financial Mathematics

Cette thèse est principalement constituée de trois articles traitant des processus markoviens additifs, des processus de Lévy et d'applications en finance et en assurance. Le premier chapitre est une introduction aux processus markoviens additifs (PMA), et une présentation du problème de ruine et de notions fondamentales des mathématiques financières. Le deuxième chapitre est essentiellement l'article "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" écrit en collaboration avec Manuel Morales et publié dans la revue European Actuarial Journal. Cet article étudie le problème de ruine pour un processus de risque markovien additif. Une identification de systèmes de Lévy est obtenue et utilisée pour donner une expression de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée lorsque le PMA est un processus de Lévy avec changement de régimes. Celle-ci est une généralisation des résultats existant dans la littérature pour les processus de risque de Lévy et les processus de risque markoviens additifs avec sauts "phase-type". Le troisième chapitre contient l'article "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" qui est soumis pour publication. Cet article présente une extension de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée pour un processus subordinateur de risque perturbé par un mouvement brownien. Cette extension contient une série de fonctions escomptée éspérée des minima successives dus aux sauts du processus de risque après la ruine. Celle-ci a des applications importantes en gestion de risque et est utilisée pour déterminer la valeur espérée du capital d'injection actualisé. Finallement, le quatrième chapitre contient l'article "The Minimal entropy martingale measure (MEMM) for a Markov-modulated exponential Lévy model" écrit en collaboration avec Romuald Hervé Momeya et publié dans la revue Asia-Pacific Financial Market. Cet article présente de nouveaux résultats en lien avec le problème de l'incomplétude dans un marché financier où le processus de prix de l'actif risqué est décrit par un modèle exponentiel markovien additif. Ces résultats consistent à charactériser la mesure martingale satisfaisant le critère de l'entropie. Cette mesure est utilisée pour calculer le prix d'une option, ainsi que des portefeuilles de couverture dans un modèle exponentiel de Lévy avec changement de régimes.

Des soins de qualité pour la dépression en première ligne : une contribution à l’amélioration de l’état de santé de la population québécoise

Contexte De nombreuses études, utilisant des indicateurs de qualité variés, ont démontré que la qualité des soins pour la dépression n’est pas optimale en première ligne. Peu de ces études ont examiné les facteurs associés à la réception d’un traitement adéquat, en particulier en tenant compte simultanément des caractéristiques individuelles et organisationnelles. L'association entre un traitement adéquat pour un épisode dépressif majeur (EDM) et une amélioration des symptômes dépressifs n'est pas bien établie dans des conditions non-expérimentales. Les objectifs de cette étude étaient de : 1) réaliser une revue systématique des indicateurs mesurant la qualité du traitement de la dépression en première ligne ; 2) estimer la proportion de patients souffrant d’EDM qui reçoivent un traitement adéquat (selon les guides de pratique clinique) en première ligne ; 3) examiner les caractéristiques individuelles et organisationnelles associées à l’adéquation du traitement pour la dépression ; 4) examiner l'association entre un traitement minimalement adéquat au cours des 12 mois précédents et l'évolution des symptômes dépressifs à 6 et 12 mois. Méthodes La littérature sur la qualité du traitement de la dépression a été examinée en utilisant un ensemble de mots-clés (« depression », « depressive disorder », « quality », « treatment », « indicator », « adequacy », « adherence », « concordance », « clinical guideline » et « guideline ») et « 360search », un moteur de recherche fédérée. Les données proviennent d'une étude de cohorte incluant 915 adultes consultant un médecin généraliste, quel que soit le motif de consultation, répondant aux critères du DSM-IV pour l’EDM dans la dernière année, nichés dans 65 cliniques de première ligne au Québec, Canada. Des analyses multiniveaux ont été réalisées. Résultats Bien que majoritairement développés à partir de guides de pratique clinique, une grande variété d'indicateurs a été observée dans la revue systématique de littérature. La plupart des études retenues ont utilisé des indicateurs de qualité rudimentaires, surtout pour la psychothérapie. Les méthodes utilisées étaient très variées, limitant la comparabilité des résultats. Toutefois, quelque soit la méthode choisie, la plupart des études ont révélé qu’une grande proportion des personnes souffrant de dépression n’ont pas reçu de traitement minimalement adéquat en première ligne. Dans notre échantillon, l’adéquation était élevée (> 75 %) pour un tiers des indicateurs de qualité mesurés, mais était faible (< 60 %) pour près de la moitié des mesures. Un peu plus de la moitié de l'échantillon (52,2 %) a reçu au moins un traitement minimalement adéquat pour la dépression. Au niveau individuel, les jeunes adultes (18-24 ans) et les personnes de plus de 65 ans avaient une probabilité moins élevée de recevoir un traitement minimalement adéquat. Cette probabilité était plus élevée pour ceux qui ont un médecin de famille, une assurance complémentaire, un trouble anxieux comorbide et une dépression plus sévère. Au niveau des cliniques, la disponibilité de la psychothérapie sur place, l'utilisation d'algorithmes de traitement, et le mode de rémunération perçu comme adéquat étaient associés à plus de traitement adéquat. Les résultats ont également montré que 1) la réception d'au moins un traitement minimalement adéquat pour la dépression était associée à une plus grande amélioration des symptômes dépressifs à 6 et à 12 mois; 2) la pharmacothérapie adéquate et la psychothérapie adéquate étaient toutes deux associées à de plus grandes améliorations dans les symptômes dépressifs, et 3) l'association entre un traitement adéquat et l'amélioration des symptômes dépressifs varie en fonction de la sévérité des symptômes au moment de l'inclusion dans la cohorte, un niveau de symptômes plus élevé étant associé à une amélioration plus importante à 6 et à 12 mois. Conclusions Nos résultats suggèrent que des interventions sont nécessaires pour améliorer la qualité du traitement de la dépression en première ligne. Ces interventions devraient cibler des populations spécifiques (les jeunes adultes et les personnes âgées), améliorer l'accessibilité à la psychothérapie et à un médecin de famille, et soutenir les médecins de première ligne dans leur pratique clinique avec des patients souffrant de dépression de différentes façons, telles que le développement des connaissances pour traiter la dépression et l'adaptation du mode de rémunération. Cette étude montre également que le traitement adéquat de la dépression en première ligne est associé à une amélioration des symptômes dépressifs dans des conditions non-expérimentales.

On the design of customized risk measures in insurance, the problem of capital allocation and the theory of fluctuations for Lévy processes

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes fondamentaux en mathématiques financières et actuarielles, ainsi que leurs applications. Cette thèse est constituée de trois contributions portant principalement sur la théorie de la mesure de risques, le problème de l’allocation du capital et la théorie des fluctuations. Dans le chapitre 2, nous construisons de nouvelles mesures de risque cohérentes et étudions l’allocation de capital dans le cadre de la théorie des risques collectifs. Pour ce faire, nous introduisons la famille des "mesures de risque entropique cumulatifs" (Cumulative Entropic Risk Measures). Le chapitre 3 étudie le problème du portefeuille optimal pour le Entropic Value at Risk dans le cas où les rendements sont modélisés par un processus de diffusion à sauts (Jump-Diffusion). Dans le chapitre 4, nous généralisons la notion de "statistiques naturelles de risque" (natural risk statistics) au cadre multivarié. Cette extension non-triviale produit des mesures de risque multivariées construites à partir des données financiéres et de données d’assurance. Le chapitre 5 introduit les concepts de "drawdown" et de la "vitesse d’épuisement" (speed of depletion) dans la théorie de la ruine. Nous étudions ces concepts pour des modeles de risque décrits par une famille de processus de Lévy spectrallement négatifs.

Ambiguity on the insurer's side: the demand for insurance

Empirical evidence suggests that ambiguity is prevalent in insurance pricing and underwriting, and that often insurers tend to exhibit more ambiguity than the insured individuals (e.g., [23]). Motivated by these findings, we consider a problem of demand for insurance indemnity schedules, where the insurer has ambiguous beliefs about the realizations of the insurable loss, whereas the insured is an expected-utility maximizer. We show that if the ambiguous beliefs of the insurer satisfy a property of compatibility with the non-ambiguous beliefs of the insured, then there exist optimal monotonic indemnity schedules. By virtue of monotonicity, no ex-post moral hazard issues arise at our solutions (e.g., [25]). In addition, in the case where the insurer is either ambiguity-seeking or ambiguity-averse, we show that the problem of determining the optimal indemnity schedule reduces to that of solving an auxiliary problem that is simpler than the original one in that it does not involve ambiguity. Finally, under additional assumptions, we give an explicit characterization of the optimal indemnity schedule for the insured, and we show how our results naturally extend the classical result of Arrow [5] on the optimality of the deductible indemnity schedule.

Ambiguity on the insurer's side: the demand for insurance

Empirical evidence suggests that ambiguity is prevalent in insurance pricing and underwriting, and that often insurers tend to exhibit more ambiguity than the insured individuals (e.g., [23]). Motivated by these findings, we consider a problem of demand for insurance indemnity schedules, where the insurer has ambiguous beliefs about the realizations of the insurable loss, whereas the insured is an expected-utility maximizer. We show that if the ambiguous beliefs of the insurer satisfy a property of compatibility with the non-ambiguous beliefs of the insured, then there exist optimal monotonic indemnity schedules. By virtue of monotonicity, no ex-post moral hazard issues arise at our solutions (e.g., [25]). In addition, in the case where the insurer is either ambiguity-seeking or ambiguity-averse, we show that the problem of determining the optimal indemnity schedule reduces to that of solving an auxiliary problem that is simpler than the original one in that it does not involve ambiguity. Finally, under additional assumptions, we give an explicit characterization of the optimal indemnity schedule for the insured, and we show how our results naturally extend the classical result of Arrow [5] on the optimality of the deductible indemnity schedule.